三角関数の定義
三角比，三角関数(教科書範囲) ★
数学Ⅰ，数学Ⅱ共通ページです．
三角関数の定義をメインに扱います．
三角比という呼称は三角関数の特殊ケースという意味合いでこちらも合わせて扱いますので，三角比，三角関数の共通ページになります．
数学Ⅰの三角比を勉強中の方は2章までです．
三角関数の定義と性質
以下に三角関数の定義を紹介します．
ポイント
三角関数の定義
中心が原点，半径が1の円を単位円( $x^{2}+y^{2}=1$ )という．$x$ 軸の正の部分を始線として，角 $\theta$ の動径と単位円周上の交点を $\rm P$ とすると
$\boldsymbol{\sin \theta=( {\rm P}}$ の $\boldsymbol{y}$ 座標$\boldsymbol{)}$
$\boldsymbol{\cos \theta=( {\rm P}}$ の $\boldsymbol{x}$ 座標$\boldsymbol{)}$
$\boldsymbol{\tan \theta=(}$直線 $\boldsymbol{{\rm OP}}$ の傾き$\boldsymbol{)=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}}$
と定義する．これらを角 $\theta$ の三角関数という．
※ $\sin\theta$ はサインシータ，$\cos\theta$ はコサインシータ，$\tan\theta$ はタンジェントシータと呼びます．
余談
発展的な話をすると，$\sin\theta$，$\cos\theta$ は単位円を $\theta$ で媒介変数表示したものです．そういう意味では円関数というネーミングの方がしっくりきたりします．
今後数学を学ぶ上でどの分野でも何らかの形で付きまとう，重要な関数になります．
すべて角 $\theta$ の関数なので，$\theta$ に応じて値が定まる仕組みになっています．
数学Ⅰでは，$\theta$ の定義域を $0\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ に制限することが多いです．数学Ⅱでは，$\theta$ の定義域を弧度法で一般角まで拡張します．この章では特に制限せず言及します．
性質
三角関数は上の定義から明らかに以下の性質，三角関数の定義域と値域を確認できます．
ポイント
三角関数の定義域と値域
定義域に関して
$\sin\theta$，$\cos\theta$ での $\theta$ はすべての角度をとれる．しかし，$\tan\theta$ での $\theta$ は，円周上の点が $y$ 軸上にあるときは( $\tan\theta=\dfrac{\pm 1}{0}$ となるので)定義されない．
値域に関しては
$\boldsymbol{-1\leqq \sin \theta \leqq 1}$
$\boldsymbol{-1\leqq \cos \theta \leqq 1}$
※ $\tan\theta$ は直線 $\rm OP$ の傾きなので，すべての実数をとれます．
三角比
以下では $\theta$ の定義域を $0< \theta < 90^{\circ}$ で考えます．青の直角三角形に注目します．
$\sin\theta$ は高さのことですが，斜辺を $1$ に基準化しているからそうなるのであって，斜辺と高さの比，つまり $\dfrac{高さ}{斜辺}$ と捉えることができます．
$\cos\theta$ は底辺のことですが，同様に斜辺と底辺の比，つまり $\dfrac{底辺}{斜辺}$ と捉えることができます．
$\tan\theta$ は斜辺の傾き，同様に $\dfrac{高さ}{底辺}$ と捉えることができます．
以上を踏まえ，直角三角形で考えたときの場合を以下で紹介します．
ポイント
三角比
以下の直角三角形においては
$\boldsymbol{\sin \theta=\dfrac{a}{c}}$
$\boldsymbol{\cos \theta=\dfrac{b}{c}}$
$\boldsymbol{\tan \theta=\dfrac{a}{b}}$
上のように直角三角形の辺の比を意識したとき，三角関数は三角比と呼ばれることが多いです．
例題と練習問題(数学Ⅰ)
例題
例題
(1) $\theta$ が以下のときの $\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の値を求めよ．
① $\theta=30^{\circ}$
② $\theta=45^{\circ}$
③ $\theta=90^{\circ}$
④ $\theta=150^{\circ}$
(2) 次の図で，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の値を求めよ．
講義
(1)は単位円を書いて定義に従って答えます．
(2)は三角比の考えでそれぞれの値を出します．
解答
(1)①
$\sin 30^{\circ}=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$，$\cos 30^{\circ}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$，$\tan 30^{\circ}=\boldsymbol{\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$
②
$\sin 45^{\circ}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$，$\cos 45^{\circ}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$，$\tan 45^{\circ}=\boldsymbol{1}$
③
$\theta=90^{\circ}$ のとき，単位円周上は $(0,1)$ にある．$\tan\theta$ は定義されない．
$\sin 90^{\circ}=\boldsymbol{1}$，$\cos 90^{\circ}=\boldsymbol{0}$
④
$\sin 150^{\circ}=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$，$\cos 150^{\circ}=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$，$\tan 150^{\circ}=\boldsymbol{-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$
(2)
三平方の定理より，(未知の辺) $=\sqrt{17^{2}-8^{2}}=15$ なので
$\sin \theta=\boldsymbol{\dfrac{8}{17}}$，$\cos \theta=\boldsymbol{\dfrac{15}{17}}$，$\tan \theta=\boldsymbol{\dfrac{8}{15}}$
練習問題
練習
(1) $\theta$ が以下のときの $\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の値を求めよ．
① $\theta=0^{\circ}$
② $\theta=60^{\circ}$
