おいしい数学ホームへのリンク

絶対値と $\sqrt{A^2}$ の外し方

タイプ:教科書範囲 レベル: 


アイキャッチ

このページでは,絶対値の外し方と,$\sqrt{A^2}$ の外し方を同時に扱います.

後半では,今後のことを考えた演習問題を用意しました.





絶対値の定義

ポイント

絶対値の定義

数直線上の原点と,座標が $a$ の距離を $\color{red}{|a|}$ と表し,$a$ の絶対値という.

※読み方は「ぜったいちエー」でもいいと思います.英語だと "the absolute value of $a$ " です.


$|a|$ は距離なので,中身の $a$ の値にかかわらず $0$ 以上です.これを踏まえ,絶対値を場合分けして外すことができます.




絶対値の外し方

ポイント

絶対値の外し方

$\color{red}{|a|=\begin{cases} a \ \hspace{3mm} \ (a \geqq 0)\\ -a \ \ (a < 0) \end{cases}}$

※ $a=0$ のときは下に含ませてもOKです.


中身 $a$ が正ならそのまま外し,負ならば $-1$ 倍して外します.



$|5|=5$

$|-7|=7$

$|0|=0$

いずれも問答無用で $0$ 以上になります!




$\sqrt{A^2}$ について

ポイント

$\sqrt{A^2}$ について

$\color{red}{\sqrt{A^2}=|A|}$


$\sqrt{A^2}$ は2乗をして $A^2$ になる数ですが,ルートは中の数字に関わらず値が $\boldsymbol{0}$ 以上です.$\sqrt{A^2}=A$ とすると,$A=-3$ などの負の数にしたときに適さないです.

$A > 0$ のときは,$\sqrt{A^2}=A$ でOKですが,$A < 0$ のとき,$\sqrt{A^2}=-A$ としないと不自然です.つまり

$\sqrt{A^2}=\begin{cases} A \ \hspace{3mm} \ (A \geqq 0)\\ -A \ \ (A < 0) \end{cases}$

となるので,右辺は絶対値を外したときの式ですね.

$\therefore \ \sqrt{A^2}=|A|$




例題と練習問題

例題

例題

次の式の値を求めよ.

(1) $|1-\sqrt{6}|+|2-\sqrt{6}|+|3-\sqrt{6}|$

(2) $\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}$

(3) $\sqrt{a^{2}b^{2}}$ $(a < 0,b > 0)$

(4) $|x-1|$

(5) $|x-1|+|x-3|$


講義

上のポイントにある公式を使います.

(4)は,$x-1$ が $0$ 以上か $0$ 未満か,つまり $x \geqq 1$ か $x < 0$ で場合分けをします.

(5)は,絶対値が2つありますので,正負の境目となる $x$ が2つ.つまり $x$ が $3$ 以上か,$1$ 以上 $3$ 未満か,$1$ 未満かで場合分けをします.


解答

(1) $\sqrt{6}=2.44949\cdots$ です(参照 ルートの暗記).

 $|1-\sqrt{6}|+|2-\sqrt{6}|+|3-\sqrt{6}|$

$=\color{red}{-1+\sqrt{6}}+\color{red}{(-2+\sqrt{6})}+3-\sqrt{6}$ ←中身が負なものは $-1$ 倍して外す

$=\boldsymbol{\sqrt{6}}$


(2)

 $\sqrt{\left(2-\sqrt{5}\right)^2}$

$=|2-\sqrt{5}|$ ← $\sqrt{A^2}=|A|$

$=\boldsymbol{\sqrt{5}-2}$ ←中身が負なので $-1$ 倍して外す

※ $\sqrt{5}=2.236\cdots$ です


(3)

 $\sqrt{a^{2}b^{2}}$

$=|ab|$ ← $\sqrt{A^2}=|A|$

$=\boldsymbol{-ab}$ ←中身が負なので $-1$ 倍して外す


(4)

(ⅰ) $x \geqq 1$ のとき

 $|x-1|=\boldsymbol{x-1}$

(ⅱ) $x < 1$ のとき

 $|x-1|=\boldsymbol{-x+1}$ ←中身が負なので $-1$ 倍して外す


(5)

(ⅰ) $x \geqq 3$ のとき

 $|x-1|+|x-3|=x-1+x-3=\boldsymbol{2x-4}$

(ⅱ) $1 \leqq x < 3$ のとき

 $|x-1|+|x-3|=x-1+\color{red}{(-x+3)}=\boldsymbol{2}$

(ⅲ) $x < 1$ のとき

 $|x-1|+|x-3|=\color{red}{-x+1}+\color{red}{(-x+3)}=\boldsymbol{-2x+4}$



練習問題

練習

次の式の値を求めよ.

(1) $|2-2\sqrt{3}|+|3-2\sqrt{3}|+|4-2\sqrt{3}|$

(2) $\sqrt{\left(\sqrt{3}-2\right)^2}$

(3) $\sqrt{16x^{2}-32x+16}$

(4) $|2x+1|+|2x-1|$

(5) $\left|\dfrac{1}{2}|x-2|-1\right|$

練習の解答



ノートに戻る