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$\sin x$ の微分が $\cos x$ になる理由(三角関数の微分)

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

ここでは三角関数の微分を扱います.

なぜ $\sin x$ の微分が $\cos x$ になるかを解説し,三角関数の微分習得のための演習問題も用意しました.






三角関数の微分公式と,$\sin x$ の微分が $\cos x$ になる理由

ポイント

三角関数の微分

(ⅰ) $\displaystyle \boldsymbol{(\sin x)'=\cos x}$

(ⅱ) $\displaystyle \boldsymbol{(\cos x)'=-\sin x}$

(ⅲ) $\displaystyle \boldsymbol{(\tan x)'=\frac{1}{\cos^{2}x}}$


なぜ上の公式が成り立つか.特に $\sin x$ を微分するとなぜ $\cos x$ になるか説明できると,数学のストーリーがわかるのでオススメです.

(i)の証明をします.導関数の定義を使います.



$\sin x$ の微分が $\cos x$ になる証明

(ⅰ)の証明

$f(x)=\sin x$とおくと

 $f'(x)$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ←導関数の定義

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin x\cos h +\cos x\sin h-\sin x}{h}$ ←加法定理利用

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\left(\sin x \cdot\dfrac{\cos h -1}{h}+\cos x \cdot\dfrac{\sin h}{h}\right) \ \cdots$ ①

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\left(\sin x \cdot\dfrac{-\sin^{2}h}{h(\cos h+1)}+\cos x \cdot\dfrac{\sin h}{h}\right)$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\left(\sin x \cdot\dfrac{\sin h}{h}\cdot\dfrac{-\sin h}{\cos h+1}+\cos x \cdot\dfrac{\sin h}{h}\right) \ \cdots$ ②

$\displaystyle =\sin x \cdot 1\cdot 0+\cos x \cdot 1$

$\displaystyle =\cos x$



①と②で,$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}}$ が出現するので,これを考えなければならない必然性が出てきます.つまり微分という単元の前、極限でこれを必ず扱います(詳しくは三角関数の極限公式とその証明).

$\cos x$ と $\tan x$ の微分は下の練習問題で収録しています.




例題と練習問題

例題

例題

次の関数を微分せよ.

(1) $y=\cos^{3}x$

(2) $y=\dfrac{\sin x}{x}$

(3) $y=\tan 3x$


講義

上の公式を使いますが,積の微分と商の微分合成関数の微分も使います.


解答

(1)

$\boldsymbol{y'}=3\cos^{2}x(\cos x)'\boldsymbol{=-3\cos^{2}x\sin x}$


(2)

$\boldsymbol{y'}=\dfrac{\cos x\cdot x-\sin x \cdot 1}{x^2}\boldsymbol{=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}}$


(3)

$\boldsymbol{y'}=\dfrac{1}{\cos^{2}3x}(3x)'\boldsymbol{=\dfrac{3}{\cos^{2}3x}}$



練習問題

練習1

次の関数を微分せよ.

(1) $y=x\sin 2x$

(2) $y=\dfrac{\cos x}{\sqrt{x}}$

(3) $y=\dfrac{1}{\tan x^{2}}$


練習2

導関数の定義を用いて,以下を証明せよ.

(ⅱ) $\displaystyle (\cos x)'=-\sin x$

(ⅲ) $\displaystyle (\tan x)'=\frac{1}{\cos^{2}x}$

練習の解答



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