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積の微分と商の微分

微分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

積の微分と商の微分公式について証明とその関連問題を扱います.



積の微分と商の微分とその証明

ポイント

積の微分と商の微分

(積の微分)

$\displaystyle \boldsymbol{\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$


(商の微分)

$\displaystyle \boldsymbol{\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$


特に商の微分が,なぜ分子にマイナスがあるのか疑問に思った人はいるかと思います.これも導関数の定義から導くだけですが,多少技巧的です.

証明

積の微分の証明

 $\{f(x)g(x)\}'$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$

 ↑導関数の定義

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)\color{green}{-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}-f(x)g(x)}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\left\{\color{red}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}g(x+h)+f(x)\color{red}{\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}}\right\}$

 ↑導関数の定義使える形に

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$


商の微分の証明

 $\displaystyle \left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\dfrac{f(x)}{g(x)}}{h}$

 ↑導関数の定義

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x+h)g(x)}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x)\color{green}{-f(x)g(x)}-\{f(x)g(x+h)\color{green}{-f(x)g(x)}\}}{hg(x+h)g(x)}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\color{red}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}g(x)-\left\{f(x)\color{red}{\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}}\right\}}{g(x+h)g(x)}$

 ↑導関数の定義使える形に

$\displaystyle =\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$


分子のの式にあるように同じ式を引いて足してという操作をします.初見で思いつくのは厳しいと思いますので,読んで理解できれば十分だと思います.

$x^{n}$ ( $n$ は整数)の微分とその証明

$n$ が自然数のときの微分の証明は,数学Ⅱの $x^n$ の微分で扱いましたが,今度は $n$ が整数のときです.

ポイント

$x^{n}$ ( $n$ は整数)の微分

$n$ を整数とすると

$\displaystyle \boldsymbol{(x^n)'=nx^{n-1}}$

$x^{n}$ ( $n$ は整数)の微分の証明

(ⅰ) $n=0$ のとき

$(1)'=0$

より成立.

(ⅱ) $n$ が負の整数のとき

$n=-m$ とおくと

 $(x^n)'$

$=\left(\dfrac{1}{x^{m}}\right)'$

$=\dfrac{0\cdot x^{m}-1\cdot mx^{m-1}}{x^{2m}}$ ←商の微分

$=-mx^{-m-1}$

$=nx^{n-1}$


証明にあるように $n$ が $0$ のとき,負の整数のときの場合を商の微分を使ってうまく示していますが,対数微分法まで待てば $n$ が実数の場合で包括して証明できます.


例題と練習問題

例題

例題

次の関数を微分せよ.

(1) $y=(x^{2}+1)(3x-4)$

(2) $y=\dfrac{x^{2}-2x}{2x+1}$

(3)

$\boldsymbol{\{f(x)g(x)h(x)\}'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)}$

を証明せよ(上の公式を使ってよい).


講義

公式を適用するだけです.(3)は覚えなくてもいいと思いますが念のため紹介です.


解答

(1)

$\boldsymbol{y'}=2x(3x-4)+(x^{2}+1)3\boldsymbol{=9x^{2}-8x+3}$


(2)

$\boldsymbol{y'}=\dfrac{(2x-2)(2x+1)-(x^{2}-2x)2}{(2x+1)^2}\boldsymbol{=\dfrac{2(x^{2}+x-1)}{(2x+1)^2}}$


(3) $\{f(x)g(x)h(x)\}'$

$=f'(x)\{g(x)h(x)\}+f(x)\{g(x)h(x)\}'$

$=f'(x)g(x)h(x)+f(x)\{g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\}$

$=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$

練習問題

練習

次の関数を微分せよ.

(1) $\displaystyle y=(x^{2}-3x-1)(x^{2}+4)$

(2) $\displaystyle y=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1}$

(3) $\displaystyle y=(x-2)(2x+1)(x^{2}+1)$

解答

(1) $y'$

$\displaystyle =(2x-3)(x^{2}+4)+(x^{2}-3x-1)2x$

$\displaystyle =2x^{3}+8x-3x^{2}-12+2x^{3}-6x^{2}-2x$

$\displaystyle =\boldsymbol{4x^{3}-9x^{2}+6x-12}$

※ 展開してから微分してもいいと思います.


(2) $y'$

$\displaystyle =\dfrac{(2x+1)(x^{2}+1)-(x^{2}+x+1)2x}{(x^{2}+1)^{2}}$

$\displaystyle =\dfrac{2x^{3}+x^{2}+2x+1-(2x^{3}+2x^{2}+2x)}{(x^{2}+1)^{2}}$

$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}}$


(3) $y'$

$=(2x+1)(x^{2}+1)+(x-2)2(x^{2}+1)+(x-2)(2x+1)2x$

$=2x^{3}+x^{2}+2x+1+2(x^{3}-2x^{2}+x-2)+(2x^{2}-3x-2)2x$

$=\boldsymbol{8x^{3}-9x^{2}-3}$

※ 展開してから微分してもいいと思います.