15°シリーズの三角比

数学ⅡB既習者(入試の標準)　★★

$\sin15^{\circ}$ などの有名角ではない $15^\circ$ シリーズの三角比は入試においてすぐ出せる状態にしておくと楽です．

このページでは，図を使った出し方(数学Ⅰ)，加法定理(数学Ⅱ)を使った出し方を確認します．

$15^\circ$ シリーズの三角比

$\boldsymbol{\sin15^\circ=\cos75^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

$\boldsymbol{\cos15^\circ=\sin75^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

$\tan15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2-\sqrt{3}$

$\tan75^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=2+\sqrt{3}$

普通は，加法定理(数学Ⅱ)を使って出しますが，まだこれを習っていない人向けに図で出す方法も以下で解説してあります．

余裕のある受験生は特に赤い箇所を覚えておくと出てきたときに楽です．18°シリーズの三角比と覚え方が似ていますが

分子の $\boldsymbol{6}$ と $\boldsymbol{2}$ を引くと分母の $\boldsymbol{4}$

と覚えるのはいかがしょうか．

以下のように図を書きます．

次に $15^\circ$ の二等辺三角形ができるように，補助線を引きます．図の右の辺を $1$ とおくと，以下のように辺の比が求まります．

$\color{red}{?}$ の長さは三平方の定理と二重根号を外せば求まります．

$\color{red}{?}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{8+2\sqrt{12}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

これより

$\sin15^\circ=\cos75^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos15^\circ=\sin75^\circ=\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\tan15^\circ=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

$\tan75^\circ=2+\sqrt{3}$

加法定理にあてはめるだけです．

　$\sin15^{\circ}$

$=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})$

$=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}$

$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$

$=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

　$\cos15^{\circ}$

$=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})$

$=\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}$

$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$

$=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

　$\tan15^{\circ}$

$=\tan(45^{\circ}-30^{\circ})$

$=\dfrac{\tan45^{\circ}-\tan30^{\circ}}{1+\tan45^{\circ}\tan30^{\circ}}$

$=\dfrac{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$

$=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

$=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\cdot\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}$

$=2-\sqrt{3}$

残りの角度も同様に加法定理で出せます．