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15°シリーズの三角比

タイプ:入試の標準 レベル:★★ 


アイキャッチ

$\sin15^{\circ}$ などの有名角ではない $15^\circ$ シリーズの三角比は入試においてすぐ出せる状態にしておくと楽です.

このページでは,図を使った出し方(数Ⅰ),加法定理(数Ⅱ)を使った出し方を確認します.





$15^\circ$ シリーズの三角比

ポイント

$15^\circ$ シリーズの三角比

$\boldsymbol{\sin15^\circ=\cos75^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$

$\boldsymbol{\cos15^\circ=\sin75^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$

$\tan15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=2-\sqrt{3}$

$\tan75^\circ=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}=2+\sqrt{3}$


普通は,加法定理(数Ⅱ)を使って出しますが,まだこれを習っていない人向けに図で出す方法も以下で解説してあります.

余裕のある受験生は特に赤い箇所を覚えておくと出てきたときに楽です.18°シリーズの三角比と覚え方が似ていますが

分子の6と2を引くと分母の4

と覚えるのはいかがしょうか.




図を使った求め方(数Ⅰ)

以下のように図を書きます.

15度の三角比の図

次に $15^\circ$ の二等辺三角形ができるように,補助線を引きます.図の右の辺を $1$ とおくと,以下のように辺の比が求まります.

15度の三角比の図

$\color{red}{?}$ の長さは三平方の定理と二重根号を外せば求まります.

$\color{red}{?}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{8+2\sqrt{12}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

これより

$\sin15^\circ=\cos75^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\cos15^\circ=\sin75^\circ=\dfrac{2+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

$\tan15^\circ=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$

$\tan75^\circ=2+\sqrt{3}$




加法定理を使った求め方(数Ⅱ)

加法定理にあてはめるだけです.

 $\sin15^{\circ}$

$=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})$

$=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ}-\cos45^{\circ}\sin30^{\circ}$

$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$

$=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$


 $\cos15^{\circ}$

$=\cos(45^{\circ}-30^{\circ})$

$=\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}+\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}$

$=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}$

$=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$


 $\tan15^{\circ}$

$=\tan(45^{\circ}-30^{\circ})$

$=\dfrac{\tan45^{\circ}-\tan30^{\circ}}{1+\tan45^{\circ}\tan30^{\circ}}$

$=\dfrac{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$

$=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

$=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\cdot\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1}$

$=2-\sqrt{3}$

残りの角度も同様に加法定理で出せます.



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