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部分積分

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

部分積分の概念を証明も含めて説明します.

このページでは不定積分と定積分を同時に扱います.同形出現のタイプもすべて扱います.





部分積分とその証明

部分積分とは,2つの関数の積で構成された関数を積分する手段です.

$\displaystyle \int_{}^{} \ x \sin x\,dx$

上のような積分は,(微分は簡単ですが)積分をするのは難しく,それ用の公式が必要になります.


ポイント

部分積分

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{}^{} \ f(x)g(x)\,dx=f(x)G(x)-\int_{}^{} \ f'(x)G(x)\,dx}}$

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx=\Bigl[f(x)G(x)\Bigr]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'(x)G(x)\,dx}}$

※ $G(x)$ は $g(x)$ の原始関数( $G'(x)=g(x)$ ).


$f(x)$ は微分をし,$g(x)$ は積分することになるので,基本的には $f(x)$ は微分をして定数になるものを選びます.しかし $\log x$ が出てきたら,そちらを $f(x)$ に選びます.ここが唯一注意すべき点です.


証明

積の微分公式から生まれます.簡単なので理解しておくのがオススメです.

証明




部分積分の計算の主なタイプ

部分積分は主に3つのタイプに分かれます.


ポイント

部分積分の計算の主なタイプ

Ⅰ $\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{x}\,dx$

Ⅱ $\displaystyle \int_{}^{} \ x\log x\,dx$

Ⅲ $\displaystyle \int_{}^{} \ e^{x}\sin x\,dx$


Ⅰ 標準的なタイプで,微分をして定数になる方(今回は $x$ )を $f(x)$ にします.

Ⅱ $\log$ が入っているタイプです.$\log x$ の方を $f(x)$ にします.

Ⅲ どちらも微分をして定数にならないタイプです.検定教科書の発展になりますが入試ではよく出ます.どちらを $f(x)$ としても構いませんが,部分積分を2回繰り返すことにより解きます.よく,同形出現と呼ばれていて有名です.




例題と練習問題

例題

例題

次の積分を求めよ.

(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{x}\,dx$

(2) $\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$

(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ x\log x\,dx$

(4) $\displaystyle \int_{1}^{2}x^{2}\log x\,dx$

(5) $\displaystyle \int_{}^{} \ x^{2}e^{-x}\,dx$

(6) $\displaystyle \int_{}^{} \ e^{x}\sin x\,dx$


講義

(1)(2)標準的で,$x$ を $f(x)$ にします.

(3)(4) $\log x$ を $f(x)$ にします.

(5)部分積分が2回必要です.

(6)積分を $I$ などと文字でおき,部分積分を2回実行します.


解答

以下 $C$ は積分定数とする.

(1)

 $\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{x}\,dx$

$\displaystyle =xe^{x}-\int_{}^{} \ 1\cdot e^{x}\,dx$

$=\boldsymbol{xe^{x}-e^{x}+C}$


(2)

 $\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$

$\displaystyle =\Bigl[x(-\cos x)\Bigr]_{0}^{\pi}-\int_{0}^{\pi}1(-\cos x)\,dx$

$\displaystyle =\pi+\int_{0}^{\pi} \cos x\,dx$

$\displaystyle =\pi+\Bigl[\sin x \Bigr]_{0}^{\pi}$

$=\boldsymbol{\pi}$


(3)

 $\displaystyle \int_{}^{} \ x\log x\,dx$

$\displaystyle =\dfrac{x^2}{2}\log x-\int_{}^{} \ \dfrac{x^2}{2}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx$

$=\boldsymbol{\dfrac{x^2}{2}\log x-\dfrac{x^2}{4}+C}$


(4)

 $\displaystyle \int_{1}^{2}x^{2}\log x\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{x^3}{3}\log x\right]_{1}^{2}-\int_{1}^{2}\dfrac{x^3}{3}\cdot\dfrac{1}{x}\,dx$

$\displaystyle =\dfrac{8}{3}\log 2-\left[\dfrac{x^3}{9}\right]_{1}^{2}$

$=\boldsymbol{\dfrac{8}{3}\log 2-\dfrac{7}{9}}$


(5)

 $\displaystyle \int_{}^{} \ x^{2}e^{-x}\,dx$

$\displaystyle =x^{2}(-e^{x})-\int_{}^{} \ 2x(-e^{-x})\,dx$

$\displaystyle =-x^{2}e^{-x}+\int_{}^{} \ 2xe^{-x}\,dx$

$\displaystyle =-x^{2}e^{-x}+2x(-e^{-x})-\int_{}^{} \ 2(-e^{-x})\,dx$

$\displaystyle =-x^{2}e^{-x}-2xe^{-x}+\int_{}^{} \ 2e^{-x}\,dx$

$=\boldsymbol{-x^{2}e^{-x}-2xe^{-x}-2e^{-x}+C}$


(6)

$\displaystyle I=\int_{}^{} \ e^{x}\sin x\,dx$ とおく.

 $\displaystyle I$

$\displaystyle =e^{x}\sin x-\int_{}^{} \ e^{x}\cos x\,dx$

$\displaystyle =e^{x}\sin x-\left(e^{x}\cos x-\int_{}^{} \ e^{x}(-\sin x)\,dx\right)$

$\displaystyle =e^{x}\sin x-e^{x}\cos x-\int_{}^{} \ e^{x}\sin x\,dx$ ←同形出現

$\displaystyle =e^{x}(\sin x-\cos x)-I$

$\displaystyle 2I=e^{x}(\sin x-\cos x)$ だが,積分定数を入れて

$\boldsymbol{I=\dfrac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+C}$



練習問題

練習

次の積分を求めよ.

(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ xe^{-2x}\,dx$

(2) $\displaystyle \int_{0}^{\pi}x\sin 2x\,dx$

(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ \log x\,dx$

(4) $\displaystyle \int_{}^{} \ x^{2}\cos x\,dx$

(5) $\displaystyle \int_{1}^{2}x(\log x)^{2}\,dx$

(6) $\displaystyle \int_{0}^{\pi} \ e^{-x}\cos 2x\,dx$

練習の解答



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