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関数の極限(右側極限,左側極限)

極限(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

関数の極限の導入から,片側極限(右側極限,左側極限)まで扱います.



関数の極限の例と基本性質

ポイント

関数の極限( $x \to a$ のとき)

関数 $f(x)$ において,実数 $x$ が $a$ と異なる値を取りながら $a$ に限りなく近づくとき,$f(x)$ が 一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくなら,$f(x)$ は $\alpha$ に収束するといい

$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\alpha$

または

$x \to a$ のとき $f(x) \to \alpha$

と表すときもある.$\alpha$ を極限値という.

また,収束しない場合は発散する.


数列と違い,関数 $f(x)$ ではどんな実数 $x$ も制限がなければとれます.

すなわち様々な点での極限値が考えられるわけです.

・$\displaystyle \ \lim_{x \to 1}(-x^{2}+4)=3$

関数の極限の例1

・$\displaystyle \ \lim_{x \to -1}\dfrac{x^{2}+3x+2}{x+1}=1$

関数の極限の例2

上のように,$\boldsymbol{x=-1}$ で定義できなくても極限値は存在することがあります.

・$\displaystyle \ \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x^2}=\infty$

関数の極限の例3

上のように,$\boldsymbol{x=0}$ で定義できなくても極限は考えられ,$\infty$ に発散することもあります.

ポイント

関数の極限( $x \to \pm\infty$ のとき)

関数 $f(x)$ において,実数 $x$ が限りなく大きくなるとき,$f(x)$ が 一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくなら,$f(x)$ は $\alpha$ に収束するといい

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\alpha$

または

$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \alpha$

と表すときもある.

逆に実数 $x$ が限りなく小さくなるときは

$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\alpha$

または

$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to \alpha$

と表すときもある.

また,収束しない場合は発散する.


$x \to \infty$ のときは極限値は数列の場合と同じ方法で算出します.

・$\displaystyle \ \lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0$

・$\displaystyle \ \lim_{x \to -\infty}\dfrac{1}{x}=0$

ポイント

極限の基本性質

$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\alpha$,$\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)=\beta$ のとき,次のことが成り立つ.

・$\displaystyle \lim_{x \to a}\{kf(x)+lg(x)\}=k\alpha+l\beta$ ( $k$,$l$ は実数)

・$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)g(x)=\alpha\beta$

・$\displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\alpha}{\beta}$ ($\beta\neq0$)

※ 以上の公式は $\alpha$,$\beta$ が有限確定値に収束した場合のみです.

※ また,$x \to a$ のときだでなく,$x \to \pm\infty$ のときも同様です.


続いて,どういうときに極限をもつのか解説します.

右側極限,左側極限と極限の存在

ポイント

右側極限,左側極限

実数 $x$ が,$a$ より大きい値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき,$f(x)$ が $\alpha$ に限りなく近づくならば

$\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)=\alpha$

と表し,右側極限という.

同様に実数 $x$ が,$a$ より小さい値をとりながら $a$ に限りなく近づくときは

$\displaystyle \lim_{x \to a-0}f(x)=\alpha$

と表し,左側極限という.

特に 上で $a=0$ のときはそれぞれ

$\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=\alpha$

$\displaystyle \lim_{x \to -0}f(x)=\alpha$

と表す.

$\displaystyle \ \lim_{x \to +0}\dfrac{x^{2}-x}{|x|}=\lim_{x \to +0}\dfrac{x^{2}-x}{x}=\lim_{x \to +0}(x-1)=-1$

$\displaystyle \ \lim_{x \to -0}\dfrac{x^{2}-x}{|x|}=\lim_{x \to -0}\dfrac{x^{2}-x}{-x}=\lim_{x \to -0}(-x+1)=1$

関数の極限の例4

上の例のように,関数によって(または特定の $x$ で)右側極限と左側極限が違う例があります.

