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三角関数の加法定理とその証明

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

三角関数の数々の公式の親となる重要な定理です.この単元の最重要定理と言っても過言ではないかもしれません.

1999年に東大で出題された( $\sin\theta$,$\cos\theta$ の定義を述べさせ,加法定理を証明させる)ことは有名で,加法定理の証明も是非理解しておきたいです.

証明と演習問題を用意しました.





三角関数の加法定理

ポイント

三角関数の加法定理

任意の実数$\alpha$,$\beta$ に対して

(ⅰ) $\boldsymbol{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}$

(ⅱ) $\boldsymbol{\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}$


(ⅲ) $\boldsymbol{\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$

(ⅳ) $\boldsymbol{\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}$


↓ $\alpha$,$\beta$,$\alpha\pm\beta$の $\tan$ が定義できるなら


(ⅴ) $\boldsymbol{\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}$

(ⅵ) $\boldsymbol{\tan(\alpha-\beta)=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}}$


以下の証明にあるように試験中に導くのが困難なので,暗記必須の公式になります.

一応下に書きましたが,覚え方は個々人が覚えやすいものでいいと思います.



覚え方

$\sin$ の加法定理

$\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta$

シンコスコスシン


$\cos$ の加法定理

$\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta$

コスコスシンシン


$\tan$ の加法定理

$\tan(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}$

1ほすタンタン タンタン




加法定理の3つの証明方法と証明

ポイント

加法定理の主な証明方法

Ⅰ:余弦定理を使わない方法

Ⅱ:余弦定理を使う方法

Ⅲ:ベクトルを使う方法


やや余弦定理での証明が有名だと思いますが,前提知識は少ない方がいいですし,余弦定理を使わない方法を一番のオススメとして優先して証明します.



Ⅰ:余弦定理を使わない方法での証明

(ⅲ) $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ の証明

まず(ⅲ)を示します.

加法定理の証明

単位円周上に ${\rm P}(1,0)$,${\rm Q}(\cos(\alpha+\beta),\sin(\alpha+\beta))$ をとる.この $\rm P$,$\rm Q$ を原点を中心に $-\beta$ 回転した点をそれぞれ ${\rm P}'(\cos(-\beta),\sin(-\beta))$,${\rm Q}'(\cos\alpha,\sin\alpha)$ とする.

加法定理の証明2

当たり前ですが $\rm PQ=P'Q'$ なので $\rm PQ^{2}=P'Q'^{2}$ より

$\{1-\cos(\alpha+\beta)\}^{2}+\{0-\sin(\alpha+\beta)\}^{2}=\{\cos(-\beta)-\cos\alpha\}^{2}+\{\sin(-\beta)-\sin\alpha\}^{2}$

$\Longleftrightarrow 2-2\cos(\alpha+\beta)=(\cos\beta-\cos\alpha)^{2}+(-\sin\beta-\sin\alpha)^{2}$

$\Longleftrightarrow 2-2\cos(\alpha+\beta)=2-2\cos\alpha\cos\beta+2\sin\alpha\sin\beta$

$\therefore \boldsymbol{\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$


(ⅳ)の証明

(ⅲ)にある $\beta$ を $-\beta$ に変えます.

$\boldsymbol{\cos(\alpha-\beta)}=\cos\alpha\cos(-\beta)-\sin\alpha\sin(-\beta)$

$\hspace{2.3cm} \boldsymbol{=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta}$


(ⅰ)の証明

(ⅳ)にある $\alpha$ を $\dfrac{\pi}{2}-\alpha$ に変えます.

$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha-\beta\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\cos\beta+\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\alpha\right)\sin\beta$

$\Longleftrightarrow \cos\left\{\dfrac{\pi}{2}-\left(\alpha+\beta\right)\right\}=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\therefore \boldsymbol{\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}$


(ⅱ)の証明

(ⅰ)にある $\beta$ を $-\beta$ に変えます.

$\boldsymbol{\sin(\alpha-\beta)}=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)$

$\hspace{2.3cm} \boldsymbol{=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}$


(Ⅴ)の証明

$\tan(\alpha+\beta)=\dfrac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}$

$\hspace{2.1cm} =\dfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}$

$\hspace{2.1cm} =\dfrac{\dfrac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\dfrac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{1-\dfrac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}$

$\hspace{2.2cm} \boldsymbol{=\dfrac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}}$


(ⅵ)の証明

(Ⅴ)にある $\beta$ を $-\beta$ に変えます.

$\boldsymbol{\tan(\alpha-\beta)}=\dfrac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)}$

$\hspace{2.3cm} \boldsymbol{=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}}$



Ⅱ:余弦定理を使う方法での証明

下に格納します.2点の角度の差が正とは限らないので,その点の言及をします.

Ⅱでの証明



Ⅲ:ベクトルを使う方法

下に格納します.発想が若干難しいですが,1度に $\cos(\alpha+\beta)$ と $\sin(\alpha+\beta)$ が示せます.

Ⅲでの証明




例題と練習問題

例題

例題

 $\sin\dfrac{5}{12}\pi$ の値を求めよ.


講義

上の公式を使います,ただ当てはめて計算するだけです.


解答

 $\sin\dfrac{5}{12}\pi$

$=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right)$ ←有名角の和に

$=\sin\dfrac{\pi}{4}\cos\dfrac{\pi}{6}+\cos\dfrac{\pi}{4}\sin\dfrac{\pi}{6}$

$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$

$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$



練習問題

練習

(1) $\alpha$ が第3象限の角,$\beta$ が第4象限の角で,$\sin \alpha=-\dfrac{4}{5}$,$\cos \beta=\dfrac{1}{2}$ のとき,$\cos(\alpha+\beta)$ の値を求めよ.

(2) 半径1の円に外接する正十二角形の面積を求めよ.

練習の解答



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