絶対値と $\sqrt{A^2}$ の外し方
数と式(教科書範囲) ★
絶対値の外し方と，$\sqrt{A^2}$ の外し方を同時に扱います．
絶対値の定義
絶対値の定義
数直線上の原点と，座標が $a$ の距離を $\color{red}{|a|}$ と表し，$a$ の絶対値という．
※読み方は「ぜったいちエー」でもいいと思います．
$|a|$ は距離なので，中身の $a$ の値にかかわらず $0$ 以上です．これを踏まえ，絶対値を場合分けして外すことができます．
絶対値の外し方
絶対値の外し方
$\color{red}{|a|=\begin{cases} a \ \hspace{3mm} \ (a \geqq 0)\\ -a \ \ (a < 0) \end{cases}}$
※ $a=0$ のときは下に含ませてもOKです．
中身 $a$ が正ならそのまま外し，負ならば $-1$ 倍して外します．
例
$|5|=5$
$|-7|=7$
$|0|=0$
いずれも $0$ 以上になります．
$\sqrt{A^2}$ について
$\sqrt{A^2}$ について
$\color{red}{\sqrt{A^2}=|A|}$
ルートは中の数字に関わらず値が $0$ 以上です．$\sqrt{A^2}=A$ とすると，$A=-3$ などの負の数にしたときに適さないです．
$A > 0$ のときは，$\sqrt{A^2}=A$ でOKですが，$A < 0$ のとき，$\sqrt{A^2}=-A$ としないと不自然です．つまり
$\sqrt{A^2}=\begin{cases} A \ \hspace{3mm} \ (A \geqq 0)\\ -A \ \ (A < 0) \end{cases}$
となるので，右辺は絶対値を外したときの式ですね．
$\therefore \ \sqrt{A^2}=|A|$
例題と練習問題
例題
例題
次の式の値を求めよ．
(1) $|1-\sqrt{6}|+|2-\sqrt{6}|+|3-\sqrt{6}|$
(2) $\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}$
(3) $\sqrt{a^{2}b^{2}}$ $(a < 0，b > 0)$
(4) $|x-1|$
(5) $|x-1|+|x-3|$
講義
上にある公式を使います．
(4)は，$x-1$ が $0$ 以上か $0$ 未満か，つまり $x \geqq 1$ か $x < 0$ で場合分けをします．
(5)は，絶対値が2つありますので，正負の境目となる $x$ が2つ．つまり $x$ が $3$ 以上か，$1$ 以上 $3$ 未満か，$1$ 未満かで場合分けをします．
解答
(1) $\sqrt{6}=2.44949\cdots$ です(参照 ルートの暗記)．
$|1-\sqrt{6}|+|2-\sqrt{6}|+|3-\sqrt{6}|$
$=\color{red}{-1+\sqrt{6}}+\color{red}{(-2+\sqrt{6})}+3-\sqrt{6}$ ←中身が負なものは $-1$ 倍して外す
$=\boldsymbol{\sqrt{6}}$
(2)
$\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}$
$=|2-\sqrt{5}|$ ← $\sqrt{A^2}=|A|$
$=\boldsymbol{\sqrt{5}-2}$ ←中身が負なので $-1$ 倍して外す
※ $\sqrt{5}=2.236\cdots$ です
(3)
$\sqrt{a^{2}b^{2}}$
$=|ab|$ ← $\sqrt{A^2}=|A|$
$=\boldsymbol{-ab}$ ←中身が負なので $-1$ 倍して外す
(4)
(ⅰ) $x \geqq 1$ のとき
$|x-1|=\boldsymbol{x-1}$
(ⅱ) $x < 1$ のとき
$|x-1|=\boldsymbol{-x+1}$ ←中身が負なので $-1$ 倍して外す
(5)
(ⅰ) $x \geqq 3$ のとき
$|x-1|+|x-3|=x-1+x-3=\boldsymbol{2x-4}$
(ⅱ) $1 \leqq x < 3$ のとき
$|x-1|+|x-3|=x-1+\color{red}{(-x+3)}=\boldsymbol{2}$
(ⅲ) $x < 1$ のとき
$|x-1|+|x-3|=\color{red}{-x+1}+\color{red}{(-x+3)}=\boldsymbol{-2x+4}$
練習問題
練習
次の式の値を求めよ．
(1) $|2-2\sqrt{3}|+|3-2\sqrt{3}|+|4-2\sqrt{3}|$
(2) $\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}$
(3) $\sqrt{16x^{2}-32x+16}$
(4) $|2x+1|+|2x-1|$
(5) $\left|\dfrac{1}{2}|x-2|-1\right|$
練習の解答
(1) $2\sqrt{3}\fallingdotseq 3.46$ です(参照 ルートの暗記)．
$|2-2\sqrt{3}|+|3-2\sqrt{3}|+|4-2\sqrt{3}|$
$=\color{red}{-2+2\sqrt{3}}+\color{red}{(-3+2\sqrt{3})}+4-2\sqrt{3}$
$=\boldsymbol{-1+2\sqrt{3}}$
(2)
$\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}$
$=|\sqrt{3}-2|$
$=\boldsymbol{2-\sqrt{3}}$
(3)
$\sqrt{16x^{2}-32x+16}$
$=\sqrt{16(x-1)^{2}}$
$=4|x-1|$
(ⅰ) $x \geqq 1$ のとき
$\sqrt{16x^{2}-32x+16}=4|x-1|=\boldsymbol{4(x-1)}$
(ⅱ) $x < 1$ のとき
$\sqrt{16x^{2}-32x+16}=4|x-1|=\boldsymbol{4(-x+1)}$
(4)
(ⅰ) $x \geqq \dfrac{1}{2}$ のとき
$|2x+1|+|2x-1|=2x-1+2x-1=\boldsymbol{4x}$
(ⅱ) $-\dfrac{1}{2} \leqq x < \dfrac{1}{2}$ のとき
$|2x+1|+|2x-1|=2x+1+\color{red}{(-2x+1)}=\boldsymbol{2}$
(ⅲ) $x < -\dfrac{1}{2}$ のとき
$|2x+1|+|2x-1|=\color{red}{-2x-1}+\color{red}{(-2x+1)}=\boldsymbol{-4x}$
(5)
(ⅰ) $x \geqq 2$ のとき
$\left|\dfrac{1}{2}|x-2|-1\right|$
$=\left|\dfrac{1}{2}(x-2)-1\right|$
$=\left|\dfrac{1}{2}x-2\right|=\begin{cases} \boldsymbol{\dfrac{1}{2}x-2 \ \ (x\geqq 4)} \\ \boldsymbol{-\dfrac{1}{2}x+2 \ \ (2\leqq x < 4)}\end{cases}$
(ⅱ) $x < 2$ のとき
$\left|\dfrac{1}{2}|x-2|-1\right|$
$=\left|\dfrac{1}{2}(2-x)-1\right|$
$=\left|-\dfrac{1}{2}x\right|=\begin{cases} \boldsymbol{\dfrac{1}{2}x \ \ (0 < x < 2)} \\ \boldsymbol{-\dfrac{1}{2}x \ \ (x \leqq 0)}\end{cases}$