三角関数の還元公式
三角比，三角関数(教科書範囲) ★★
数学Ⅰ，数学Ⅱ共通ページです．
三角比，三角関数の還元公式( $180^{\circ}-\theta$，$90^{\circ}-\theta$ 等の三角関数)を扱います．
還元公式は最終的には加法定理ですべて導けてしまいますが，そもそもは加法定理の証明に還元公式が必要です．
数学Ⅰの三角比を勉強中の方は1章と3章です．
三角関数の還元公式(数学Ⅰ)
今後 $\theta$ に対して，$180^{\circ}-\theta$ (補角)，$90^{\circ}-\theta$ (余角)等の三角関数(三角比)の値が知りたいときが多々あります．これらをまとめて還元公式(reduction formula)といいます．
例えば今後，正弦定理，加法定理等の証明に還元公式が必要で準備しなければいけません．
早速まず1つですが，$\theta$ と $180^{\circ}-\theta$ の角度の平均は $90^{\circ}$ になるので，これらは $\boldsymbol{y}$ 軸に関して対称だとわかります．
$180^{\circ}-\theta$ の三角関数
動径が $\theta$ の点を ${\rm P}(a,b)$ とおくと，動径が $180^{\circ}-\theta$ の点は $y$ 軸対称なので ${\rm Q}(-a,b)$ とおける．
三角関数の定義より，${\rm P}(\cos\theta,\sin\theta)$，${\rm Q}(\cos(180^{\circ}-\theta),\sin(180^{\circ}-\theta))$ と表せることから
$\boldsymbol{\sin(180^{\circ}-\theta)=\sin\theta}$
$\boldsymbol{\cos(180^{\circ}-\theta)=-\cos\theta}$
$\boldsymbol{\tan(180^{\circ}-\theta)=-\tan\theta}$
特に円に内接する四角形と絡めた問題でよく使用します．
続いて $90^{\circ}-\theta$ に関してですが，$\theta$ と $90^{\circ}-\theta$ の角度の平均は $45^{\circ}$ になるので，これらは直線 $\boldsymbol{y=x}$ に関して対称だとわかります．
$90^{\circ}-\theta$ の三角関数
動径が $\theta$ の点を ${\rm P}(a,b)$ とおくと，動径が $90^{\circ}-\theta$ の点は直線 $y=x$ に関して対称なので ${\rm Q}(b,a)$ とおける．
三角関数の定義より，${\rm P}(\cos\theta,\sin\theta)$，${\rm Q}(\cos(90^{\circ}-\theta),\sin(90^{\circ}-\theta))$ と表せることから
$\boldsymbol{\sin(90^{\circ}-\theta)=\cos\theta}$
$\boldsymbol{\cos(90^{\circ}-\theta)=\sin\theta}$
$\boldsymbol{\tan(90^{\circ}-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}}$
※ ${\rm Q}(b,a)$ となることを示す問題が直線に関して対称な点の練習問題にあります．
続いて $90^{\circ}+\theta$ に関してですが，$90^{\circ}-\theta$ と $90^{\circ}+\theta$ の角度の平均が $90^{\circ}$ になるので，これらは $\boldsymbol{y}$ 軸に関して対称だとわかります．つまり先程の図を利用するといいですね．
$90^{\circ}+\theta$ の三角関数
先程の点 ${\rm P}(a,b)$，点 ${\rm Q}(b,a)$ において．動径が $90^{\circ}+\theta$ の点は $\rm Q$ に関して $y$ 軸対称なので ${\rm R}(-b,a)$ とおける．
三角関数の定義より，${\rm P}(\cos\theta,\sin\theta)$，${\rm R}(\cos(90^{\circ}+\theta),\sin(90^{\circ}+\theta))$ と表せることから
$\boldsymbol{\sin(90^{\circ}+\theta)=\cos\theta}$
$\boldsymbol{\cos(90^{\circ}+\theta)=-\sin\theta}$
$\boldsymbol{\tan(90^{\circ}+\theta)=-\dfrac{1}{\tan\theta}}$
数学Ⅰではここまでが多いですが，上の公式等は暗記するのではなく図を使って導き出せるようにすることが大切です．
三角関数の還元公式(数学Ⅱ)
$\boldsymbol{\sin(\pi-\theta)=\sin\theta}$
$\boldsymbol{\cos(\pi-\theta)=-\cos\theta}$
$\boldsymbol{\tan(\pi-\theta)=-\tan\theta}$
$\boldsymbol{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\cos\theta}$
$\boldsymbol{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta}$
