合成関数
関数(教科書範囲) ★★
合成関数と関連問題を扱います．
合成関数
合成関数
$2$ つの関数 $f(x)$，$g(x)$ を用いて
$\boldsymbol{u=f(x)，y=g(u)=g(f(x))}$
のようにして定まる $x$ の関数 $y=g(f(x))$ を $f$ と $g$ の合成関数という．以下のように
$\boldsymbol{y=g(f(x))=(g\circ f)(x)}$
と書く．
上の場合，$t=f(x)$ の値域が，関数 $y=g(t)$ の定義域に含まれている必要があります．つまり，どんな場合も合成関数を作れるわけではありません．
合成関数を作れる例
$f(x)=x^{2}$，$g(x)=2x-1$ のとき
$(g\circ f)(x)$
$=g(f(x))$
$=g(x^{2})$
$=2x^{2}-1$
$(f\circ g)(x)$
$=f(g(x))$
$=f(2x-1)$
$=(2x-1)^{2}$
上でわかるように，一般には $(g\circ f)(x)$ と $(f\circ g)(x)$ は一致しません．
合成関数を作れない例
$f(x)=-2^{x}$，$g(x)=\sqrt{x}$ のとき，$(g\circ f)(x)$ は作れません．一方で
$(f\circ g)(x)$
$=f(g(x))$
$=f(\sqrt{x})$
$=-2^{\sqrt{x}}$
となります．
例題と練習問題
例題
例題
$f(x)=x^{2}+1$，$g(x)=\log_{2} x$ のとき
(1) $(g\circ f)(x)$ を求めよ．
(2) $(f\circ g)(x)$ を求めよ．
講義
$(g\circ f)(x)=g(f(x))$ と変形するとわかりやすいですね．
解答
(1)
$(g\circ f)(x)$
$=g(f(x))$
$=\boldsymbol{\log_{2}(x^{2}+1)}$
※ $f(x)>0$ より真数条件をクリアしているので定義域を制限せずとも $(g\circ f)(x)$ が存在します．
(2)
$(f\circ g)(x)$
$=f(g(x))$
$=\boldsymbol{(\log_{2}x)^{2}+1}$
練習問題
練習1
$y=f(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}$，$x=g(t)=\tan t$ $\left(-\dfrac{\pi}{2}< t< \dfrac{\pi}{2}\right)$ のとき
(1) $y=f(g(t))$ を求めよ．
(2) $y=f(x)$ の最大値と最小値を求めよ．
練習2
$f(x)=\begin{cases}-2x-1 (-1\leqq x<0) \\ 2x-1 (0\leqq x \leqq 1) \end{cases}$
で定義された関数 $f(x)$ について．
(1) $y=(f \circ f)(x)$ のグラフをかけ．
(2) $(f \circ f)(a)=f(a)$ となる $a$ を求めよ．
練習1の解答
(1)
$y=f(g(t))$
$=\dfrac{\tan t}{\tan^{2}t+1}$
$=\tan t\cos^{2}t$
$=\sin t\cos t$
$\boldsymbol{=\dfrac{1}{2}\sin 2t}$
(2)
$t=\dfrac{\pi}{4}$，$x=1$ のとき最大値 $\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$
$t=-\dfrac{\pi}{4}$，$x=-1$ のとき最大値 $\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$
※ このように置き換えをすると最大値，最小値が求めやすくなることがあります．
練習2の解答
(1)
$y=f(x)$ の図は以下になる．
これを踏まえ
$(f \circ f)(x)=f(f(x))$
$=\begin{cases}-2f(x)-1 (-1\leqq f(x)<0) \\ 2f(x)-1 (0\leqq f(x) \leqq 1) \end{cases}$
$=\begin{cases}-2(-2x-1)-1 \left(-\dfrac{1}{2}< x<0\right) \\ -2(2x-1)-1 \left(0\leqq x<\dfrac{1}{2}\right) \\ 2(-2x-1)-1 \left(-1\leqq x\leqq-\dfrac{1}{2}\right) \\ 2(2x-1)-1 \left(\dfrac{1}{2}\leqq f(x) \leqq 1\right) \end{cases}$
$=\begin{cases}-4x-3 \left(-1\leqq x\leqq-\dfrac{1}{2}\right) \\4x+1 \left(-\dfrac{1}{2}< x<0\right) \\ -4x+1 \left(0\leqq x<\dfrac{1}{2}\right) \\ 4x-3 \left(\dfrac{1}{2}\leqq f(x) \leqq 1\right) \end{cases}$
(2)
$y=(f \circ f)(x)$ と $y=f(x)$ はともに $y$ 軸対象なので，$x>0$ の交点を考えればいい．$0\leqq a<\dfrac{1}{2}$ のとき
$-4a+1=2a-1$
$\Longleftrightarrow \ a=\dfrac{1}{3}$
グラフより $a=1$ も解であるので，求める値は $\boldsymbol{a=\pm1，\pm\dfrac{1}{3}}$