関数の極限(右側極限，左側極限)
極限(教科書範囲) ★★
関数の極限の導入から，片側極限(右側極限，左側極限)を中心に扱います．
関数の極限の例と基本性質
関数の極限( $x \to a$ のとき)
関数 $f(x)$ において，実数 $x$ が $a$ と異なる値を取りながら $a$ に限りなく近づくとき，$f(x)$ が 一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくなら，$f(x)$ は $\alpha$ に収束するといい
$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\alpha$
または
$x \to a$ のとき $f(x) \to \alpha$
と表すときもある．$\alpha$ を極限値という．
また，収束しない場合は発散する．
数列と違い，関数 $f(x)$ ではどんな実数 $x$ も制限がなければとれます．
すなわち様々な点での極限値が考えられるわけです．
例
・$\displaystyle \ \lim_{x \to 1}(-x^{2}+4)=3$
・$\displaystyle \ \lim_{x \to -1}\dfrac{x^{2}+3x+2}{x+1}=1$
上のように，$\boldsymbol{x=-1}$ で定義できなくても極限値は存在することがあります．
・$\displaystyle \ \lim_{x \to 0}\dfrac{1}{x^2}=\infty$
上のように，$\boldsymbol{x=0}$ で定義できなくても極限は考えられ，$\infty$ に発散することもあります．
関数の極限( $x \to \pm\infty$ のとき)
関数 $f(x)$ において，実数 $x$ が限りなく大きくなるとき，$f(x)$ が 一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくなら，$f(x)$ は $\alpha$ に収束するといい
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)=\alpha$
または
$x \to \infty$ のとき $f(x) \to \alpha$
と表すときもある．
逆に実数 $x$ が限りなく小さくなるときは
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}f(x)=\alpha$
または
$x \to -\infty$ のとき $f(x) \to \alpha$
と表すときもある．
また，収束しない場合は発散する．
$x \to \infty$ のときは極限値は数列の場合と同じ方法で算出します．
例
・$\displaystyle \ \lim_{x \to \infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0$
・$\displaystyle \ \lim_{x \to -\infty}\dfrac{1}{x}=0$
極限の基本性質
$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)=\alpha$，$\displaystyle \lim_{x \to a}g(x)=\beta$ のとき，次のことが成り立つ．
・$\displaystyle \lim_{x \to a}\{kf(x)+lg(x)\}=k\alpha+l\beta$ ( $k$，$l$ は実数)
・$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)g(x)=\alpha\beta$
・$\displaystyle \lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\alpha}{\beta}$ ($\beta\neq0$)
※ 以上の公式は $\alpha$，$\beta$ が有限確定値に収束した場合のみです．
※ また，$x \to a$ のときだでなく，$x \to \pm\infty$ のときも同様です．
続いて，どういうときに極限をもつのか解説します．
右側極限，左側極限と極限の存在
右側極限，左側極限
実数 $x$ が，$a$ より大きい値をとりながら $a$ に限りなく近づくとき，$f(x)$ が $\alpha$ に限りなく近づくならば
$\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)=\alpha$
と表し，右側極限という．
同様に実数 $x$ が，$a$ より小さい値をとりながら $a$ に限りなく近づくときは
$\displaystyle \lim_{x \to a-0}f(x)=\alpha$
と表し，左側極限という．
※ 上で $a=0$ のときはそれぞれ $\displaystyle \lim_{x \to +0}f(x)=\alpha$，$\displaystyle \lim_{x \to -0}f(x)=\alpha$ と表す．
例
$\displaystyle \ \lim_{x \to +0}\dfrac{x^{2}-x}{|x|}=\lim_{x \to +0}\dfrac{x^{2}-x}{x}=\lim_{x \to +0}(x-1)=-1$
$\displaystyle \ \lim_{x \to -0}\dfrac{x^{2}-x}{|x|}=\lim_{x \to -0}\dfrac{x^{2}-x}{-x}=\lim_{x \to -0}(-x+1)=1$
上の例のように，関数によって(または特定の $x$ で)右側極限と左側極限が違う例があります．
