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2重根号の外し方

タイプ:教科書範囲 レベル: 


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このページでは,2重根号の外し方を扱います.

後半で演習問題を用意しました.





2重根号とは

2重根号とは

$\sqrt{9+2\sqrt{14}}$ のように,根号の中に根号があるものを言います.これは以下で示す公式を使えば

$\sqrt{9+2\sqrt{14}}=\sqrt{7}+\sqrt{2}$

のように,簡単にできます.

他に例として,下図の $\color{red}{?}$ の値はいくつでしょうか.

15度の三角比の図

三平方の定理を用いれば

$\color{red}{?}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{8+2\sqrt{12}}$

となりますが,2重根号を外せると

$\color{red}{?}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$

さらに簡単に表記できます.

下で公式を解説します.



2重根号の外し方

ポイント

2重根号の公式

$a > 0$,$b > 0$ のとき

$\color{red}{\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$a> b > 0$ のとき

$\color{red}{\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}}$


上の公式を使います.問題が上の公式が使える形になっていないことがよくあるのですが,そのときは使える形に強引に変形します.

下で証明します.



証明

証明

 $\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$

$=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}$

$=|\sqrt{a}+\sqrt{b}|$ ← $\sqrt{A^{2}}=|A|$

$=\sqrt{a}+\sqrt{b}$

もう片方も

 $\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$

$=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}$

$=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$ ← $\sqrt{A^{2}}=|A|$

$=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ ( $a> b > 0$ のとき)

となります.どちらも√A²の外し方を使います.




例題と練習問題

例題

例題

次の式を簡単にせよ.

(1) $\sqrt{8+2\sqrt{12}}$

(2) $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$

(3) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$

(4) $\sqrt{4+\sqrt{15}}$


講義

(1),(2)は公式そのままです.

(3)は中身の $4\sqrt{5}$ を公式が使えるように $2\sqrt{20}$ に変形します.

(4)も方針は同じです.公式が使えるように $4+\sqrt{15}$ を $\dfrac{8+2\sqrt{15}}{2}$ に変形します.


解答

(1)

 $\sqrt{8+2\sqrt{12}}$ ←足して $8$,かけて $12$ になる自然数を探す

$=\sqrt{(6+2)+2\sqrt{6\cdot2}}$

$=\boldsymbol{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$


(2)

 $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$ ←足して $4$,かけて $3$ になる自然数を探す

$=\sqrt{(3+1)-2\sqrt{3\cdot1}}$

$=\sqrt{3}-\sqrt{1}$

$=\boldsymbol{\sqrt{3}-1}$


(3)

 $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$

$=\sqrt{9-\color{red}{2}\sqrt{20}}$ ←強引に係数を $2$ にします

$=\sqrt{(5+4)-2\sqrt{5\cdot4}}$

$=\sqrt{5}-\sqrt{4}$

$=\boldsymbol{\sqrt{5}-2}$


(4)

 $\sqrt{4+\sqrt{15}}$

$=\sqrt{\dfrac{8+\color{red}{2}\sqrt{15}}{2}}$ ←強引に係数を $2$ にします

$=\dfrac{\sqrt{(5+3)-2\sqrt{5\cdot3}}}{\sqrt{2}}$

$=\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}}$



練習問題

練習

次の式を簡単にせよ.

(1) $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$

(2) $\sqrt{28-4\sqrt{13}}$

(3) $\sqrt{6+\sqrt{11}}$

(4) $\sqrt{\sqrt{89-28\sqrt{10}}}$

練習の解答



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