2・5型(指数型)の漸化式
タイプ：入試の標準 レベル：★★★
ここからは応用編です．難関大受験者にとっては常識ですが，教科書に完全には記述がないので，誘導付きで出題されるケースが多くなります．
例題と解法まとめ
例題
2・5型(指数型) $a_{n+1}=pa_{n}+q\cdot r^{n}$
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
$a_{1}=2$，$a_{n+1}=3a_{n}+2^{n}$
講義
$2^{n}$ の存在が厄介です．ずばりこの例題は両辺 $\color{red}{2^{n+1}}$ で割ります．
$\underline{\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}}=\dfrac{3}{2}\cdot\underline{\dfrac{a_{n}}{2^{n}}}+\dfrac{1}{2}$
上の下線のように，$\boldsymbol{n}$ のナンバリングを揃えるように変形します．$b_{n}=\dfrac{a_{n}}{2^{n}}$ とおけば
$b_{n+1}=\dfrac{3}{2}b_{n}+\dfrac{1}{2}$，$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{2}=1$
となり，2・4型(特性方程式型)の漸化式に帰着できます．
後は $b_{n}$ の一般項を出して，$a_{n}$ の一般項を出して終わりです．
解答
両辺 $2^{n+1}$ で割ります．
$\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{a_{n}}{2^{n}}+\dfrac{1}{2}$
ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{2^{n}}$ とおくと，
$b_{n+1}=\dfrac{3}{2}b_{n}+\dfrac{1}{2}$，$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{2}=1$
$\therefore \ b_{n+1}+1=\dfrac{3}{2}\left(b_{n}+1\right)$ ←特性解 $-1$
よって，$\left\{b_{n}+1\right\}$ は初項 $b_{1}+1=2$，公比 $\dfrac{3}{2}$ の等比数列なので
$b_{n}+1=2\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}$
$\therefore \ b_{n}=2\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1$
これより
$\therefore \ a_{n}=2^{n}b_{n}$
$=2^{n}\left\{2\cdot\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right\}$
$=\boldsymbol{4\cdot3^{n-1}-2^n}$
解法まとめ
$a_{n+1}=pa_{n}+q\cdot r^{n}$ の解法まとめ
① 両辺 $\boldsymbol{r^{n+1}}$ で割る．
↓
② $\boldsymbol{n}$ のナンバリングを揃えるように変形する．
${\dfrac{a_{n+1}}{r^{n+1}}=\dfrac{p}{r}\cdot\dfrac{a_{n}}{r^{n}}+\dfrac{q}{r}}$
↓
③ $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{r^{n}}$ とおいて $\{b_{n}\}$ の一般項を出す．その後 $\{a_{n}\}$ の一般項を出す．
練習問題
練習
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
(1) $a_{1}=6$，$a_{n+1}=2a_{n}+3^{n}$
(2) $a_{1}=5$，$a_{n+1}=3a_{n}+5\cdot 3^{n}$
(3) $a_{1}=-1$，$4a_{n+1}=a_{n}+\dfrac{3}{2^{n}}$
練習の解答