ところで上の例では,$x \to 0$ のときはどうなるのでしょうか.

ポイント

極限の存在条件

関数 $f(x)$ において,$x \to a$ のとき,極限値 $\alpha$ が存在するための条件は

$\boldsymbol{\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)=\lim_{x \to a-0}f(x)=\alpha \Longleftrightarrow \lim_{x \to a}f(x)=\alpha}$

つまり右側極限と左側極限が一致するときに極限をもつ.そうでなければ極限は存在しない.


$y=\dfrac{x^{2}-x}{|x|}$ の例では,$x=0$ では右側極限と左側極限が一致しないので,$x=0$ では極限値が存在しないことがわかります.

以下では,具体的に極限の計算問題を扱います.

例題と練習問題

例題

例題

次の極限を求めよ.

(1) $\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^{2}-5x+6}{x-2}$

(2) $\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{\sqrt{x+13}-4}{x-3}$

(3) $\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$

(4) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^{2}+5x}+x)$

(5) $\displaystyle \lim_{x \to -5+0}\dfrac{x}{x+5}$


講義

(1)は $\dfrac{0}{0}$ で不定形なので,先に約分をします.(2)は $\dfrac{0}{0}$ で不定形なので,分子の有理化をします.

(4)は $\infty-\infty$ で不定形で,有理化をします.$x<0$ のときは $\sqrt{x^{2}}=|x|=-x$ であることに注意です.


解答

(1)

 $\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2}$

$\displaystyle =\lim_{x \to 2}(x-3)$

$=\boldsymbol{-1}$


(2)

 $\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{\sqrt{x+13}-4}{x-3}\cdot \color{red}{\dfrac{\sqrt{x+13}+4}{\sqrt{x+13}+4}}$

$\displaystyle =\lim_{x \to 3}\dfrac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+13}+4)}$

$\displaystyle =\lim_{x \to 3}\dfrac{1}{\sqrt{x+13}+4}$

$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{1}{8}}$


(3)

 $\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{1}{(x-1)^{2}}=\boldsymbol{\infty}$


(4)

 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^{2}+5x}+x)\cdot \color{red}{\dfrac{\sqrt{x^{2}+5x}-x}{\sqrt{x^{2}+5x}-x}}$

$\displaystyle =\lim_{x \to -\infty}\dfrac{5x}{\sqrt{x^{2}+5x}-x}$

$\displaystyle =\lim_{x \to -\infty}\dfrac{5x}{\sqrt{x^{2}}\sqrt{1+\dfrac{5}{x}}-x}$

$\displaystyle =\lim_{x \to -\infty}\dfrac{5x}{\color{red}{|x|}\sqrt{1+\dfrac{5}{x}}-x}$ ←$\sqrt{A^{2}}=|A|$

$\displaystyle =\lim_{x \to -\infty}\dfrac{5x}{\color{red}{-x}\sqrt{1+\dfrac{5}{x}}-x}$

$\displaystyle =\lim_{x \to -\infty}\dfrac{5}{-\sqrt{1+\dfrac{5}{x}}-1}$

$\displaystyle =\boldsymbol{-\dfrac{5}{2}}$

※ 上の計算は危険なので,最初に $x=-t$ などと置き換えをして解く方が正攻法かもしれません.練習1の(2)はこの方法で解説します.


(5)

 $\displaystyle \lim_{x \to -5+0}\dfrac{x}{x+5}=\boldsymbol{-\infty}$

練習問題

練習1

次の極限を求めよ.

(1) $\displaystyle \lim_{x \to -1}\dfrac{x^{2}+9x+8}{x^{2}-5x-6}$

(2) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(2x+1+\sqrt{4x^{2}+x+2})$

(3) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\dfrac{7^{x}}{5^{x}-3^{x}}$

(4) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{x}$


練習2

次の極限が存在するか調べ,存在すればそれを答えよ.

