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積分計算のパターンまとめ

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数Ⅱと数Ⅲの積分計算を教科書範囲から応用まで総整理します.

各ページに飛ぶためのリンクと対応する計算例を挙げていきます.



数Ⅱ積分計算のパターンまとめ

数Ⅱは多項式関数のみ扱います.

教科書範囲

不定積分

$\displaystyle \int_{}^{} \ (x^{2}+x+2)\,dx$

定積分

$\displaystyle \int_{0}^{1}(x^{2}+x+2)\,dx$

応用

偶関数,奇関数の定積分(数Ⅲと共通)

$\displaystyle \int_{-2}^{2}(x^{2}+x+2)\,dx$

絶対値付き関数の定積分(数Ⅲと共通)

$\displaystyle \int_{0}^{3}|x-1|\,dx$

1/6公式

$\displaystyle \int_{1}^{3}(x-1)(x-3)\,dx$

1/12公式(3次関数)

$\displaystyle \int_{1}^{3}(x-1)(x-3)^{2}\,dx$

$\displaystyle \int_{1}^{3}(x-1)^{2}(x-3)\,dx$

数Ⅲ積分計算のパターンまとめ

数Ⅲは不定積分と定積分の両方がある場合同一ページで扱います.

教科書範囲

基本的な関数の積分

$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{1}{x}\,dx$

置換積分

$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{x}{\sqrt{x-1}}\,dx$

部分積分

$\displaystyle \int_{}^{} \ x\sin x\,dx$

分数関数の積分

$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{5x-3}{2x^{2}-9x-5}\,dx$

三角関数の積分

$\displaystyle \int_{}^{} \ \sin 4x\sin 2x\,dx$

偶関数,奇関数の定積分(数Ⅱと共通)

$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}x\cos x\,dx$

絶対値付き関数の定積分(数Ⅱと共通)

$\displaystyle \int_{0}^{1}|e^{x}-2|\,dx$

応用

双曲線関数を使う積分

$\displaystyle \int_{}^{} \ \sqrt{x^{2}+1}\,dx$

第1種オイラー関数とベータ関数

$\displaystyle \int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}\,dx$

ウォリス積分

$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^{n}x\,dx$

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