2・3型(階差型)の漸化式

タイプ：教科書範囲　レベル：★★　

階差数列を使って $\{a_{n}\}$ の一般項を求めます．

例題と解法まとめ

2・3型(階差型)　$a_{n+1}=a_{n}+f(n)$

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．

$a_{1}=1，a_{n+1}=a_{n}+4n+3$

講義

階差数列を使って一般項を求める数列です．

今回は2項間の差が $4n+3$，つまり階差数列が等差数列になっています．$f(n)$ を階差数列とすると階差型の数列にあるように，一般項は

$\displaystyle a_{n}=\begin{cases}\displaystyle a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) \ \ (n\geqq 2)\\ a_{1} \hspace{22mm} (n=1) \end{cases}$

です．

解答

$n\geqq 2$ のとき

　$\displaystyle a_{n}=1+\sum_{k=1}^{n-1}(4k+3)$

　　$\displaystyle =1+4\cdot\dfrac{1}{2}(n-1)n+3(n-1)$

　　$\displaystyle =2n^{2}+n-2$

これは $n=1$ のときも成り立つ

$\therefore \ \boldsymbol{a_{n}=2n^{2}+n-2}$

$a_{n+1}=a_{n}+f(n)$ の解法まとめ

階差数列 $f(n)$ を使って

$\displaystyle a_{n}=\begin{cases}\displaystyle a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}f(k) \ \ (n\geqq 2)\\ a_{1} \hspace{22mm} (n=1) \end{cases}$

で一般項を出す．

練習

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．

(1) $a_{1}=1$，$a_{n+1}=a_{n}+2n$

(2) $a_{1}=2$，$a_{n+1}=a_{n}-12n^{2}+4$

(3) $a_{1}=1$，$a_{n+1}=a_{n}+3^{n}-4n$

練習の解答