三角関数の相互関係
三角比，三角関数(教科書範囲) ★★
数学Ⅰ，数学Ⅱ共通ページです．
三角比，三角関数の相互関係を扱います．
数学Ⅰの三角比を勉強中の方は2章までです．
三角関数の相互関係
三角関数の定義から以下の公式が示せます．検定教科書では相互関係という名称になっていて，今後頻繁に使用する公式です．
ポイント
三角関数の相互関係
$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ に関して以下の等式が成り立つ．
$\boldsymbol{\cos^{2}\theta+\sin^{2} \theta=1}$
$\cos\theta \neq 0$ のとき，上の式を両辺 $\cos^{2}\theta$ で割ると
$\boldsymbol{1+\tan^{2} \theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}}$
点 $(\cos\theta,\sin\theta)$ は定義から単位円周上( $x^{2}+y^{2}=1$ )にあるので，上の等式を満たすのは明らかです．一般的には $\sin^{2}\theta+\cos^{2} \theta=1$ の順が有名ですが，単位円を意識すると $\cos^{2}\theta+\sin^{2} \theta=1$ の方がしっくりきます．
下の等式は $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ から容易に示せますね．つまり公式を忘れても，上の等式から導ければ十分です．
例題と練習問題(数学Ⅰ)
例題
例題
(1) $0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ とする．$\cos\theta=\dfrac{1}{4}$ のとき，$\sin\theta$，$\tan\theta$ の値を求めよ．
(2) $0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ とする．$\tan\theta=-5$ のとき，$\sin\theta$，$\cos\theta$ の値を求めよ．
講義
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ や三角関数の相互関係を使って解いていきます．$\cos\theta$，$\tan\theta$ が正ならば $0^{\circ}< \theta < 90^{\circ}$，負ならば $90^{\circ}< \theta < 180^{\circ}$ となるのでその点も注意します．
また，$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ のとき $\sin\theta \geqq 0$ となります．
解答
(1)
$\cos^{2}\theta+\sin^{2} \theta=1$ より
$\dfrac{1}{16}+\sin^{2} \theta=1$
$\Longleftrightarrow \ \sin^{2} \theta=\dfrac{15}{16}$
$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ より
$\sin \theta=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{15}}{4}}$
$\tan \theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\boldsymbol{\sqrt{15}}$
(2)
$1+\tan^{2} \theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$ より
$1+25=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$
$\Longleftrightarrow \ \cos^{2} \theta=\dfrac{1}{26}$
$\tan\theta<0$ から，$\cos\theta<0$ より
$\cos \theta=\boldsymbol{-\dfrac{1}{\sqrt{26}}}$
$\sin \theta=\tan\theta\cos\theta=\boldsymbol{\dfrac{5}{\sqrt{26}}}$
練習問題
練習
(1) $90^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$とする．$\sin\theta=\dfrac{1}{3}$ のとき，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の値を求めよ．
(2) $0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ とする．$\tan\theta=\dfrac{1}{2}$ のとき，$\sin\theta$，$\cos\theta$ の値を求めよ．
(3) $0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ とする．$\sin\theta-\cos\theta=-\dfrac{1}{2}$ のとき，$\sin\theta\cos\theta$，$\sin\theta+\cos\theta$，$\sin\theta$，$\cos\theta$ の値をそれぞれを求めよ．
練習の解答
(1)
$\cos^{2}\theta+\sin^{2} \theta=1$ より
$\cos^{2}\theta+\dfrac{1}{9}=1$
$\Longleftrightarrow \ \cos^{2} \theta=\dfrac{8}{9}$
$90^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ より
$\cos \theta=\boldsymbol{-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}$
$\tan \theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{2}}{4}}$
(2)
$1+\tan^{2} \theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$ より
$1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$
$\Longleftrightarrow \ \cos^{2} \theta=\dfrac{4}{5}$
$\tan\theta>0$ から，$\cos\theta>0$ より
$\cos \theta=\boldsymbol{\dfrac{2}{\sqrt{5}}}$
$\sin \theta=\tan\theta\cos\theta=\boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{5}}}$
(3)
$(\sin\theta-\cos\theta)^{2}=1-2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{4}$ より
$\sin\theta\cos \theta=\boldsymbol{\dfrac{3}{8}}$
$(\sin\theta+\cos\theta)^{2}=1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{7}{4}$．また，$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ で $\sin\theta \geqq 0$，$\sin\theta\cos \theta>0$ より，$\cos \theta>0$ から，$\sin\theta+\cos \theta>0$ なので
$\sin\theta+\cos \theta=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{7}}{2}}$
$\sin\theta=\dfrac{\sin\theta+\cos \theta+\sin\theta-\cos \theta}{2}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{7}-1}{4}}$
$\cos\theta=\dfrac{\sin\theta+\cos \theta-(\sin\theta-\cos \theta)}{2}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{7}+1}{4}}$
例題と練習問題(数学Ⅱ)
例題
例題
(1) $\theta$ の動径が第3象限にあるとする．$\cos\theta=-\dfrac{1}{4}$ のとき，$\sin\theta$，$\tan\theta$ の値を求めよ．
(2) $\tan\theta=5$ のとき，$\sin\theta$，$\cos\theta$ の値を求めよ．
講義
数学Ⅱ以降では，弧度法で一般角を扱うことが多いです．考え方は前章の例題と同じです．
解答
(1)
$\cos^{2}\theta+\sin^{2} \theta=1$ より
$\dfrac{1}{16}+\sin^{2} \theta=1$
$\Longleftrightarrow \ \sin^{2} \theta=\dfrac{15}{16}$
$\theta$ の動径が第3象限にあるので
$\sin \theta=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{15}}{4}}$
$\tan \theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\boldsymbol{\sqrt{15}}$
(2)
$1+\tan^{2} \theta=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$ より
$1+25=\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}$
$\Longleftrightarrow \ \cos^{2} \theta=\dfrac{1}{26}$
$\therefore \ \cos \theta=\boldsymbol{\pm\dfrac{1}{\sqrt{26}}}$
$\sin \theta=\tan\theta\cos\theta=\boldsymbol{\pm\dfrac{5}{\sqrt{26}}}$ (複号同順)
練習問題
練習
(1) $\theta$ の動径が第4象限にあるとする．$\sin\theta=-\dfrac{3}{5}$ のとき，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の値を求めよ．
(2) $\tan^{2}\theta-\sin^{2}\theta=\tan^{2}\theta\sin^{2}\theta$ が成り立つことを証明せよ．
練習の解答
(1)
$\cos^{2}\theta+\sin^{2} \theta=1$ より
$\cos^{2}\theta+\dfrac{9}{25}=1$
$\Longleftrightarrow \ \cos^{2} \theta=\dfrac{16}{25}$
$\theta$ の動径が第4象限にあるので
$\cos \theta=\boldsymbol{\dfrac{4}{5}}$
$\tan \theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\boldsymbol{-\dfrac{3}{4}}$
(2)
$\tan^{2}\theta-\sin^{2}\theta$
$=\tan^{2}\theta-\tan^{2}\theta\cos^{2}\theta$
$=\tan^{2}\theta(1-\cos^{2}\theta)$
$=\tan^{2}\theta\sin^{2}\theta$