$\boldsymbol{\tan\left(\dfrac{\pi}{2}-\theta\right)=\dfrac{1}{\tan\theta}}$
$\boldsymbol{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos\theta}$
$\boldsymbol{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin\theta}$
$\boldsymbol{\tan\left(\dfrac{\pi}{2}+\theta\right)=-\dfrac{1}{\tan\theta}}$
これらは図からその都度導くか，加法定理学習後なら加法定理から導けるので暗記しないようにしましょう．
数学Ⅱでは $\theta$ を弧度法でかつ一般角まで広げて，もう少し追加します．
まず $\theta$ と $-\theta$ は(角度の平均が $0$ なので)，$\boldsymbol{x}$ 軸に関して対称だとわかります．
$-\theta$ の三角関数
動径が $\theta$ の点を ${\rm P}(a,b)$ とおくと，動径が $-\theta$ の点は $x$ 軸対称なので ${\rm Q}(a,-b)$ とおける．
三角関数の定義より，${\rm P}(\cos\theta,\sin\theta)$，${\rm Q}(\cos(-\theta),\sin(-\theta))$ と表せることから
$\boldsymbol{\sin(-\theta)=-\sin\theta}$
$\boldsymbol{\cos(-\theta)=\cos\theta}$
$\boldsymbol{\tan(-\theta)=-\tan\theta}$
※ これより $\sin\theta$，$\tan\theta$ は奇関数，$\cos\theta$ は偶関数とわかります．このページでは無視しても問題ないですが今後グラフを意識する上で重要です．
続いて $\theta$ と $\pi+\theta$ の角度の差は $\pi(180^{\circ})$ になるので，これらは原点に関して対称だとわかります．
$\pi+\theta$ の三角関数
動径が $\theta$ の点を ${\rm P}(a,b)$ とおくと，動径が $\pi+\theta$ の点は原点に関して対称なので ${\rm Q}(-a,-b)$ とおける．
三角関数の定義より，${\rm P}(\cos\theta,\sin\theta)$，${\rm Q}(\cos(\pi+\theta),\sin(\pi+\theta))$ と表せることから
$\boldsymbol{\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta}$
$\boldsymbol{\cos(\pi+\theta)=-\cos\theta}$
$\boldsymbol{\tan(\pi+\theta)=\tan\theta}$
さらに，1番わかりやすい還元公式を載せて終わりです．
$\theta+2n\pi$ の三角関数
動径が $\theta$ の点も，動径が $\theta+2n\pi$ ( $n$ は整数)の点も，単位円周上の位置が同じなので
$\boldsymbol{\sin(\theta+2n\pi)=\sin\theta}$
$\boldsymbol{\cos(\theta+2n\pi)=\cos\theta}$
$\boldsymbol{\tan(\theta+2n\pi)=\tan\theta}$
$n$ 回転しても位置が変わらないので明らかですね．
以上で一通り終わりです．
オリジナル教材にある三角関数公式連関表に還元公式もありますので，是非pdfを印刷してアウトプットできるか利用してみてください．
例題と練習問題(数学Ⅰ)
例題
例題
次の式を簡単にせよ．
(1) $\cos160^{\circ}+\cos140^{\circ}+\sin130^{\circ}+\sin110^{\circ}$
(2) $0^{\circ}\leqq \theta \leqq 90^{\circ}$ のとき，$\sin(180^{\circ}-\theta)+\sin(90^{\circ}+\theta)-\sin(90^{\circ}-\theta)-\cos(90^{\circ}-\theta)$
講義
還元公式を使ってひたすら簡単にしていきます．(1)のような場合，角度を小さくしていくとわかりやすいです．
解答
(1)
$\cos160^{\circ}+\cos140^{\circ}+\sin130^{\circ}+\sin110^{\circ}$
$=\cos(180^{\circ}-20^{\circ})+\cos(180^{\circ}-40^{\circ})+\sin(180^{\circ}-50^{\circ})+\sin(180^{\circ}-70^{\circ})$
$=-\cos20^{\circ}-\cos40^{\circ}+\sin50^{\circ}+\sin70^{\circ}$
$=-\cos20^{\circ}-\cos40^{\circ}+\sin(90^{\circ}-40^{\circ})+\sin(90^{\circ}-20^{\circ})$
$=-\cos20^{\circ}-\cos40^{\circ}+\cos40^{\circ}+\cos20^{\circ}$