③ $\theta=135^{\circ}$
④ $\theta=180^{\circ}$
(2) 次の図で，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の値を求めよ．
練習の解答
(1)①
$\sin 0^{\circ}=\boldsymbol{0}$，$\cos 0^{\circ}=\boldsymbol{1}$，$\tan 0^{\circ}=\boldsymbol{0}$
②
$\sin 60^{\circ}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$，$\cos 60^{\circ}=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$，$\tan 60^{\circ}=\boldsymbol{\sqrt{3}}$
③
$\sin 135^{\circ}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$，$\cos 135^{\circ}=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$，$\tan 135^{\circ}=\boldsymbol{-1}$
④
$\sin 180^{\circ}=\boldsymbol{0}$，$\cos 180^{\circ}=\boldsymbol{-1}$，$\tan 180^{\circ}=\boldsymbol{0}$
(2)
三平方の定理より，(未知の辺) $=\sqrt{8^{2}-5^{2}}=\sqrt{39}$ なので
$\sin \theta=\boldsymbol{\dfrac{8}{\sqrt{39}}}$，$\cos \theta=\boldsymbol{\dfrac{5}{8}}$，$\tan \theta=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{39}}{5}}$
※ $\theta$ の向きに注意ですね．
例題と練習問題(数学Ⅱ)
例題
例題
$\theta$ が以下のときの $\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の値を求めよ．
① $\theta=\dfrac{\pi}{3}$
② $\theta=\dfrac{4}{3}\pi$
③ $\theta=\dfrac{9}{4}\pi$
④ $\theta=-\dfrac{\pi}{6}$
講義
数学Ⅱ以降では，弧度法で一般角を扱うことが多いです．$\pi$ と $180^{\circ}$ が対応していることを思い出し，度数法に変換して図を考えるといいと思います．
解答
①
$\sin \dfrac{\pi}{3}=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$，$\cos \dfrac{\pi}{3}=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$，$\tan \dfrac{\pi}{3}=\boldsymbol{\sqrt{3}}$
②
$\sin \dfrac{4}{3}\pi=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$，$\cos \dfrac{4}{3}\pi=\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$，$\tan \dfrac{4}{3}\pi=\boldsymbol{\sqrt{3}}$
③
$\dfrac{9}{4}\pi=\dfrac{\pi}{4}+2\pi$ より，$\dfrac{\pi}{4}$ のときの三角関数の値と同じ．
$\sin \dfrac{9}{4}\pi=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$，$\cos \dfrac{9}{4}\pi=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$，$\tan \dfrac{9}{4}\pi=\boldsymbol{1}$
④
$\sin \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$，$\cos \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$，$\tan \left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\boldsymbol{-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$
練習問題
練習
$\theta$ が以下のときの $\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の値を求めよ．
① $\theta=\dfrac{5}{6}\pi$
② $\theta=\dfrac{3}{2}\pi$
③ $\theta=\dfrac{11}{4}\pi$
④ $\theta=-\dfrac{2}{3}\pi$
練習の解答
①
$\sin \dfrac{5}{6}\pi=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$，$\cos \dfrac{5}{6}\pi=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$，$\tan \dfrac{5}{6}\pi=\boldsymbol{-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$
②
$\tan \dfrac{3}{2}\pi$ は定義されない．
$\sin \dfrac{3}{2}\pi=\boldsymbol{-1}$，$\cos \dfrac{3}{2}\pi=\boldsymbol{0}$
③
$\dfrac{11}{4}\pi=\dfrac{3}{4}\pi+2\pi$ より，$\dfrac{3}{4}\pi$ のときの三角関数の値と同じ．
$\sin \dfrac{11}{4}\pi=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$，$\cos \dfrac{11}{4}\pi=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$，$\tan \dfrac{11}{4}\pi=\boldsymbol{-1}$
④
$\sin \left(-\dfrac{2}{3}\pi\right)=\boldsymbol{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}$，$\cos \left(-\dfrac{2}{3}\pi\right)=\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$，$\tan \left(-\dfrac{2}{3}\pi\right)=\boldsymbol{\sqrt{3}}$