合成関数の微分
微分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★
合成関数の微分について証明も含めて扱います．
多くの検定教科書や参考書で割愛されている，厳密な証明も付けました．
合成関数の微分公式とその証明
合成関数の微分
関数 $y=f(u)$，$u=g(x)$ がともに微分可能ならば，合成関数 $y=f(g(x))$ も微分可能で
$\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}}$
または
$\displaystyle \boldsymbol{\{f(g(x))\}'=f'(g(x))g'(x)}$
が成り立つ．
(簡単な)証明
$x$ の増分 $\Delta x$ に対する $u$ の増分 $\Delta u$ を $\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$ とする．
$\{f(g(x))\}'$
$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}$
$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta x}$
$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta u}\dfrac{\Delta u}{\Delta x} \ \cdots$ ☆
$=f'(u)g'(x)$ $(\Delta x\to 0 \ のとき \ \Delta u \to 0)$
$=f'(g(x))g'(x)$
積の微分，商の微分と違い，多少慣れるのに時間がかかる人が多い印象です．
最後の $g'(x)$ を付け忘れる人が多いですね．
厳密な証明
検定教科書の証明も上の程度であり，大まかにはこれで問題ないのですが，☆の行で $\Delta u=0$ のときを考慮していないのが問題です．
より厳密な証明を以下に格納します．導関数の定義を $\Delta u$ が $0$ のときにも対応できるように見直します．意欲的な方向けです．
合成関数の微分の証明
$x$ の増分 $\Delta x$ に対する $u$ の増分 $\Delta u$ を $\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$ とする．
まず初めに 導関数の定義を見直すことから始める．
関数 $g(x)$ の導関数の定義は
$\displaystyle g'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$
であるので
$\displaystyle p(\Delta x)=\begin{cases}\dfrac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}-g'(x) \ (\Delta x\neq 0) \\ 0 \hspace{4.7cm} (\Delta x=0)\end{cases}$
と定義すると，$p(\Delta x)$ は $\Delta x=0$ において連続であり
$\displaystyle g(x+\Delta x)-g(x)=(g'(x)+p(\Delta x))\Delta x$
が成り立つ．
同様に関数 $f(u)$ に関しても
$\displaystyle q(\Delta u)=\begin{cases}\dfrac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}-f'(u) \ (\Delta u\neq 0) \\ 0 \hspace{4.8cm} (\Delta u=0)\end{cases}$
と定義すると，$q(\Delta u)$ は $\Delta u=0$ において連続であり
$\displaystyle f(u+\Delta u)-f(u)=(f'(u)+q(\Delta u))\Delta u$
が成り立つ．これで $\Delta u=0$ のときの導関数も考慮できる．
準備が終わったので，上の式を使って定義通り計算すると
$\{f(g(x))\}'$
$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}$
$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta x}$
$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{(f'(u)+q(\Delta u))\Delta u}{\Delta x}$
$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{(f'(u)+q(\Delta u))(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}$
$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{(f'(u)+q(\Delta u))(g'(x)+p(\Delta x))\Delta x}{\Delta x}$
$\displaystyle =\lim_{\Delta x\to 0}(f'(u)+q(\Delta u))(g'(x)+p(\Delta x))$
$=f'(u)g'(x)$ $(\Delta x\to 0 \ のとき \ \Delta u \to 0)$
$=f'(g(x))g'(x)$
例題と練習問題
例題
例題
次の関数を微分せよ．
(1) $y=(2x^{2}+1)^{3}$
(2) $\displaystyle y=\sqrt{x^{2}+3}$
講義
$\displaystyle y'=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$ を使うのがわかりやすいと思います．
解答
(1) $y=u^{3}$，$u=2x^{2}+1$ とおくと
$y'$
$\displaystyle =\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$
$\displaystyle =3u^{2}\cdot 4x$
$\displaystyle =\boldsymbol{12x(2x^{2}+1)^{2}}$
(2) $y=\sqrt{u}$，$u=x^{2}+3$ とおくと
$y'$
$\displaystyle =\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}u^{-\frac{1}{2}}2x$
$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+3}}}$
練習問題
練習
次の関数を微分せよ．
(1) $y=(x^{2}-3x-1)^{3}$
(2) $y=\dfrac{x+1}{(x^{2}+1)^{2}}$
解答
(1)
$y=u^{3}$，$u=x^{2}-3x-1$ とおくと
$y'$
$\displaystyle =\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}$
$\displaystyle =3u^{2}(2x-3)$
$\displaystyle =\boldsymbol{3(x^{2}-3x-1)^{2}(2x-3)}$
※ 慣れたら最初から答えを書けるべきですね．
(2)
$y'$
$\displaystyle =\dfrac{1\cdot (x^{2}+1)^{2}-(x+1) \cdot 2(x^{2}+1)2x}{(x^{2}+1)^{4}}$
$\displaystyle =\dfrac{1\cdot (x^{2}+1)-(x+1) \cdot 4x}{(x^{2}+1)^{3}}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{-3x^{2}-4x+1}{(x^{2}+1)^{3}}}$