2・3型(階差型)の漸化式
タイプ:教科書範囲 レベル:★★

階差数列を使って $\{a_{n}\}$ の一般項を求めます.
例題と解法まとめ
例題
2・3型(階差型) $a_{n+1}=a_{n}+f(n)$
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.
$a_{1}=1,a_{n+1}=a_{n}+4n+3$
講義
階差数列を使って一般項を求める数列です.
今回は2項間の差が $4n+3$,つまり階差数列が等差数列になっています.$f(n)$ を階差数列とすると階差型の数列にあるように,一般項は
$\displaystyle a_{n}=\begin{cases}\displaystyle a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) \ \ (n\geqq 2)\\ a_{1} \hspace{22mm} (n=1) \end{cases}$
です.
解答
$n\geqq 2$ のとき
$\displaystyle a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1}(4k+3)$
$\displaystyle =1+4\cdot\dfrac{1}{2}(n-1)n+3(n-1)$
$\displaystyle =2n^{2}+n-2$
これは $n=1$ のときも成り立つ
$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=2n^{2}+n-2}$
解法まとめ
$a_{n+1}=a_{n}+f(n)$ の解法まとめ
階差数列 $f(n)$ を使って
$\displaystyle a_{n}=\begin{cases}\displaystyle a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) \ \ (n\geqq 2)\\ a_{1} \hspace{22mm} (n=1) \end{cases}$
で一般項を出す.
練習問題
練習
数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.
(1) $a_{1}=1$,$a_{n+1}=a_{n}+2n$
(2) $a_{1}=2$,$a_{n+1}=a_{n}-12n^{2}+4$
(3) $a_{1}=1$,$a_{n+1}=a_{n}+3^{n}-4n$
練習の解答