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$\dfrac{1}{6}$ 公式

タイプ:入試の標準 レベル:★★ 


アイキャッチ

このページは $\dfrac{1}{6}$ 公式を知らない人が,概念やその主な使い道を理解し,一通り使いこなせるようになるまでを目的としたページです.





$\dfrac{1}{6}$ 公式

ポイント

$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式

$\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$

※ 公式の右辺にマイナスがついていることにご注意ください!


証明

 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$

$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)\,dx$

$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^{2}+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\}\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{3}(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\beta}+\left[\dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)(x-\alpha)^{2}\right]_{\alpha}^{\beta}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^{3}-\dfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^{3}$

$\displaystyle =-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$

※ 数学Ⅲの $\displaystyle \int_{}^{} \ (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C$ を使用

※ 検定教科書では工夫せずそのまま積分しています.

数Ⅲの部分積分での証明


正確には教科書の発展に含まれますが,入試ではセンター試験等でも容赦なく知っていることが前提で出題されます.結論として文系,理系関係なく数学受験する人は全員丸暗記することが望ましいです.




$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式とその主な面積での使い道

ポイント

$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式とその主な面積での使い道

(Ⅰ) 2次関数と1次関数で囲まれた面積

1/6公式と主な面積の出し方1

$\displaystyle \dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$


(Ⅱ) 2次関数どうしで囲まれた面積

1/6公式と主な面積の出し方2

$\displaystyle \dfrac{|a_{1}-a_{2}|}{6}(\beta-\alpha)^3$

※ 他にも3次関数とそれを平行移動したもので囲まれたもの等,探せば例があります.

(Ⅰ)と(Ⅱ)の証明


以上がセンター試験,私立,国立2次問わず頻繁に使う $\dfrac{1}{6}$ 公式の面積公式です.

非常に素早く解答できるので,マーク式や答えのみの形式で強力ですが,記述式ではこれを使わないで,$\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$ を使って解答するのが無難です.

なので面積公式は全員に暗記を推奨しているわけではありません.余裕がある人のみオススメです.




例題と練習問題

例題

例題

曲線 $y=x^{2}-2x-3$ と $y=-x^{2}+1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ.


講義

記述式を想定した解答を書きますが,マークor答えのみの形式についても言及します.


解答

交点は

$x^{2}-2x-3=-x^{2}+1$

$\Longleftrightarrow x^{2}-x-2=0$

$\therefore \ x=-1,2$

1/6公式例題

$\displaystyle S=\int_{-1}^{2}\{-x^{2}+1-(x^{2}-2x-3)\}\,dx$

 $\displaystyle =\int_{-1}^{2}(-2x^{2}+2x+4)\,dx$

 $\displaystyle =-2\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx$ ←$\dfrac{1}{6}$ 公式の形

 $\displaystyle =-2\color{red}{\boldsymbol{\left\{-\dfrac{1}{6}\{2-(-1)\}^{3}\right\}}}$

 $\displaystyle =\boldsymbol{9}$

※ マークor答えのみの形式の解答:$S=\dfrac{\left|1-(-1)\right|}{6}\left\{2-(-1)\right\}^{3}=\boldsymbol{9}$



練習問題

練習

(1) $y=\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+1$ と $y=\dfrac{1}{2}x-4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ.

(2) $y=x^{2}-ax+a^{2}$ と $y=-x^{2}+a$ が共有点を2つ持つとき,この2つの曲線で囲まれた部分の面積 $T$ を $a$ の式で表せ.また,その最大値を求めよ.

練習の解答



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