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2・3型(階差型)の漸化式

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

階差数列を使って $\{a_{n}\}$ の一般項を求めます.





例題と解法まとめ

例題

2・3型(階差型) $a_{n+1}=a_{n}+f(n)$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=1,a_{n+1}=a_{n}+4n+3$


講義

階差数列を使って一般項を求める数列です(復習したい場合,階差型の数列をご確認ください.)

今回は2項間の差が $4n+3$,つまり階差数列が等差数列になっています.$f(n)$ を階差数列とすると階差型の数列にあるように,一般項は

$\displaystyle a_{n}=\begin{cases}\displaystyle a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) \ \ (n\geqq 2)\\ a_{1} \hspace{22mm} (n=1) \end{cases}$

です.


解答

$n\geqq 2$ のとき

 $\displaystyle a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1}(4k+3)$

  $\displaystyle =1+4\cdot\dfrac{1}{2}(n-1)n+3(n-1)$

  $\displaystyle =2n^{2}+n-2$

これは $n=1$ のときも成り立つ

 $\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=2n^{2}+n-2}$



解法まとめ

$a_{n+1}=a_{n}+f(n)$ の解法まとめ

階差数列 $f(n)$ を使って

$\displaystyle a_{n}=\begin{cases}\displaystyle a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) \ \ (n\geqq 2)\\ a_{1} \hspace{22mm} (n=1) \end{cases}$

で一般項を出す.




練習問題

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

(1) $a_{1}=1$,$a_{n+1}=a_{n}+2n$

(2) $a_{1}=2$,$a_{n+1}=a_{n}-12n^{2}+4$

(3) $a_{1}=1$,$a_{n+1}=a_{n}+3^{n}-4n$

練習の解答



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