偶関数，奇関数の定積分
積分(数学Ⅱ，Ⅲ)(教科書範囲) ★★
数学Ⅱ，数学Ⅲ共通ページです．
偶関数，奇関数の定義と性質，そして定積分について扱います．
数学Ⅱは基本的に多項式関数を，数学Ⅲはすべての関数を扱います．
数学Ⅱの積分を勉強中の方は，3章までです．
偶関数，奇関数の定義と性質
偶関数，奇関数の定義
関数 $f(x)$ が任意の $x$ において
$\boldsymbol{f(-x)=f(x)}$
を満たすとき，$f(x)$ は偶関数といい
$\boldsymbol{f(-x)=-f(x)}$
を満たすとき，$f(x)$ は奇関数という．
偶関数であるものは例えば
$y=x^{n}$ ( $n$ は偶数)
$y=\cos x$
などがあり，奇関数であるものは例えば
$y=x^{n}$ ( $n$ は奇数)
$y=\sin x$
などがあります．
偶関数，奇関数の性質
偶関数の性質：グラフが $\boldsymbol{y}$ 軸に関して対称．
奇関数の性質：グラフが原点に関して対称．
定義から明らかです．
偶関数，奇関数の定積分と証明
偶関数，奇関数の定積分
(ⅰ) $f(x)$ が偶関数のとき
$\boldsymbol{\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=2\int_{0}^{a}f(x)\,dx}$
(ⅱ) $f(x)$ が奇関数のとき
$\boldsymbol{\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0}$
偶関数，奇関数の定積分の証明
途中までは偶関数，奇関数ともに同じです．
$\displaystyle \int_{-a}^{a}f(x)\,dx$
$\displaystyle =\int_{-a}^{0}f(x)\,dx+\int_{0}^{a}f(x)\,dx$
$\displaystyle =\int_{a}^{0}f(-t)(-1)\,dt+\int_{0}^{a}f(x)\,dx$ ← $x=-t$ で置換
$\displaystyle =\int_{0}^{a}f(-t)\,dt+\int_{0}^{a}f(x)\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{a}f(-x)\,dx+\int_{0}^{a}f(x)\,dx$ ←積分の文字変更
$=\begin{cases}{\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)\,dx+\int_{0}^{a}f(x)\,dx (f(x)は偶関数)\\ \displaystyle \int_{0}^{a}(-f(x))\,dx+\int_{0}^{a}f(x)\,dx (f(x)は奇関数)}\end{cases}$
$=\begin{cases}{\displaystyle 2\int_{0}^{a}f(x)\,dx (f(x)は偶関数)\\ \displaystyle 0 \hspace{16mm} (f(x)は奇関数)}\end{cases}$
積分範囲が上記のようになっていればラッキーで，楽に求められる公式です．
例題と練習問題(数学Ⅱ)
例題
例題
次の定積分を求めよ．
$\displaystyle \int_{-1}^{1}(x^{3}+3x^{2}+5x+1)\,dx$
講義
積分範囲を見ると偶関数，奇関数の定積分公式 が使えます．
$k$ を $0$ 以上の整数とすると
$\displaystyle \boldsymbol{\color{red}{\int_{-a}^{a}x^{2k}\,dx=2\int_{0}^{a}x^{2k}\,dx}}$
$\displaystyle \boldsymbol{\color{red}{\int_{-a}^{a}x^{2k+1}\,dx=0}}$
が成り立ちます．
解答
$\displaystyle \int_{-1}^{1}(x^{3}+3x^{2}+5x+1)\,dx$
$\displaystyle =2\int_{0}^{1}(3x^{2}+1)\,dx$ ←偶関数のみ残す
$\displaystyle =2\Bigl[x^{3}+x\Bigr]_{0}^{1}$
$=\boldsymbol{4}$
練習問題
練習1
次の定積分を求めよ．
$\displaystyle \int_{-2}^{2}(x+2)^{2}(x-3)\,dx$
練習1の解答
$\displaystyle \int_{-2}^{2}(x+2)^{2}(x-3)\,dx$
$\displaystyle =\int_{-2}^{2}(x^{3}+x^{2}-8x-12)\,dx$
$\displaystyle =2\int_{0}^{2}(x^{2}-12)\,dx$
$\displaystyle =2\left[\dfrac{1}{3}x^{3}-12x\right]_{0}^{2}$
$=\boldsymbol{-\dfrac{128}{3}}$
例題と練習問題(数学Ⅲ)
例題
例題
次の定積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}x\cos x\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{-1}^{1}\dfrac{x+1}{x^{2}+1}\,dx$
講義
その場で考えればいいですが
偶関数 $\times$ 偶関数 $=$ 偶関数
偶関数 $\times$ 奇関数 $=$ 奇関数
奇関数 $\times$ 奇関数 $=$ 偶関数
の関係に気をつけます．(2)は分けると奇関数，偶関数となります．
解答
(1)
$(-x)\cos(-x)=-x\cos x$ より $x\cos x$ は奇関数．
$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}x\cos x\,dx=\boldsymbol{0}$
(2)
$\dfrac{x+1}{x^{2}+1}=\dfrac{x}{x^{2}+1}+\dfrac{1}{x^{2}+1}$ とすると，$\dfrac{x}{x^{2}+1}$ は奇関数．$\dfrac{1}{x^{2}+1}$ は偶関数．
$\displaystyle \int_{-1}^{1}\dfrac{x+1}{x^{2}+1}\,dx$
$\displaystyle =\int_{-1}^{1}\left(\dfrac{x}{x^{2}+1}+\dfrac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx$
$\displaystyle =2\int_{0}^{1}\dfrac{1}{x^{2}+1}\,dx$
$\displaystyle =2\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\dfrac{1}{\tan^{2}\theta+1}\cdot\dfrac{1}{\cos^{2}\theta}\,d\theta$ ← $x=\tan\theta$ で置換
$\displaystyle =2\Bigl[\theta\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$=\boldsymbol{\dfrac{\pi}{2}}$
練習問題
練習2
次の積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}(x+1)\sin x\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{-1}^{1}x(x+e^{x}+e^{-x})\,dx$
練習2の解答
(1)
$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}(x+1)\sin x\,dx$
$\displaystyle =\int_{-\pi}^{\pi}(x\sin x+\sin x)\,dx$
$\displaystyle =2\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$
$\displaystyle =2\Bigl[x(-\cos x)+\sin x \Bigr]_{0}^{\pi}$
$=\boldsymbol{2\pi}$
(2)
$\displaystyle \int_{-1}^{1}x(x+e^{x}+e^{-x})\,dx$
$\displaystyle =\int_{-1}^{1}\{x^{2}+x(e^{x}+e^{-x})\}\,dx$
$\displaystyle =2\int_{0}^{1}x^{2}\,dx$ ← $x(e^{x}+e^{-x})$ は奇関数
$=\boldsymbol{\dfrac{2}{3}}$