2-5型(指数型)の漸化式
数列(入試の標準) ★★★
検定教科書に完全には記載がないので，誘導付きで出題されるケースが多くなります．
例題と解法まとめ
例題
2-5型(指数型) $a_{n+1}=pa_{n}+q\cdot r^{n}$
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
$a_{1}=2$，$a_{n+1}=3a_{n}+2^{n}$
講義
$2^{n}$ の存在が厄介です．ずばりこの例題は両辺 $2^{n+1}$ で割ります．
$\underline{\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}}=\dfrac{3}{2}\cdot\underline{\dfrac{a_{n}}{2^{n}}}+\dfrac{1}{2}$
上の下線のように，$\boldsymbol{n}$ のナンバリングを揃えるように変形します．$b_{n}=\dfrac{a_{n}}{2^{n}}$ とおけば
$b_{n+1}=\dfrac{3}{2}b_{n}+\dfrac{1}{2}$，$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{2}=1$
となり，2-4型(特性方程式型)の漸化式に帰着できます．
後は $b_{n}$ の一般項を出して，$a_{n}$ の一般項を出します．
解答
両辺 $2^{n+1}$ で割ると
$\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{a_{n}}{2^{n}}+\dfrac{1}{2}$
ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{2^{n}}$ とおくと
$b_{n+1}=\dfrac{3}{2}b_{n}+\dfrac{1}{2}$，$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{2}=1$
$\Longleftrightarrow b_{n+1}+1=\dfrac{3}{2}\left(b_{n}+1\right)$ ←特性解 $-1$
よって，$\left\{b_{n}+1\right\}$ は初項 $b_{1}+1=2$，公比 $\dfrac{3}{2}$ の等比数列なので
$b_{n}+1=2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}$
$\therefore \ b_{n}=2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1$
これより
$a_{n}=2^{n}b_{n}$
$=2^{n}\left\{2\left(\dfrac{3}{2}\right)^{n-1}-1\right\}$
$=\boldsymbol{4\cdot3^{n-1}-2^n}$
※ 最初に $3^{n+1}$ で割り，$b_{n}=\dfrac{a_{n}}{3^{n}}$ とおくと2-3型(階差型)の漸化式に帰着できるのでそれでも解けます．
解法まとめ
$a_{n+1}=pa_{n}+q\cdot r^{n}$ の解法まとめ
① 両辺 $\boldsymbol{r^{n+1}}$ で割る．
↓
② $\boldsymbol{n}$ のナンバリングを揃えるように変形する．
$\boldsymbol{\dfrac{a_{n+1}}{r^{n+1}}=\dfrac{p}{r}\cdot\dfrac{a_{n}}{r^{n}}+\dfrac{q}{r}}$
↓
③ $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{r^{n}}$ とおいて $\{b_{n}\}$ の一般項を出す．その後 $\{a_{n}\}$ の一般項を出す．
※ 最初に $p^{n+1}$ で割り，$b_{n}=\dfrac{a_{n}}{p^{n}}$ とおくと2-3型(階差型)の漸化式に帰着できるのでそれでも解けます．
練習問題
練習
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
(1) $a_{1}=6$，$a_{n+1}=2a_{n}+3^{n}$
(2) $a_{1}=5$，$a_{n+1}=3a_{n}+5\cdot 3^{n}$
(3) $a_{1}=-1$，$4a_{n+1}=a_{n}+\dfrac{3}{2^{n}}$
練習の解答
(1)
両辺 $3^{n+1}$ で割ると
$\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{a_{n}}{3^{n}}+\dfrac{1}{3}$
ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{3^{n}}$ とおくと
$b_{n+1}=\dfrac{2}{3}b_{n}+\dfrac{1}{3}$，$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{3^1}=2$
$\Longleftrightarrow \ b_{n+1}-1=\dfrac{2}{3}\left(b_{n}-1\right)$
よって，$\left\{b_{n}-1\right\}$ は初項 $b_{1}-1=1$，公比 $\dfrac{2}{3}$ の等比数列なので
$b_{n}-1=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}$
$\therefore \ b_{n}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}+1$
これより
$a_{n}=3^{n}b_{n}$
$=3^{n}\left\{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-1}+1 \right\}$
$=\boldsymbol{3\cdot2^{n-1}+3^n}$
(2)
両辺 $3^{n+1}$ で割ると
$\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}}=\dfrac{a_{n}}{3^{n}}+\dfrac{5}{3}$
ここで $b_{n}=\dfrac{a_{n}}{3^{n}}$ とおくと
$b_{n+1}=b_{n}+\dfrac{5}{3}$，$b_{1}=\dfrac{a_{1}}{3^1}=\dfrac{5}{3}$ ←等差型
$\therefore \ b_{n}=\dfrac{5}{3}+(n-1)\dfrac{5}{3}=\dfrac{5}{3}n$
これより
$a_{n}=3^{n}b_{n}$
$=3^{n} \cdot \dfrac{5}{3}n$
$=\boldsymbol{5n\cdot3^{n-1}}$
(3)
両辺 $2^{n}$ でかけると
$4\cdot 2^{n}a_{n+1}=2^{n}a_{n}+3$
$\Longleftrightarrow \ 2^{n+1}a_{n+1}=\dfrac{1}{2}\cdot 2^{n}a_{n}+\dfrac{3}{2}$
ここで $b_{n}=2^{n}a_{n}$ とおくと
$b_{n+1}=\dfrac{1}{2}b_{n}+\dfrac{3}{2}$，$b_{1}=2^{1}a_{1}=-2$
$\Longleftrightarrow \ b_{n+1}-3=\dfrac{1}{2}\left(b_{n}-3\right)$
よって，$\left\{b_{n}-3\right\}$ は初項 $b_{1}-3=-5$，公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列なので
$b_{n}-3=-5\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
$\therefore \ b_{n}=3-5\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$
これより
$a_{n}=\dfrac{b_{n}}{2^{n}}$
$=\boldsymbol{3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}-5\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2n-1}}$