ところで上の例では，$x \to 0$ のときはどうなるのでしょうか．
極限の存在条件
関数 $f(x)$ において，$x \to a$ のとき，極限値 $\alpha$ が存在するための条件は
$\boldsymbol{\displaystyle \lim_{x \to a+0}f(x)=\lim_{x \to a-0}f(x)=\alpha \Longleftrightarrow \lim_{x \to a}f(x)=\alpha}$
つまり右側極限と左側極限が一致するときに極限をもつ．そうでなければ極限は存在しない．
$y=\dfrac{x^{2}-x}{|x|}$ の例では，$x=0$ では右側極限と左側極限が一致しないので，$x=0$ では極限値が存在しないことがわかります．
例題と練習問題
例題
例題
次の極限を求めよ．
(1) $\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{x^{2}-5x+6}{x-2}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{\sqrt{x+13}-4}{x-3}$
(3) $\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{1}{(x-1)^{2}}$
(4) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^{2}+5x}+x)$
(5) $\displaystyle \lim_{x \to -5+0}\dfrac{x}{x+5}$
講義
(1)は $\dfrac{0}{0}$ で不定形なので，先に約分をします．(2)は $\dfrac{0}{0}$ で不定形なので，分子の有理化をします．
(4)は $\infty-\infty$ で不定形で，有理化をします．$x<0$ のときは $\sqrt{x^{2}}=|x|=-x$ であることに注意です．
解答
(1)
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x-2)(x-3)}{x-2}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 2}(x-3)$
$=\boldsymbol{-1}$
(2)
$\displaystyle \lim_{x \to 3}\dfrac{\sqrt{x+13}-4}{x-3}\cdot \color{red}{\dfrac{\sqrt{x+13}+4}{\sqrt{x+13}+4}}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 3}\dfrac{x-3}{(x-3)(\sqrt{x+13}+4)}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 3}\dfrac{1}{\sqrt{x+13}+4}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{1}{8}}$
(3)
$\displaystyle \lim_{x \to 1}\dfrac{1}{(x-1)^{2}}=\boldsymbol{\infty}$
(4)
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(\sqrt{x^{2}+5x}+x)\cdot \color{red}{\dfrac{\sqrt{x^{2}+5x}-x}{\sqrt{x^{2}+5x}-x}}$
$\displaystyle =\lim_{x \to -\infty}\dfrac{5x}{\sqrt{x^{2}+5x}-x}$
$\displaystyle =\lim_{x \to -\infty}\dfrac{5x}{\sqrt{x^{2}}\sqrt{1+\dfrac{5}{x}}-x}$
$\displaystyle =\lim_{x \to -\infty}\dfrac{5x}{\color{red}{|x|}\sqrt{1+\dfrac{5}{x}}-x}$ ←$\sqrt{A^{2}}=|A|$
$\displaystyle =\lim_{x \to -\infty}\dfrac{5x}{\color{red}{-x}\sqrt{1+\dfrac{5}{x}}-x}$
$\displaystyle =\lim_{x \to -\infty}\dfrac{5}{-\sqrt{1+\dfrac{5}{x}}-1}$
$\displaystyle =\boldsymbol{-\dfrac{5}{2}}$
※ 上の計算は危険なので，最初に $x=-t$ などと置き換えをして解く方が正攻法かもしれません．練習1の(2)はこの方法で解説します．
(5)
$\displaystyle \lim_{x \to -5+0}\dfrac{x}{x+5}=\boldsymbol{-\infty}$
練習問題
練習1
次の極限を求めよ．
(1) $\displaystyle \lim_{x \to -1}\dfrac{x^{2}+9x+8}{x^{2}-5x-6}$
(2) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(2x+1+\sqrt{4x^{2}+x+2})$
(3) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\dfrac{7^{x}}{5^{x}-3^{x}}$
(4) $\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{x}$
練習2
次の極限が存在するか調べ，存在すればそれを答えよ．
