おいしい数学ホームへのリンク

合成関数の微分とその証明

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

このページでは合成関数の微分についてです.

公式の証明と,計算に慣れるための演習問題を用意しました.

多くの検定教科書や参考書で割愛されている,厳密な証明も付けました.






合成関数の微分公式とその証明

ポイント

合成関数の微分

関数 $y=f(u)$,$u=g(x)$ がともに微分可能ならば,合成関数 $y=f(g(x))$ も微分可能で

$\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}}$

または

$\displaystyle \boldsymbol{\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)}$

が成り立つ.


積の微分,商の微分と違い,多少慣れるのに時間がかかる人が多い印象です.

最後の $g'(x)$ を忘れる人が多く,管理人は初めて学ぶ人にはこれを副産物や中微分などと呼んだりすることがあります.



簡単な証明

合成関数の微分の証明

$x$ の増分 $\Delta x$ に対する $u$ の増分 $\Delta u$ を $\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$ とする.

 $\{f(g(x))\}'$

$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}$

$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta x}$

$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta u}\dfrac{\Delta u}{\Delta x} \ \cdots$ ☆

$=f'(u)g'(x)$ $(\Delta x\to 0 \ のとき \ \Delta u \to 0)$

$=f'(g(x))g'(x)$


検定教科書や各種参考書の証明もこの程度であり,大まかにはこれで問題ないのですが,☆の行で $\Delta u=0$ のときを考慮していないのが問題です.

より厳密な証明を以下に示します.導関数の定義を $\Delta u$ や $\Delta x$ が $0$ のときにも対応できるように定義を見直します.意欲的な方向けです.



厳密な証明

合成関数の微分の証明

$x$ の増分 $\Delta x$ に対する $u$ の増分 $\Delta u$ を $\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$ とする.

まず初めに 導関数の定義を見直すことから始める.

関数 $g(x)$ の導関数の定義は

$\displaystyle g'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$

であるので

$\displaystyle p(\Delta x)=\begin{cases}\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}-g'(x) \ (\Delta x\neq 0) \\ 0 \hspace{4.7cm} (\Delta x=0)\end{cases}$

と定義すると,$p(\Delta x)$ は $\Delta x=0$ において連続であり

$\displaystyle g(x+\Delta x)-g(x)=(g'(x)+p(\Delta x))\Delta x$

が成り立つ.

同様に関数 $f(u)$ に関しても

$\displaystyle q(\Delta u)=\begin{cases}\dfrac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}-f'(u) \ (\Delta u\neq 0) \\ 0 \hspace{4.8cm} (\Delta u=0)\end{cases}$

と定義すると,$q(\Delta u)$ は $\Delta u=0$ において連続であり

$\displaystyle f(u+\Delta u)-f(u)=(f'(u)+q(\Delta u))\Delta u$

が成り立つ.これで $\Delta u=0$ のときの導関数も考慮できる.

準備が終わったので,上の式を使って定義通り計算すると

 $\{f(g(x))\}'$

$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}$

$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta x}$

$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{(f'(u)+q(\Delta u))\Delta u}{\Delta x}$

$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{(f'(u)+q(\Delta u))(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}$

$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{(f'(u)+q(\Delta u))(g'(x)+p(\Delta x))\Delta x}{\Delta x}$

$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}(f'(u)+q(\Delta u))(g'(x)+p(\Delta x))$

$=f'(u)g'(x)$ $(\Delta x\to 0 \ のとき \ \Delta u \to 0)$

$=f'(g(x))g'(x)$




例題と練習問題

例題

例題

次の関数を微分せよ.

(1) $y=(2x^{2}+1)^{3}$

(2) $\displaystyle y=\sqrt{x^{2}+3}$


講義

$\displaystyle y'=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$ を使うのがわかりやすいと思います.


解答

(1) $y=u^{3}$,$u=2x^{2}+1$ とおくと

 $y'$

$\displaystyle =\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$

$\displaystyle =3u^{2}\cdot 4x$

$\displaystyle =\boldsymbol{12x(2x^{2}+1)^{2}}$


(2) $y=\sqrt{u}$,$u=x^{2}+3$ とおくと

 $y'$

$\displaystyle =\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}2x$

$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}}$



練習問題

練習

次の関数を微分せよ.

(1) $\displaystyle y=(x^{2}-3x-1)^{3}$

(2) $y=\dfrac{x+1}{(x^{2}+1)^{2}}$

練習の解答



ノートに戻る