$=\boldsymbol{0}$
(2)
$\sin(180^{\circ}-\theta)+\sin(90^{\circ}+\theta)-\sin(90^{\circ}-\theta)-\cos(90^{\circ}-\theta)$
$=\sin\theta+\cos\theta-\cos\theta-\sin\theta$
$=\boldsymbol{0}$
練習問題
練習
次の式を簡単にせよ．
(1) $(\sin 20^{\circ}+\cos 20^{\circ})^{2}+(\sin 110^{\circ}+\cos 110^{\circ})^{2}$
(2) $0^{\circ}\leqq \theta \leqq 90^{\circ}$ のとき，$\tan(90^{\circ}-\theta)\tan(180^{\circ}-\theta)$
練習の解答
(1)
$(\sin 20^{\circ}+\cos 20^{\circ})^{2}+(\sin 110^{\circ}+\cos 110^{\circ})^{2}$
$=1+2\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}+1+2\sin 110^{\circ}\cos 110^{\circ}$ ←相互関係
$=2+2\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}+2\sin (90^{\circ}+20^{\circ})\cos (90^{\circ}+20^{\circ})$
$=2+2\sin 20^{\circ}\cos 20^{\circ}+2\sin 20^{\circ}(-\cos 20^{\circ})$ ←還元公式
$=\boldsymbol{2}$
(2)
$\tan(90^{\circ}-\theta)\tan(180^{\circ}-\theta)$
$=\dfrac{1}{\tan\theta}(-\tan\theta)$ ←還元公式
$=\boldsymbol{-1}$
例題と練習問題(数学Ⅱ)
例題
例題
図のように単位円周上で動径が $\theta$ ( $\theta \neq \dfrac{k}{2}\pi$，$k$ は整数)の点を ${\rm P}_{1}(a,b)$ とおく．
(1) ${\rm P}_{2}$，${\rm P}_{5}$，${\rm P}_{6}$ の座標を $a$，$b$ で表せ．
(2) 角度が $\pi+\theta$ のときの三角関数の各値を，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ でそれぞれ表せ．
(3) 角度が $\dfrac{3}{2}\pi-\theta$ のときの三角関数の各値を，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ でそれぞれ表せ．
講義
還元公式は対称性を意識するとわかりやすいのでその練習として用意しました．
解答
(1)
${\rm P}_{2}$ $\boldsymbol{(b,a)}$，${\rm P}_{5}$ $\boldsymbol{(-a,-b)}$，${\rm P}_{6}$ $\boldsymbol{(-b,-a)}$
(2)
$a=\cos\theta$，$b=\sin\theta$ より，角度が $\pi+\theta$ の点は ${\rm P}_{5}$ なので(1)より
$\sin(\pi+\theta)=-b=\boldsymbol{-\sin\theta}$
$\cos(\pi+\theta)=-a=\boldsymbol{-\cos\theta}$
$\tan(\pi+\theta)=\dfrac{\sin(\pi+\theta)}{\cos(\pi+\theta)}=\dfrac{-\sin\theta}{-\cos\theta}=\boldsymbol{\tan\theta}$
(3)
$a=\cos\theta$，$b=\sin\theta$ より，角度が $\dfrac{3}{2}\pi-\theta$ の点は ${\rm P}_{6}$ なので(1)より
$\sin\left(\dfrac{3}{2}\pi-\theta\right)=-a=\boldsymbol{-\cos\theta}$
$\cos\left(\dfrac{3}{2}\pi-\theta\right)=-b=\boldsymbol{-\sin\theta}$
$\tan\left(\dfrac{3}{2}\pi-\theta\right)=\dfrac{\sin\left(\dfrac{3}{2}\pi-\theta\right)}{\cos\left(\dfrac{3}{2}\pi-\theta\right)}=\dfrac{-\cos\theta}{-\sin\theta}=\boldsymbol{\dfrac{1}{\tan\theta}}$
練習問題
練習
三角形 $\rm ABC$ において，$\angle{\rm BAC}=\alpha$，$\angle{\rm CBA}=\beta$，$\angle{\rm ACB}=\gamma$ とするとき，次の等式が成り立つことを示せ．
(1) $\sin(\alpha+\beta)=\sin\gamma$
(2) $\cos\dfrac{\alpha}{2}=\sin\dfrac{\beta+\gamma}{2}$