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漸化式の導入と全パターン紹介

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このページでは,ぜん化式の導入をし,入試によく出題される漸化式各パターンを紹介し,各ページに飛ぶためのページです.







漸化式とは

以下に数列

$\{a_{n}\}:3,5,7,9,\cdots$

があるとする.初項が $3$ で交差が $2$ の等差数列ですね.

これを $n$ 番目に $2$ を足すと $n+1$ 番目になると考えれば,

$a_{n+1}=a_{n}+2$

と書けます.そして $a_{1}=3$ などのように決まれば,数列が帰納的に決まっていく.このように,隣同士の関係により数列の性質を表す式を漸化式と言います.

多くの場合,漸化式から数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めるのが目的です.



漸化式の出題タイプ全パターン

入試によく出題される漸化式の全パターンを以下に紹介します.本当はこれ以外にもパターンがあるのですが,出題頻度の関係で,以下のタイプに厳選しました.

左のリンクから各ページに飛ぶことができます.


隣接2項間漸化式

2・1型(等差型) $a_{n+1}=a_{n}+d$

レベル 


2・2型(等比型) $a_{n+1}=ra_{n}$

レベル 


2・3型(階差型) $a_{n+1}=a_{n}+f(n)$

レベル ★★


2・4型(特性方程式型) $a_{n+1}=pa_{n}+q$

レベル ★★


2・5型(指数型) $a_{n+1}=pa_{n}+q\cdot r^{n}$

レベル ★★★


2・6型(逆数型) $a_{n+1}=\dfrac{pa_{n}}{qa_{n}+r}$

レベル ★★★


2・7型(n次式スライド型) $a_{n+1}=pa_{n}+f(n)$

レベル ★★★


2・8型(階比型) $a_{n+1}=f(n)a_{n}$

レベル ★★★★


2・9型(対数型) $a_{n+1}=pa_{n}^{q}$

レベル ★★★★


2・10型(1次分数型) $a_{n+1}=\dfrac{pa_{n}+q}{ra_{n}+s}$

レベル ★★★★★


隣接3項間漸化式

3・1型(隣接3項間漸化式の基本) $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=0$

レベル ★★★


3・2型(隣接3項間漸化式の応用) $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_{n}=r$

レベル ★★★★★


和を含んだ漸化式

和を含んだ漸化式

レベル ★★★


連立漸化式

連立漸化式

レベル ★★★


漸化式の応用問題

確率漸化式

レベル ★★★




志望別おすすめコース

上の漸化式のどのレベルのものを習得すればいいのかは,志望校によって異なりますので,以下を参考にしてください.


・教科書範囲.数学を使うのがセンターまで,あるいは日東駒専等の大学群志望の人・・・★★まで

・教科書の発展まで含めた範囲.MARCH,中堅国公立レベル志望の人・・・★★★まで

・旧帝国大学,東工大,一橋,早慶,医学部等の難関大学志望の人・・・★★★★まで

・上の難関大学志望の人の中でも,漸化式を通して,入試に通用する数列力を確実につけたい人・・・★★★★★まで



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