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微分とは何か(微分係数,導関数の定義)

タイプ:教科書範囲 レベル: 


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このページでは,微分とは何なのか,微分の導入をします.

数Ⅱの微分を想定していますが,数Ⅲも同じです.

微分係数,導関数の定義を紹介し,関連する演習問題を用意しました.





微分係数の定義,導関数の定義

導入

微分とは,どうすれば関数の接線を引くことができるだろうか,という疑問から始まります.


微分の導入

上の図のように,$y=f(x)$ 上の $x=a$ の点で接線を引きたいとします.接線の傾きさえわかれば,接線が出せるはずです.


微分の導入2

そこで $y=f(x)$ 上の $x=a+h$ の点を使い,2点を通る直線を引きます.この傾きならば,中学生でも出せるはずです.

ちなみにこの傾きのことを,$x=a$ から $a+h$ までの平均変化率といいます.(傾き) $=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ です.


微分の導入3

そして,$x=a+h$ の点を徐々に左の点に,つまり $h$ を 限りなく $\boldsymbol{0}$ に近づければ,上の点線は接線になるはずです.接線の傾きは $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ の $h$ を $0$ に近づけた値です.これを $x=a$ での微分係数といい,記号 $\displaystyle\lim_{h\to 0}$ を使い表します.


微分の導入4

以下にまとめます.


ポイント

$x=a$ での微分係数の定義(接線の傾き)

$\displaystyle \boldsymbol{f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}}$


※ なお,$f'(a)$ は大学ではエフプライムエーと呼ばれ,英語として正しいのはこちらなので当サイトとしてもプライムを推したいのですが,高校ではエフダッシュエーと読んでいる人が大多数です.

$\displaystyle\lim_{h\to 0}$ は極限と呼ばれ,この場合 $h$ を $0$ に限りなく近づけるという記号です(下で少し説明します).

とりあえずこれで接線の傾きが表せました.ここで $a$ は定数なので,変数 $x$ にしたい場合(接線の傾きの関数)にしたい場合は,$a$ に $x$ を代入し,それを導関数といいます.



ポイント

導関数の定義

$\displaystyle \boldsymbol{f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}}$


上の式,つまり導関数を求めることを微分をするといいます.

接線の傾きがわかれば,その時点でどのくらいグラフの増減に勢いがあるのかを調べることができるので,グラフの形を知る上で非常に重要です.

最終的には,微分をすることで多くの関数のグラフを書くことが出来ます.



微分係数と導関数の違い

微分係数はある一点での値なので定数です.

一方で,導関数は微分係数の関数です.




簡単な極限計算

ポイント

極限の計算

$x$ が $a$ と異なる値を取りながら $a$ に限りなく近づくとき

$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$


極限値の性質

$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)=\alpha$,$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)=\beta$ のとき,次のことが成り立つ.

・$\displaystyle \lim_{x\to a}(f(x)+g(x))=\alpha+\beta$

・$k$ が実数のとき,$\displaystyle \lim_{x\to a}kf(x)=k\alpha$

・$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta$

・$\beta\neq0$ のとき,$\displaystyle \lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\alpha}{\beta}$


下で例題と練習問題を解くために必要な項目を書いておきました.

本格的には数Ⅲの極限で扱いますが,定期試験等で多少極限計算が出るかもしれません.




例題と練習問題

例題

例題

関数 $f(x)=x^{2}-x$ において,次の問いに答えよ.

(1) $x=2$ における微分係数を求めよ.

(2) 導関数を求めよ.


講義

上の定義を使い,極限の計算をします.$\displaystyle \lim_{h\to 0}$ の中の式は最後まで約分をしてから数字を代入することに注意です.


解答

(1)

$\displaystyle f'(2)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$

  $\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{(2+h)^{2}-(2+h)-2}{h}$

  $\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{h^{2}+3h}{h}$

  $\displaystyle =\lim_{h\to 0}(h+3)$ ←約分してから代入

  $\displaystyle =\boldsymbol{3}$


(2)

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

  $\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^{2}-(x+h)-(x^{2}-x)}{h}$

  $\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{2xh+h^{2}-h}{h}$

  $\displaystyle =\lim_{h\to 0}(2x+h-1)$ ←約分してから代入

  $\displaystyle =\boldsymbol{2x-1}$



練習問題

練習

(1) 関数 $f(x)=x^{2}$ の $x=1$ での接線の傾きを(微分係数の定義に従って)求めよ.

(2) 関数 $f(x)=x^{3}-2x$ の導関数を(定義に従って)求めよ.

練習の解答



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