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2-5型(指数型)の漸化式

数列(入試の標準) ★★★

アイキャッチ

検定教科書に完全には記載がないので,誘導付きで出題されるケースが多くなります.

漸化式ガチャ

例題と解法まとめ

例題

2-5型(指数型) $a_{n+1}=pa_{n}+q\cdot r^{n}$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=2$,$a_{n+1}=3a_{n}+2^{n}$


講義

$2^{n}$ の存在が厄介です.ずばりこの例題は両辺 $2^{n+1}$ で割ります.

$\underline{\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}}=\dfrac{3}{2}\cdot\underline{\dfrac{a_{n}}{2^{n}}}+\dfrac{1}{2}$

上の下線のように,$\boldsymbol{n}$ のナンバリングを揃えるように変形します.$b_{n}=\dfrac{a_{n}}{2^{n}}$ とおけば

$b_{n+1}=\dfrac{3}{2}b_{n}+\dfrac{1}{2}$,$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{2}=1$

となり,2-4型(特性方程式型)の漸化式に帰着できます.

後は $b_{n}$ の一般項を出して,$a_{n}$ の一般項を出します.


解答

両辺 $2^{n+1}$ で割ると

$\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{a_{n}}{2^{n}}+\dfrac{1}{2}$

ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{2^{n}}$ とおくと

$b_{n+1}=\dfrac{3}{2}b_{n}+\dfrac{1}{2}$,$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{2}=1$

$\Longleftrightarrow b_{n+1}+1=\dfrac{3}{2}\left(b_{n}+1\right)$ ←特性解 $-1$

よって,$\left\{b_{n}+1\right\}$ は初項 $b_{1}+1=2$,公比 $\dfrac{3}{2}$ の等比数列なので

$b_{n}+1=2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}$

$\therefore \ b_{n}=2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1$

これより

 $a_{n}=2^{n}b_{n}$

  $=2^{n}\left\{2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right\}$

  $=\boldsymbol{4\cdot3^{n-1}-2^n}$

※ 最初に $3^{n+1}$ で割り,$b_{n}=\dfrac{a_{n}}{3^{n}}$ とおくと2-3型(階差型)の漸化式に帰着できるのでそれでも解けます.

解法まとめ

$a_{n+1}=pa_{n}+q\cdot r^{n}$ の解法まとめ

① 両辺 $\boldsymbol{r^{n+1}}$ で割る.

$\boldsymbol{n}$ のナンバリングを揃えるように変形する.

$\boldsymbol{\dfrac{a_{n+1}}{r^{n+1}}=\dfrac{p}{r}\cdot\dfrac{a_{n}}{r^{n}}+\dfrac{q}{r}}$

③ $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{r^{n}}$ とおいて $\{b_{n}\}$ の一般項を出す.その後 $\{a_{n}\}$ の一般項を出す.

※ 最初に $p^{n+1}$ で割り,$b_{n}=\dfrac{a_{n}}{p^{n}}$ とおくと2-3型(階差型)の漸化式に帰着できるのでそれでも解けます.

練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=6$,$a_{n+1}=2a_{n}+3^{n}$

(2) $a_{1}=5$,$a_{n+1}=3a_{n}+5\cdot 3^{n}$

(3) $a_{1}=-1$,$4a_{n+1}=a_{n}+\dfrac{3}{2^{n}}$

練習の解答

(1)

両辺 $3^{n+1}$ で割ると

$\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a_{n}}{3^{n}}+\dfrac{1}{3}$

ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{3^{n}}$ とおくと

$b_{n+1}=\dfrac{2}{3}b_{n}+\dfrac{1}{3}$,$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{3^1}=2$

$\Longleftrightarrow \ b_{n+1}-1=\dfrac{2}{3}\left(b_{n}-1\right)$

よって,$\left\{b_{n}-1\right\}$ は初項 $b_{1}-1=1$,公比 $\dfrac{2}{3}$ の等比数列なので

$b_{n}-1=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$

$\therefore \ b_{n}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}+1$

これより

 $a_{n}=3^{n}b_{n}$

  $=3^{n}\left\{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}+1 \right\}$

  $=\boldsymbol{3\cdot2^{n-1}+3^n}$


(2)

両辺 $3^{n+1}$ で割ると

$\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{a_{n}}{3^{n}}+\dfrac{5}{3}$

ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{3^{n}}$ とおくと

$b_{n+1}=b_{n}+\dfrac{5}{3}$,$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{3^1}=\dfrac{5}{3}$ ←等差型

$\therefore \ b_{n}=\dfrac{5}{3}+(n-1)\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{3}n$

これより

 $a_{n}=3^{n}b_{n}$

  $=3^{n} \cdot \dfrac{5}{3}n$

  $=\boldsymbol{5n\cdot3^{n-1}}$


(3)

両辺 $2^{n}$ でかけると

$4\cdot 2^{n}a_{n+1}=2^{n}a_{n}+3$

$\Longleftrightarrow \ 2^{n+1}a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\cdot 2^{n}a_{n}+\dfrac{3}{2}$

ここで $b_{n}=2^{n}a_{n}$ とおくと

$b_{n+1}=\dfrac{1}{2}b_{n}+\dfrac{3}{2}$,$b_{1}=2^{1}a_{1}=-2$

 $\Longleftrightarrow \ b_{n+1}-3=\dfrac{1}{2}\left(b_{n}-3\right)$

よって,$\left\{b_{n}-3\right\}$ は初項 $b_{1}-3=-5$,公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列なので

$b_{n}-3=-5\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

$\therefore \ b_{n}=3-5\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

これより

 $a_{n}=\dfrac{b_{n}}{2^{n}}$

  $=\boldsymbol{3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}-5\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n-1}}$