2-3型(階差型)の漸化式
数列(教科書範囲) ★★
階差型の漸化式について扱います．
例題と解法まとめ
例題
2-3型(階差型) $a_{n+1}=a_{n}+f(n)$
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
$a_{1}=1，a_{n+1}=a_{n}+4n+3$
講義
階差数列を使って一般項を求める数列です．
今回は2項間の差が $4n+3$，つまり階差数列が等差数列になっています．$f(n)$ を階差数列とすると階差型の数列にあるように，一般項は
$\displaystyle a_{n}=\begin{cases}\displaystyle a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) \ \ (n\geqq 2)\\ a_{1} \hspace{22mm} (n=1) \end{cases}$
です．
解答
$n\geqq 2$ のとき
$\displaystyle a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1}(4k+3)$
$\displaystyle =1+4\cdot\dfrac{1}{2}(n-1)n+3(n-1)$
$\displaystyle =2n^{2}+n-2$
これは $n=1$ のときも成り立つ
$\boldsymbol{a_{n}=2n^{2}+n-2}$
解法まとめ
$a_{n+1}=a_{n}+f(n)$ の解法まとめ
階差数列 $f(n)$ を使って
$\displaystyle a_{n}=\begin{cases}\displaystyle a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) \ \ (n\geqq 2)\\ a_{1} \hspace{22mm} (n=1) \end{cases}$
※ 基本的に $n\geqq1$ でまとめられる
で一般項を出す．
練習問題
練習
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
(1) $a_{1}=1$，$a_{n+1}=a_{n}+2n$
(2) $a_{1}=2$，$a_{n+1}=a_{n}-12n^{2}+4$
(3) $a_{1}=1$，$a_{n+1}=a_{n}+3^{n}-4n$
練習の解答
(1) $n\geqq 2$ のとき
$\displaystyle a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1}2k$
$\displaystyle =1+2\cdot\dfrac{1}{2}(n-1)n$
$\displaystyle =n^{2}-n+1$
これは $n=1$ のときも成り立つ
$\boldsymbol{a_{n}=n^{2}-n+1}$
(2) $n\geqq 2$ のとき
$\displaystyle a_{n}=2+\sum_{k=1}^{n-1}(-12k^{2}+4)$
$\displaystyle =2-12\cdot\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)+4(n-1)$
$\displaystyle =-4n^{3}+6n^{2}+2n-2$
これは $n=1$ のときも成り立つ
$\boldsymbol{a_{n}=-4n^{3}+6n^{2}+2n-2}$
(3) $n\geqq 2$ のとき
$\displaystyle a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1}(3^{k}-4k)$
$\displaystyle =1+\dfrac{3-3\cdot3^{n-1}}{1-3}-4\cdot\dfrac{1}{2}(n-1)n$
$\displaystyle =1+\dfrac{3^{n}-3}{2}-2(n-1)n$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\cdot 3^{n}-2n^{2}+2n-\dfrac{1}{2}$
これは $n=1$ のときも成り立つ
$\boldsymbol{a_{n}=\dfrac{1}{2}\cdot 3^{n}-2n^{2}+2n-\dfrac{1}{2}}$