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x+2)^{2}}{|x^{2}-4|}$
練習3
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{8x^{2}+5x-3}+ax)$ が存在するとき，$a$ の値と極限値を求めよ．
練習1の解答
(1)
$\displaystyle \lim_{x \to -1}\dfrac{(x+1)(x+8)}{(x+1)(x-6)}$
$\displaystyle =\lim_{x \to -1}\dfrac{x+8}{x-6}$
$=\boldsymbol{-1}$
(2) $x=-t$ とおく
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}(2x+1+\sqrt{4x^{2}+x+2})$
$\displaystyle =\lim_{t \to \infty}(-2t+1+\sqrt{4t^{2}-t+2})$
$\displaystyle =\lim_{t \to \infty}\dfrac{(-2t+1)^{2}-(4t^{2}-t+2)}{-2t+1-\sqrt{4t^{2}-t+2}}$
$\displaystyle =\lim_{t \to \infty}\dfrac{-3t-1}{-2t+1-\sqrt{4t^{2}-t+2}}$
$\displaystyle =\lim_{t \to \infty}\dfrac{-3-\dfrac{1}{t}}{-2+\dfrac{1}{t}-\sqrt{4-\dfrac{1}{t}+\dfrac{2}{t^2}}}$
$=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$
(3)
$\displaystyle \lim_{x \to -\infty}\dfrac{7^{x}}{5^{x}-3^{x}}$
$\displaystyle =\lim_{x \to -\infty}\dfrac{\left(\dfrac{7}{3}\right)^{x}}{\left(\dfrac{5}{3}\right)^{x}-1}$
$=\dfrac{0}{0-1}=\boldsymbol{0}$
(4)
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\log_{\frac{1}{2}}\dfrac{1}{x}=\boldsymbol{\infty}$
練習2の解答
$\displaystyle \lim_{x \to 2+0}\dfrac{(x+2)^{2}}{|x^{2}-4|}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 2+0}\dfrac{(x+2)^{2}}{(x^{2}-4)}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 2+0}\dfrac{x+2}{x-2}=\infty$
$\displaystyle \lim_{x \to 2-0}\dfrac{(x+2)^{2}}{|x^{2}-4|}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 2-0}\dfrac{(x+2)^{2}}{-x^{2}+4}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 2-0}\dfrac{x+2}{-x+2}=\infty$
以上より，右側極限と左側極限が一致したので極限が存在し
$\displaystyle \lim_{x \to 2}\dfrac{(x+2)^{2}}{|x^{2}-4|}=\boldsymbol{\infty}$
※ 極限値はないが，極限は存在します．
練習3の解答 出典：2014埼玉医科大前期改
必要条件：$a<0$ ←$\infty-\infty$ の不定形にする
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{8x^{2}+5x-3}+ax)$
$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}(\sqrt{8x^{2}+5x-3}+ax)\cdot \dfrac{\sqrt{8x^{2}+5x-3}-ax}{\sqrt{8x^{2}+5x-3}-ax}$
$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}\dfrac{(8-a^{2})x^{2}+5x-3}{\sqrt{8x^{2}+5x-3}-ax}$
$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}\dfrac{(8-a^{2})x+5-\dfrac{3}{x}}{\sqrt{8+\dfrac{5}{x}-\dfrac{3}{x^2}}-a}$
収束するためには，$8-a^{2}=0$ すなわち $a=-2\sqrt{2}$ であることが必要．
逆に $a=-2\sqrt{2}$ のとき与式は
$\displaystyle \lim_{x \to \infty}(\sqrt{8x^{2}+5x-3}-2\sqrt{2}x)$
$\displaystyle =\lim_{x \to \infty}\dfrac{5-\dfrac{3}{x}}{\sqrt{8+\dfrac{5}{x}-\dfrac{3}{x^2}}+2\sqrt{2}}$
$=\dfrac{5}{4\sqrt{2}}=\boldsymbol{\dfrac{5\sqrt{2}}{8}}$
この値に収束する．