三角関数の極限
極限(教科書範囲) ★★
三角関数の極限公式を扱います．
極限の問題を解くときや $\sin x$ の微分をするときなど，頻繁に登場する重要公式です．
三角関数の極限
三角関数の極限公式を紹介します．将来三角関数を微分するときにこの公式が必要で，ここで準備をしておきます．
三角関数の極限
$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1}$ $\displaystyle \boldsymbol{\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}=1}$
証明
$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ のみ示せば十分です．
(i) $x > 0$ で十分小さいとき
上の図のように，面積に関して，二等辺三角形 $<$ 扇形 $<$ 直角三角形 が成り立つので
$\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin x < 1^{2}\cdot\pi\cdot\dfrac{x}{2\pi} < 1\cdot \tan x \cdot\dfrac{1}{2}$
$\displaystyle \Longleftrightarrow \sin x < x < \tan x$
$\displaystyle \Longleftrightarrow 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$
$\displaystyle \Longleftrightarrow \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$
ここで，$\displaystyle\lim_{x\to +0}\cos x=1$ なので
$\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
(ii) $x < 0$ で十分小さいとき，$x=-t$ とおくと
$\displaystyle\lim_{x\to -0}\dfrac{\sin x}{x}$
$\displaystyle =\lim_{t\to +0}\dfrac{\sin (-t)}{-t}$
$\displaystyle=\lim_{t\to +0}\dfrac{-\sin t}{-t}$ ←還元公式
$\displaystyle=\lim_{t\to +0}\dfrac{\sin t}{t}=1$
(i)(ii)より，右側極限と左側極限が一致するので
$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$
最初は公式のみ丸暗記で構わないのですが，できれば証明を理解しておきたいです．
また，弧度法を導入した最大の理由が当公式にあります．弧度法ではなく度数法のまま証明の1行目の扇形の面積を出すと(度を省略したとして) $1^{2}\cdot\pi\cdot\dfrac{x}{360}=\dfrac{\pi x}{360}$ となり，最終的な公式は $\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=\dfrac{\pi}{180}$ となり汚くなってしまいます．$\sin x$ の微分にも影響してしまいます．
例題と練習問題
例題
例題
次の極限を求めよ．
(1) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}$
(2) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 5x}$
(3) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin \left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}{\pi x}$
講義
$\displaystyle \lim_{\color{red}{□}\to 0}\dfrac{\sin \color{red}{□}}{\color{red}{□}}=1$ または $\displaystyle \lim_{\color{red}{□}\to 0}\dfrac{\color{red}{□}}{\sin \color{red}{□}}=1$ を使います．$\color{red}{□}$ には同じものであれば何を入れてもOKです．
解答
(1)
$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x} \cdot \color{red}{\dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin^{2} x}{x\sin x (1+\cos x)}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot \dfrac{1}{1+\cos x}$
$=1\cdot \dfrac{1}{2}=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$
(2)
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 5x}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin \color{red}{2x}}{\color{red}{2x}}\cdot \dfrac{\color{blue}{5x}}{\sin \color{blue}{5x}}\cdot \dfrac{2}{5}$
$=1\cdot 1\cdot \dfrac{2}{5}=\boldsymbol{\dfrac{2}{5}}$
(3)
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin \left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}{\pi x}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin \color{red}{\left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}}{\color{red}{\sin \dfrac{x}{\pi}}}\cdot \dfrac{\sin \color{blue}{\dfrac{x}{\pi}}}{\color{blue}{\dfrac{x}{\pi}}}\cdot \dfrac{1}{\pi^{2}}$
$x \to 0$ のとき $\color{red}{\sin \dfrac{x}{\pi}} \to 0$，$\color{blue}{\dfrac{x}{\pi}} \to 0$ より
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin \left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}{\pi x}=1\cdot 1\cdot \dfrac{1}{\pi^{2}}=\boldsymbol{\dfrac{1}{\pi^{2}}}$
練習問題
練習
次の極限を求めよ．
(1) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin (x^{2})}{1-\cos x}$
(2) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x^{\circ}}{x}$
(3) $\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}\dfrac{\sqrt{3}\sin x-\cos x}{x-\dfrac{\pi}{6}}$
練習の解答
(1)
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin (x^{2})}{1-\cos x}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin (x^{2})}{x^{2}}\cdot \dfrac{x^{2}}{1-\cos x}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin (x^{2})}{x^{2}}\cdot \dfrac{x^{2}}{1-\cos x}\cdot \dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}$
$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin (x^{2})}{x^{2}} \left(\dfrac{x}{\sin x}\right)^{2}(1+\cos x)$
$=1\cdot 1^{2}\cdot 2=\boldsymbol{2}$
(2)
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x^{\circ}}{x}$
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x^{\circ}}{x^{\circ}}\cdot \dfrac{x^{\circ}}{x}$
$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x^{\circ}}{x^{\circ}}\cdot \dfrac{\dfrac{\pi}{180}x}{x}$ ← $1^{\circ}$ は $\dfrac{\pi}{180}$
$=1\cdot \dfrac{\pi}{180}=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{180}}$
(3)
$\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}\dfrac{\sqrt{3}\sin x-\cos x}{x-\dfrac{\pi}{6}}$
$\displaystyle =\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}\dfrac{2\sin \left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)}{x-\dfrac{\pi}{6}}$ ←三角関数の合成
ここで $x-\dfrac{\pi}{6}=t$ とおくと
$\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}\dfrac{\sqrt{3}\sin x-\cos x}{x-\dfrac{\pi}{6}}=\lim_{t\to 0}2\cdot \dfrac{\sin t}{t}=\boldsymbol{2}$