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2重根号の外し方

数と式(入試の標準) ★★


アイキャッチ

2重根号の外し方に関して一通り扱います.



2重根号とは

例として,下図の $\color{red}{?}$ の値はいくつでしょうか.

15度の三角比の図

三平方の定理を用いれば

$\color{red}{?}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{8+4\sqrt{3}}$

となります.根号の中に根号があるものを2重根号といいます.2重根号を外せると

$\color{red}{?}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

簡単に表記できます(常に外せるとは限りません).

2重根号の外し方

ポイント

2重根号の公式

$a > 0$,$b > 0$ のとき

$\color{red}{\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$a> b > 0$ のとき

$\color{red}{\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}}$


上の公式を使います.上の公式が使える形になっていない場合は,強引に使える形に変形します.

下で証明します.

証明

証明

 $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$

$=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}$

$=|\sqrt{a}+\sqrt{b}|$ ← $\sqrt{A^{2}}=|A|$

$=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

もう片方も

 $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$

$=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}$

$=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$ ← $\sqrt{A^{2}}=|A|$

$=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ ( $a> b > 0$ のとき)

となります.どちらも√A²の外し方を使います.

例題と練習問題

例題

例題

次の式を簡単にせよ.

(1) $\sqrt{8+2\sqrt{12}}$

(2) $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$

(4) $\sqrt{4+\sqrt{15}}$


講義

(1),(2)は公式そのままです.

(3)は $4\sqrt{5}$ を公式が使えるように $2\sqrt{20}$ に変形します.

(4)は $4+\sqrt{15}$ を公式が使えるように $\dfrac{8+2\sqrt{15}}{2}$ に変形します.


解答

(1)

 $\sqrt{8+2\sqrt{12}}$ ←足して $8$,かけて $12$ になる自然数を探す

$=\sqrt{(6+2)+2\sqrt{6\cdot2}}$

$=\boldsymbol{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$


(2)

 $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$ ←足して $4$,かけて $3$ になる自然数を探す

$=\sqrt{(3+1)-2\sqrt{3\cdot1}}$

$=\sqrt{3}-\sqrt{1}$

$=\boldsymbol{\sqrt{3}-1}$


(3)

 $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$

$=\sqrt{9-\color{red}{2}\sqrt{20}}$ ←強引に係数を $2$ にします

$=\sqrt{(5+4)-2\sqrt{5\cdot4}}$

$=\sqrt{5}-\sqrt{4}$

$=\boldsymbol{\sqrt{5}-2}$


(4)

 $\sqrt{4+\sqrt{15}}$

$=\sqrt{\dfrac{8+\color{red}{2}\sqrt{15}}{2}}$ ←強引に係数を $2$ にします

$=\dfrac{\sqrt{(5+3)+2\sqrt{5\cdot3}}}{\sqrt{2}}$

$=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}}$

練習問題

練習1

2点 ${\rm A}\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$,${\rm B}\left(-\sqrt{2},0\right)$ の距離を求めよ.


練習2

次の式を簡単にせよ.

(1) $\sqrt{28-4\sqrt{13}}$

(2) $\sqrt{6+\sqrt{11}}$

(3) $\sqrt{\sqrt{89-28\sqrt{10}}}$

練習1の解答

(1)

 $\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}+\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}$

$=\sqrt{\dfrac{3}{2}+\sqrt{12}+2+\dfrac{1}{2}}$

$=\sqrt{4+2\sqrt{3}}$

$=\boldsymbol{\sqrt{3}+1}$


練習2の解答

(1)

 $\sqrt{28-4\sqrt{13}}$

$=\sqrt{28-2\sqrt{52}}$

$=\boldsymbol{\sqrt{26}-\sqrt{2}}$


(2)

 $\sqrt{6+\sqrt{11}}$

$=\sqrt{\dfrac{12+2\sqrt{11}}{2}}$

$=\dfrac{\sqrt{11}+\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{22}+\sqrt{2}}{2}}$


(3)

 $\sqrt{\sqrt{89-28\sqrt{10}}}$

$=\sqrt{\sqrt{89-2\sqrt{10\cdot14^2}}}$

$=\sqrt{\sqrt{89-2\sqrt{49\cdot40}}}$

$=\sqrt{\sqrt{49}-\sqrt{40}}$

$=\sqrt{7-2\sqrt{10}}$

$=\boldsymbol{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$