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三角関数の微分

微分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

ここでは三角関数の微分を扱います.

なぜ $\sin x$ の微分が $\cos x$ になるかを解説し,関連問題を用意しました.



三角関数の微分公式と証明

ポイント

三角関数の微分

Ⅰ $\displaystyle \boldsymbol{(\sin x)'=\cos x}$

Ⅱ $\displaystyle \boldsymbol{(\cos x)'=-\sin x}$

Ⅲ $\displaystyle \boldsymbol{(\tan x)'=\frac{1}{\cos^{2}x}}$


なぜ上の公式が成り立つか.特に $\sin x$ を微分するとなぜ $\cos x$ になるか説明できると,数学のストーリーがわかるのでオススメです.

Ⅰの証明をします.導関数の定義を使います.

$\boldsymbol{\sin x}$ の微分が $\boldsymbol{\cos x}$ になる証明

Ⅰの証明

$f(x)=\sin x$ とおくと

 $f'(x)$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ←導関数の定義

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin x\cos h +\cos x\sin h-\sin x}{h}$ ←加法定理

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\left(\sin x \cdot\dfrac{\cos h -1}{h}+\cos x \cdot\dfrac{\sin h}{h}\right)$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\left(\sin x \cdot\dfrac{-\sin^{2}h}{h(\cos h+1)}+\cos x \cdot\dfrac{\sin h}{h}\right)$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\left(\sin x \cdot\dfrac{\sin h}{h}\cdot\dfrac{-\sin h}{\cos h+1}+\cos x \cdot\dfrac{\sin h}{h}\right) \ \cdots$ ①

$\displaystyle =\sin x \cdot 1\cdot 0+\cos x \cdot 1$

$\displaystyle =\cos x$


①で,$\displaystyle \boldsymbol{\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}}$ が出現するので,これを考えなければならない必然性が出てきます.つまり,三角関数の極限でこれを必ず扱います.

$\cos x$ と $\tan x$ の微分は下の練習問題で収録しています.

例題と練習問題

例題

例題

次の関数を微分せよ.

(1) $y=\cos^{3}x$

(2) $y=\dfrac{\sin x}{x}$

(3) $y=\tan 3x$


講義

上の公式を使いますが,積の微分と商の微分合成関数の微分も使います.


解答

(1)

$\boldsymbol{y'}=3\cos^{2}x(\cos x)'\boldsymbol{=-3\cos^{2}x\sin x}$


(2)

$\boldsymbol{y'}=\dfrac{\cos x\cdot x-\sin x \cdot 1}{x^2}\boldsymbol{=\dfrac{x\cos x-\sin x}{x^2}}$


(3)

$\boldsymbol{y'}=\dfrac{1}{\cos^{2}3x}(3x)'\boldsymbol{=\dfrac{3}{\cos^{2}3x}}$

練習問題

練習1

次の関数を微分せよ.

(1) $y=x\sin 2x$

(2) $y=\dfrac{\cos x}{\sqrt{x}}$

(3) $y=\dfrac{1}{\tan x^{2}}$


練習2

導関数の定義を用いて,以下を証明せよ.

(ⅱ) $\displaystyle (\cos x)'=-\sin x$

(ⅲ) $\displaystyle (\tan x)'=\frac{1}{\cos^{2}x}$

練習1の解答

(1)

$\boldsymbol{y'}=\sin 2x+x\cos2x(2x)'\boldsymbol{=\sin 2x+2x\cos2x}$


(2)

$\boldsymbol{y'}=\dfrac{-\sin x\cdot \sqrt{x}-\cos x \cdot \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}}{x}\boldsymbol{=\dfrac{-2x\sin x-\cos x}{2x\sqrt{x}}}$


(3)

$\boldsymbol{y'}=-\dfrac{1}{\tan^{2}x^{2}}(\tan x^{2})'=-\dfrac{2x}{\tan^{2}x^{2}\cos^{2}x^{2}}\boldsymbol{=-\dfrac{2x}{\sin^{2}x^{2}}}$



練習2の解答

(ⅱ) $(\cos x)'$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\cos(x+h)-\cos x}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\cos x\cos h -\sin x\sin h-\cos x}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\left(\cos x \cdot\dfrac{\cos h -1}{h}-\sin x \cdot\dfrac{\sin h}{h}\right)$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\left(\cos x \cdot\dfrac{-\sin^{2}h}{h(\cos h+1)}-\sin x \cdot\dfrac{\sin h}{h}\right)$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\left(\cos x \cdot\dfrac{\sin h}{h}\cdot\dfrac{-\sin h}{\cos h+1}-\sin x \cdot\dfrac{\sin h}{h}\right)$

$\displaystyle =-\sin x$


(ⅲ) $(\tan x)'$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\tan(x+h)-\tan x}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\frac{\tan x+\tan h}{1-\tan x\tan h}-\tan x}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\tan x+\tan h-\tan x(1-\tan x\tan h)}{h(1-\tan x\tan h)}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\tan h(1+\tan^{2} x)}{h(1-\tan x\tan h)}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}(1+\tan^{2} x)\dfrac{\tan h}{h}\cdot\dfrac{1}{1-\tan x\tan h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{\cos^{2}x}\cdot\dfrac{\sin h}{h\cos h}\cdot\dfrac{1}{1-\tan x\tan h}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{\cos^{2}x}$

※導関数の定義を用いてという指定がなければ,$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ として商の微分でもいいですね.