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積の微分と商の微分とその証明

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

積の微分と商の微分公式について証明も含めて解説をします.

習得のための演習問題も用意しました.






積の微分と商の微分とその証明

ポイント

積の微分と商の微分

(積の微分)

$\displaystyle \boldsymbol{\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}$


(商の微分)

$\displaystyle \boldsymbol{\left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}}$


特に商の微分が,なぜ分子にマイナスがあるのか疑問に思った人はいるかと思います.これも導関数の定義から導くだけですが,多少技巧的です.



証明

積の微分の証明

 $\{f(x)g(x)\}'$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}$

 ↑導関数の定義

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)\color{green}{-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)}-f(x)g(x)}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\left\{\color{red}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}g(x+h)+f(x)\color{red}{\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}}\right\}$

 ↑導関数の定義使える形に

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$



商の微分の証明

 $\displaystyle \left\{\dfrac{f(x)}{g(x)}\right\}'$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\dfrac{f(x)}{g(x)}}{h}$

 ↑導関数の定義

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x+h)g(x)}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x)\color{green}{-f(x)g(x)}-\{f(x)g(x+h)\color{green}{-f(x)g(x)}\}}{hg(x+h)g(x)}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\color{red}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}g(x)-\left\{f(x)\color{red}{\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}}\right\}}{g(x+h)g(x)}$

 ↑導関数の定義使える形に

$\displaystyle =\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}$


分子のの式にあるように同じ式を引いて足してという操作をします.初見で思いつくのは厳しいと思いますので,読んで理解できれば十分だと思います.




例題と練習問題

例題

例題

次の関数を微分せよ.

(1) $y=(x^{2}+1)(3x-4)$

(2) $y=\dfrac{x^{2}-2x}{2x+1}$

(3)

$\boldsymbol{\{f(x)g(x)h(x)\}'=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)}$

を証明せよ(上の公式を使ってよい).


講義

公式を適用するだけです.(3)は覚えなくてもいいと思いますが念のため紹介です.


解答

(1)

$\boldsymbol{y'}=2x(3x-4)+(x^{2}+1)3\boldsymbol{=9x^{2}-8x+3}$


(2)

$\boldsymbol{y'}=\dfrac{(2x-2)(2x+1)-(x^{2}-2x)2}{(2x+1)^2}\boldsymbol{=\dfrac{2(x^{2}+x-1)}{(2x+1)^2}}$


(3) $\{f(x)g(x)h(x)\}'$

$=f'(x)\{g(x)h(x)\}+f(x)\{g(x)h(x)\}'$

$=f'(x)g(x)h(x)+f(x)\{g'(x)h(x)+g(x)h'(x)\}$

$=f'(x)g(x)h(x)+f(x)g'(x)h(x)+f(x)g(x)h'(x)$



練習問題

練習

次の関数を微分せよ.

(1) $\displaystyle y=(x^{2}-3x-1)(x^{2}+4)$

(2) $\displaystyle y=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+1}$

(3) $\displaystyle y=(x-2)(2x+1)(x^{2}+1)$

練習の解答



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