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2・5型(指数型)の漸化式

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 


アイキャッチ

ここからは応用編です.難関大受験者にとっては常識ですが,教科書に完全には記述がないので,誘導付きで出題されるケースが多くなります.





例題と解法まとめ

例題

2・5型(指数型) $a_{n+1}=pa_{n}+q\cdot r^{n}$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=2$,$a_{n+1}=3a_{n}+2^{n}$


講義

$2^{n}$ の存在が厄介です.ずばりこの例題は両辺 $\color{red}{2^{n+1}}$ で割ります.

$\underline{\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}}=\dfrac{3}{2}\cdot\underline{\dfrac{a_{n}}{2^{n}}}+\dfrac{1}{2}$

上の下線のように,$\boldsymbol{n}$ のナンバリングを揃えるように変形します.$b_{n}=\dfrac{a_{n}}{2^{n}}$ とおけば

$b_{n+1}=\dfrac{3}{2}b_{n}+\dfrac{1}{2}$,$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{2}=1$

となり,2・4型(特性方程式型)の漸化式に帰着できます.

後は $b_{n}$ の一般項を出して,$a_{n}$ の一般項を出して終わりです.


解答

両辺 $2^{n+1}$ で割ります.

$\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{a_{n}}{2^{n}}+\dfrac{1}{2}$

ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{2^{n}}$ とおくと,

$b_{n+1}=\dfrac{3}{2}b_{n}+\dfrac{1}{2}$,$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{2}=1$

$\therefore \ b_{n+1}+1=\dfrac{3}{2}\left(b_{n}+1\right)$ ←特性解 $-1$

よって,$\left\{b_{n}+1\right\}$ は初項 $b_{1}+1=2$,公比 $\dfrac{3}{2}$ の等比数列なので

$b_{n}+1=2\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}$

$\therefore \ b_{n}=2\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1$

これより

   $\therefore \ a_{n}=2^{n}b_{n}$

     $=2^{n}\left\{2\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right\}$

     $=\boldsymbol{4\cdot3^{n-1}-2^n}$



解法まとめ

$a_{n+1}=pa_{n}+q\cdot r^{n}$ の解法まとめ

① 両辺 $\boldsymbol{r^{n+1}}$ で割る.

$\boldsymbol{n}$ のナンバリングを揃えるように変形する.

${\dfrac{a_{n+1}}{r^{n+1}}=\dfrac{p}{r}\cdot\dfrac{a_{n}}{r^{n}}+\dfrac{q}{r}}$

③ $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{r^{n}}$ とおいて $\{b_{n}\}$ の一般項を出す.その後 $\{a_{n}\}$ の一般項を出す.




練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=6$,$a_{n+1}=2a_{n}+3^{n}$

(2) $a_{1}=5$,$a_{n+1}=3a_{n}+5\cdot 3^{n}$

(3) $a_{1}=-1$,$4a_{n+1}=a_{n}+\dfrac{3}{2^{n}}$

練習の解答



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