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(等差)×(等比)の和,(2次式)×(等比)の和

タイプ:教科書範囲 レベル:★★★ 


アイキャッチ

(等差数列)×(等比数列)の和ですが.こちらは教科書範囲で高校の定期試験やセンター試験などでも頻出です.

(2次式の数列)×(等差数列)は入試で稀に出題される印象です.

一般に ( $m$ 次式)×(等差数列)の和は同じ方法で計算できますが,$m\geqq3$ は計算大変なのでまず出ません.





(等差)×(等比)の和,(2次式)×(等比)の和の解き方

ポイント

(等差)×(等比)の和,(2次式)×(等比)の和の解き方

和を書き並べて,和から和に公比をかけたものを右にずらして引く.


公比をかけて右にずらして引くという操作は,等比数列の和の公式を導くときにもしたことですね.

下の例題と練習問題を使って解説します.




例題と練習問題

例題

例題

次の和 $S_{n}$,$T_{n}$ をそれぞれ求めよ.

(1) $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}(2k+1)2^{k}$

(2) $\displaystyle T_{n}=\sum_{k=1}^{n}k^{2}2^{k-1}$


講義

どちらもシグマを展開して書き並べて,公比をかけたものを右にずらして引きます.

(1)で説明すると

等差×等比イントロ

上のように,引き算を実行すると,等比数列の和が現れて(解答波下線部),$S_{n}$ を求められます.

(2)の(2次式)×(等比)の和の方は,1回この操作を行うと(等差)×(等比)の和になります.


解答

(1)

等差×等比例題(1)

$\therefore \ \boldsymbol{S_{n}=(2n-1)2^{n+1}+2}$


(2)

等差×等比例題(2)

$\therefore \ \boldsymbol{T_{n}=(n^{2}-2n+3)2^{n}-3}$



練習問題

練習

次の和 $S_{n}$,$T_{n}$ をそれぞれ求めよ.

(1) $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}(4k-3)5^{k-1}$

(2) $\displaystyle T_{n}=\sum_{k=1}^{n}k^{2}2^{n-k}$

練習の解答



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