漸化式の全パターン紹介

数列(コンテンツの紹介)

漸 ぜん 化式の説明をし，入試で頻出な漸化式全パターンを紹介し，各ページに飛ぶためのページです．

漸化式とは

以下に初項が $3$ で公差が $2$ の等差数列

$\{a_{n}\}:3,5,7,9,\cdots$

があるとします．

これは $n$ 番目に $2$ を足すと $n+1$ 番目になると考えれば

$a_{n+1}=a_{n}+2$

と書けます．そして $a_{1}=3$ などのように確定すると，数列が決まります．このように，隣同士の関係により数列の性質を表す式を漸化式と言います．

多くの場合，漸化式から数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めるのが目的です．

漸化式の出題タイプ全パターン

入試で頻出の漸化式の全パターンを紹介します．これ以外にもパターンがありますが，何らかの変形を施すことで以下のパターンに帰着できると思います．

左のリンクから各ページに飛ぶことができます．

隣接2項間漸化式

2-1型(等差型)　$a_{n+1}=a_{n}+d$

2-2型(等比型)　$a_{n+1}=ra_{n}$

2-3型(階差型)　$a_{n+1}=a_{n}+f(n)$

2-4型(特性方程式型)　$a_{n+1}=pa_{n}+q$

2-5型(指数型)　$a_{n+1}=pa_{n}+q\cdot r^{n}$

2-6型(逆数型)　$a_{n+1}=\dfrac{pa_{n}}{qa_{n}+r}$

2-7型(関数スライド型)　$a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$

2-8型(階比型)　$a_{n+1}=f(n)a_{n}$

2-9型(対数型)　$a_{n+1}=pa_{n}^{q}$

2-10型(1次分数型)　$a_{n+1}=\dfrac{pa_{n}+q}{ra_{n}+s}$

隣接3項間漸化式

3-1型(隣接3項間漸化式の基本)　$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$

3-2型(隣接3項間漸化式の応用)　$a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=r$

和を含んだ漸化式

和を含んだ漸化式

連立漸化式

連立漸化式

漸化式ガチャ

志望別おすすめコース

上の漸化式のどのレベルのものを習得すればいいのかは，志望校によって異なりますので，以下を参考にしてください．

・教科書範囲．数学を使うのが共通テストまで，あるいは日東駒専等の大学群志望の人・・・★★まで

・教科書の発展まで含めた範囲．MARCH，中堅国公立レベル志望の人・・・★★★まで

・旧帝国大学，東工大，一橋，早慶，医学部等の難関大学志望の人・・・★★★★まで

・上の難関大学志望の人の中でも，漸化式を通して，入試に通用する数列力を確実につけたい人・・・★★★★★まで