$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x+2)^{2}}{|x^{2}-4|}$


練習3

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{8x^{2}+5x-3}+ax)$ が存在するとき,$a$ の値と極限値を求めよ.

練習1の解答

(1)

 $\displaystyle \lim_{x \to -1}\dfrac{(x+1)(x+8)}{(x+1)(x-6)}$

$\displaystyle =\lim_{x \to -1}\dfrac{x+8}{x-6}$

$=\boldsymbol{-1}$


(2) $x=-t$ とおく

 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(2x+1+\sqrt{4x^{2}+x+2})$

$\displaystyle =\lim_{t \to \infty}(-2t+1+\sqrt{4t^{2}-t+2})$

$\displaystyle =\lim_{t \to \infty}\dfrac{(-2t+1)^{2}-(4t^{2}-t+2)}{-2t+1-\sqrt{4t^{2}-t+2}}$

$\displaystyle =\lim_{t \to \infty}\dfrac{-3t-1}{-2t+1-\sqrt{4t^{2}-t+2}}$

$\displaystyle =\lim_{t \to \infty}\dfrac{-3-\dfrac{1}{t}}{-2+\dfrac{1}{t}-\sqrt{4-\dfrac{1}{t}+\dfrac{2}{t^2}}}$

$=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$


(3)

 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\dfrac{7^{x}}{5^{x}-3^{x}}$

$\displaystyle =\lim_{x \to -\infty}\dfrac{\left(\dfrac{7}{3}\right)^{x}}{\left(\dfrac{5}{3}\right)^{x}-1}$

$=\dfrac{0}{0-1}=\boldsymbol{0}$


(4)

 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{x}=\boldsymbol{\infty}$


練習2の解答

 $\displaystyle \lim_{x \to 2+0}\dfrac{(x+2)^{2}}{|x^{2}-4|}$

$\displaystyle =\lim_{x \to 2+0}\dfrac{(x+2)^{2}}{(x^{2}-4)}$

$\displaystyle =\lim_{x \to 2+0}\dfrac{x+2}{x-2}=\infty$


 $\displaystyle \lim_{x \to 2-0}\dfrac{(x+2)^{2}}{|x^{2}-4|}$

$\displaystyle =\lim_{x \to 2-0}\dfrac{(x+2)^{2}}{-x^{2}+4}$

$\displaystyle =\lim_{x \to 2-0}\dfrac{x+2}{-x+2}=\infty$

以上より,右側極限と左側極限が一致したので極限が存在し

$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x+2)^{2}}{|x^{2}-4|}=\boldsymbol{\infty}$

※ 極限値はないが,極限は存在します.


練習3の解答 出典:2014埼玉医科大前期改

必要条件:$a<0$ ←$\infty-\infty$ の不定形にする

 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{8x^{2}+5x-3}+ax)$

$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}(\sqrt{8x^{2}+5x-3}+ax)\cdot \dfrac{\sqrt{8x^{2}+5x-3}-ax}{\sqrt{8x^{2}+5x-3}-ax}$

$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}\dfrac{(8-a^{2})x^{2}+5x-3}{\sqrt{8x^{2}+5x-3}-ax}$

$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}\dfrac{(8-a^{2})x+5-\dfrac{3}{x}}{\sqrt{8+\dfrac{5}{x}-\dfrac{3}{x^2}}-a}$

収束するためには,$8-a^{2}=0$ すなわち $a=-2\sqrt{2}$ であることが必要.

逆に $a=-2\sqrt{2}$ のとき与式は

 $\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{8x^{2}+5x-3}-2\sqrt{2}x)$

$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}\dfrac{5-\dfrac{3}{x}}{\sqrt{8+\dfrac{5}{x}-\dfrac{3}{x^2}}+2\sqrt{2}}$

$=\dfrac{5}{4\sqrt{2}}=\boldsymbol{\dfrac{5\sqrt{2}}{8}}$

この値に収束する.