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三角関数の極限公式とその証明

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

三角関数の極限公式の紹介と,なぜそれが成り立つのかを説明します.

これを道具として解く極限の問題も扱います.





三角関数の極限公式とその証明

ポイント

三角関数の極限

$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1}$  $\displaystyle \boldsymbol{\lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}=1}$


数学IIIの極限の重要公式です.これは結果のみを丸暗記で構わないのですが,なぜこの極限が1に収束するかを説明できないと,本当に極限や微分を理解しているとは言えません.

また,$\sin x$ を微分するときにこの公式が必要です(詳しくはsin(x)の微分がcos(x)になる理由).


証明

証明

$\displaystyle \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ を示せば十分です.

(i) $x > 0$ で十分小さいとき

上の図のように,面積に関して,二等辺三角形 $<$ 扇形 $<$ 直角三角形 が成り立つので

$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot1\cdot1\cdot\sin x < 1\cdot1\cdot\pi\cdot\frac{x}{2\pi} < 1\cdot \tan x \cdot\frac{1}{2}$
$\displaystyle \Longleftrightarrow \sin x < x < \tan x$
$\displaystyle \Longleftrightarrow 1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}$
$\displaystyle \Longleftrightarrow \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1$

ここで,$\displaystyle\lim_{x\to +0}\cos x=1$ なので,$\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\sin x}{x}=1$.


(ii) $x < 0$ で十分小さいとき,$x=-t$ とおくと

$\displaystyle\lim_{x\to -0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{t\to +0}\dfrac{\sin (-t)}{-t}=\lim_{t\to +0}\dfrac{\sin t}{t}=1$.

(i)(ii)より,右側極限と左側極限が一致したので,$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1$




例題と練習問題

例題

例題

次の極限を求めよ.

(1) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}$

(2) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 5x}$

(3) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin \left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}{\pi x}$


講義

$\displaystyle \lim_{\color{red}{□}\to 0}\dfrac{\sin \color{red}{□}}{\color{red}{□}}=1$ または $\displaystyle \lim_{\color{red}{□}\to 0}\dfrac{\color{red}{□}}{\sin \color{red}{□}}=1$ を使います.$\color{red}{□}$ には同じものであれば何を入れてもOKです.


解答

(1)

 $\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{1-\cos x}{x\sin x} \cdot \color{red}{\dfrac{1+\cos x}{1+\cos x}}$

$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin^{2} x}{x\sin x (1+\cos x)}$

$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x}{x}\cdot \dfrac{1}{1+\cos x}$

$=1\cdot \dfrac{1}{2}=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$


(2)

 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin 2x}{\sin 5x}$

$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin \color{red}{2x}}{\color{red}{2x}}\cdot \dfrac{\color{blue}{5x}}{\sin \color{blue}{5x}}\cdot \dfrac{2}{5}$

$=1\cdot 1\cdot \dfrac{2}{5}=\boldsymbol{\dfrac{2}{5}}$


(3)

 $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin \left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}{\pi x}$

$\displaystyle =\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin \color{red}{\left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}}{\color{red}{\sin \dfrac{x}{\pi}}}\cdot \dfrac{\sin \color{blue}{\dfrac{x}{\pi}}}{\color{blue}{\dfrac{x}{\pi}}}\cdot \dfrac{1}{\pi^{2}}$

$x \to 0$ のとき $\color{red}{\sin \dfrac{x}{\pi}} \to 0$,$\color{blue}{\dfrac{x}{\pi}} \to 0$ より

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin \left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}{\pi x}=1\cdot 1\cdot \dfrac{1}{\pi^{2}}=\boldsymbol{\dfrac{1}{\pi^{2}}}$



練習問題

練習

次の極限を求めよ.

(1) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin (x^{2})}{1-\cos x}$

(2) $\displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\sin x^{\circ}}{x}$

(3) $\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{6}}\dfrac{\sqrt{3}\sin x-\cos x}{x-\dfrac{\pi}{6}}$

練習の解答



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