2重根号の外し方
数と式(入試の標準) ★★
2重根号の外し方に関して一通り扱います．
2重根号とは
例として，下図の $\color{red}{?}$ の値はいくつでしょうか．
三平方の定理を用いれば
$\color{red}{?}=\sqrt{(2+\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{8+4\sqrt{3}}$
となります．根号の中に根号があるものを2重根号といいます．2重根号を外せると
$\color{red}{?}=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
簡単に表記できます(常に外せるとは限りません)．
2重根号の外し方
2重根号の公式
$a > 0$，$b > 0$ のとき
$\boldsymbol{\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}}$
$a> b > 0$ のとき
$\boldsymbol{\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}}$
証明
$\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}$
$=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}}$
$=|\sqrt{a}+\sqrt{b}|$ ← $\sqrt{A^{2}}=|A|$
$=\sqrt{a}+\sqrt{b}$
$\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}$
$=\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}$
$=|\sqrt{a}-\sqrt{b}|$ ← $\sqrt{A^{2}}=|A|$
$=\sqrt{a}-\sqrt{b}$ ( $a> b > 0$ のとき)
2重根号を外すときは上の公式を意識します．上の公式が使える形になっていない場合は，強引に使える形に変形します．
例題と練習問題
例題
例題
次の式を簡単にせよ．
(1) $\sqrt{8+2\sqrt{12}}$
(2) $\sqrt{4-2\sqrt{3}}$
(3) $\sqrt{9-4\sqrt{5}}$
(4) $\sqrt{4+\sqrt{15}}$
講義
(1)，(2)は公式そのままです．
(3)は $4\sqrt{5}$ を公式が使えるように $2\sqrt{20}$ に変形します．
(4)は $4+\sqrt{15}$ を公式が使えるように $\dfrac{8+2\sqrt{15}}{2}$ に変形します．
解答
(1)
$\sqrt{8+2\sqrt{12}}$ ←足して $8$，かけて $12$ になる自然数を探す
$=\sqrt{(6+2)+2\sqrt{6\cdot2}}$
$=\boldsymbol{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$
(2)
$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$ ←足して $4$，かけて $3$ になる自然数を探す
$=\sqrt{(3+1)-2\sqrt{3\cdot1}}$
$=\sqrt{3}-\sqrt{1}$
$=\boldsymbol{\sqrt{3}-1}$
(3)
$\sqrt{9-4\sqrt{5}}$
$=\sqrt{9-\color{red}{2}\sqrt{20}}$ ←強引に係数を $2$ にします
$=\sqrt{(5+4)-2\sqrt{5\cdot4}}$
$=\sqrt{5}-\sqrt{4}$
$=\boldsymbol{\sqrt{5}-2}$
(4)
$\sqrt{4+\sqrt{15}}$
$=\sqrt{\dfrac{8+\color{red}{2}\sqrt{15}}{2}}$ ←強引に係数を $2$ にします
$=\dfrac{\sqrt{(5+3)+2\sqrt{5\cdot3}}}{\sqrt{2}}$
$=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$
$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{10}+\sqrt{6}}{2}}$
練習問題
練習1
2点 ${\rm A}\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2},\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$，${\rm B}\left(-\sqrt{2},0\right)$ の距離を求めよ．
練習2
次の式を簡単にせよ．
(1) $\sqrt{28-4\sqrt{13}}$
(2) $\sqrt{6+\sqrt{11}}$
(3) $\sqrt{\sqrt{89-28\sqrt{10}}}$
練習1の解答
(1)
$\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}+\sqrt{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}}$
$=\sqrt{\dfrac{3}{2}+\sqrt{12}+2+\dfrac{1}{2}}$
$=\sqrt{4+2\sqrt{3}}$
$=\boldsymbol{\sqrt{3}+1}$
練習2の解答
(1)
$\sqrt{28-4\sqrt{13}}$
$=\sqrt{28-2\sqrt{52}}$
$=\boldsymbol{\sqrt{26}-\sqrt{2}}$
(2)
$\sqrt{6+\sqrt{11}}$
$=\sqrt{\dfrac{12+2\sqrt{11}}{2}}$
$=\dfrac{\sqrt{11}+\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$
$=\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{22}+\sqrt{2}}{2}}$
(3)
$\sqrt{\sqrt{89-28\sqrt{10}}}$
$=\sqrt{\sqrt{89-2\sqrt{10\cdot14^2}}}$
$=\sqrt{\sqrt{89-2\sqrt{49\cdot40}}}$
$=\sqrt{\sqrt{49}-\sqrt{40}}$
$=\sqrt{7-2\sqrt{10}}$
$=\boldsymbol{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$