階差型の数列
数列(教科書範囲) ★★
階差数列を用いて一般項を求める数列について扱います．
当サイトではそのような数列を階差型の数列と呼ぶことにします．
階差型の数列
導入
数列で，項と項の間の差をとったときに，その数列のことを階差数列といいます．今回は $\{b_{n}\}$ とおきます．
ところで $\{a_{n}\}$ 自体のことを階差数列と勘違いしてる人が多いです．$\{a_{n}\}$ は当サイトでは階差型の数列と呼ぶことにします．
どうすれば $\{a_{n}\}$ の一般項を求められるでしょうか．
考え方は等差や等比数列と同じで，$a_{n}$ を求めるには，上の赤い箇所をすべて足せばいいので，$\{a_{n}\}$ の一般項は以下になります．
ポイント
階差型の数列の一般項
数列 $\{a_{n}\}$ の階差数列を $\{b_{n}\}$ とすると
$\displaystyle a_{n}=\begin{cases}\displaystyle a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_{k} \ \ (n\geqq 2)\\ a_{1} \hspace{18mm} (n=1) \end{cases}$
※ 基本的に $n\geqq1$ でまとめられる
そもそも $n\geqq 2$ でないと差が取れないので，必然的に場合分けをすることになりますが，下の章で考察するように基本的に $n=1$ のときも $n\geqq 2$ の場合に含ませることがきますので，答案ではそれを言及します．
一般項を すべて $n\geqq 2$ と $n=1$ でまとめられるのか
この章は全員必須ではなく，一部の興味がある人向けです．
基本的にはまとめられる
一般項が，$n\geqq 2$ のときと $n=1$ のときでまとめられない場合があるのか考察します．
一般項は上で述べた通り
$\displaystyle a_{n}=\begin{cases}\displaystyle a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}b_{k} \ \ (n\geqq 2)\\ a_{1} \hspace{18mm} (n=1) \end{cases}$
とあるので，$n=1$ のとき $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_{k}=0$ となれば上の場合分けはまとめられることになります．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}b_{k}$ は普通シグマ公式で計算できる問題が大半なので，シグマ公式を書いてみると
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k=\dfrac{1}{2}(n-1)n$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k^{2}=\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}k^{3}=\dfrac{1}{4}(n-1)^{2}n^{2}$
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}c=(n-1)c$ ( $c$ は定数)
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}c_{k}=\dfrac{c_{1}-c_{n-1}r}{1-r}$ ( $c_{k}$ は等比数列)
上のどのタイプも $n=1$ のとき $0$ となります．
つまり少なくともシグマ公式で算出できるものは，一般項を $n\geqq 2$ と $n=1$ でまとめられると言えます．
まとめられないケース
まとめられないケースを強引に用意したので，興味がある方のみ下の例をご覧ください．
例
数列 $\{a_{n}\}$ が以下のようになっている．
$1$，$2$，$2$，$3$，$5$，$8$，$\cdots$
数列 $\{a_{n}\}$ の階差数列を $\{b_{n}\}$ とする．$a_{1}=1$，$b_{n}=|n-2|$ とするとき，数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ．
例の解答
例の解答
一般項は
$\displaystyle a_{n}=\begin{cases}\displaystyle 1+\sum_{k=1}^{n-1}|k-2| \ \ (n\geqq 2)\\ 1 \hspace{26.5mm} (n=1) \end{cases}$
となる．ここで $n\geqq 2$ において
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}|k-2|=\begin{cases}\displaystyle 1+\dfrac{1}{2}(n-2)(n-3) \ \ (n\geqq 3)\\ 1 \hspace{37.3mm} (n=2) \end{cases}$
$\displaystyle =1+\dfrac{1}{2}(n-2)(n-3) \ \ (n\geqq 2)$
となるので，改めて一般項は
$\displaystyle \boldsymbol{a_{n}=}\begin{cases}\displaystyle \boldsymbol{2+\dfrac{1}{2}(n-2)(n-3) \ \ (n\geqq 2)}\\ \boldsymbol{1 \hspace{42mm} (n=1)} \end{cases}$
となる．
つまり階差数列が絶対値になるなど，あまり普通でないケースになる場合はまとめられません．
例題と練習問題
例題
例題
次の数列の第 $n$ 項を求めよ．
$-1，0，2，6，14，30，\cdots$
例題の解答
この数列を $\{a_{n}\}$，階差数列を $\{b_{n}\}$ とすると
$\{b_{n}\} : 1,2,4,8,\cdots$ となるので，$b_{n}=2^{n-1}$
$n\geqq 2$ のとき ←忘れない
$\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}$
$\displaystyle =-1+\dfrac{1-2^{n-2}\cdot 2}{1-2}$
$\displaystyle =-1+2^{n-1}-1$
$\displaystyle =2^{n-1}-2$
これは $n=1$ のときも成り立つ．←断っておきます
$\displaystyle \therefore \boldsymbol{a_{n}=2^{n-1}-2}$
練習問題
練習
次の数列の第 $n$ 項を求めよ．
(1) $2，10，24，44，70，102，\cdots$
(2) $1，3，13，37，81，151，\cdots$
解答
(1) この数列を $\{a_{n}\}$，階差数列を $\{b_{n}\}$ とすると
$\{b_{n}\} : 8,14,20,26,\cdots$ となるので，$b_{n}=6n+2$
$n\geqq 2$ のとき
$\displaystyle a_{n}=a_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}(6k+2)$
$\displaystyle =2+6\cdot \dfrac{1}{2}(n-1)n+2(n-1)$
$\displaystyle =3n^{2}-n$
これは $n=1$ のときも成り立つ．
$\displaystyle \therefore \boldsymbol{a_{n}=3n^{2}-n}$
(2) この数列を $\{c_{n}\}$ とすると，階差数列は $\{a_{n}\}$ である．
$n\geqq 2$ のとき
$\displaystyle c_{n}=c_{1}+\sum_{k=1}^{n-1}(3k^{2}-k)$
$\displaystyle =1+3\cdot\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)-\dfrac{1}{2}(n-1)n$
$\displaystyle =1+\dfrac{1}{2}(2n^{3}-3n^{2}+n-n^{2}+n)$
$\displaystyle =n^{3}-2n^{2}+n+1$
これは $n=1$ のときも成り立つ．
$\displaystyle \therefore \boldsymbol{c_{n}=n^{3}-2n^{2}+n+1}$