$\dfrac{1}{6}$ 公式
積分(数学Ⅱ)(入試の標準) ★★
$\dfrac{1}{6}$ 公式とそれを使った面積の求め方について扱います．
数学ⅡBを使って大学受験する上では，共通テスト，一般入試含めほぼ必須の重要公式です．
$\dfrac{1}{6}$ 公式
$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式
$\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$
※ 右辺にマイナスがついていることにご注意ください！
証明
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)\,dx$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^{2}+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\}\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{3}(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\beta}+\left[\dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)(x-\alpha)^{2}\right]_{\alpha}^{\beta}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^{3}-\dfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^{3}$
$\displaystyle =-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
※ 数学Ⅲの $\displaystyle \int_{}^{} \ (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C$ を使用
※ 検定教科書では工夫せずそのまま積分しています．
教科書の発展に含まれますが，入試では共通試験等でも知っていることが前提で出題されたりします．結論として数学受験する人は全員暗記することが望ましいです．
部分積分での証明
数学Ⅲ積分既習者は部分積分を使うとかなり簡単で，以下がメインの証明です．
部分積分での証明
部分積分での証明
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^{2}(x-\beta)\right]_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^{2}\,dx$
$\displaystyle =-\left[\dfrac{1}{6}(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\beta}$
$\displaystyle =-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
$\dfrac{1}{6}$ 公式の主な面積での使い道
$\dfrac{1}{6}$ 公式は主に以下の面積を出すシーンで途中過程として登場します．
共通テストやマーク式等でより速く出したい余裕がある人は，$\dfrac{1}{6}$ 公式を適用して得られた以下の結果(面積版の公式)を暗記していると強いです．
$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式(面積版)
Ⅰ $2$ 次関数と $1$ 次関数で囲まれた面積
$\displaystyle \dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$
Ⅱ $2$ 次関数どうしで囲まれた面積
$\displaystyle \dfrac{|a_{1}-a_{2}|}{6}(\beta-\alpha)^3$
※ 他にも $3$ 次関数とそれを平行移動したもので囲まれたもの等，探せば例があります．
Ⅰの証明
(ⅰ) $a > 0$ ( $2$ 次関数が下)のとき
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{1次関数 - (ax^{2}+bx+c)\}\,dx$
$\displaystyle =-a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
(ⅱ) $a <0$ ( $2$ 次関数が上)のとき
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{ax^{2}+bx+c - (1次関数)\}\,dx$
$\displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
以上より求める面積は $\displaystyle \dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$
Ⅱの証明
(ⅰ) $a_{1}-a_{2} > 0$ ( $y=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}$ が下)のとき
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2} - (a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})\}\,dx$
$\displaystyle =(a_{2}-a_{1})\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =\dfrac{a_{1}-a_{2}}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
(ⅱ) $a_{1}-a_{2} < 0$ ( $y=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}$ が下)のとき
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1} - (a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2})\}\,dx$
$\displaystyle =(a_{1}-a_{2})\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{a_{1}-a_{2}}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
以上より求める面積は $\displaystyle \dfrac{|a_{1}-a_{2}|}{6}(\beta-\alpha)^3$
例題と練習問題
例題
例題
曲線 $y=x^{2}-2x-3$ と $y=-x^{2}+1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．
講義
記述式を想定した解答を書きますが，マークor答えのみの形式についても言及します．
解答
交点は
$x^{2}-2x-3=-x^{2}+1$
$\Longleftrightarrow x^{2}-x-2=0$
$\therefore \ x=-1，2$
$\displaystyle S=\int_{-1}^{2}\{-x^{2}+1-(x^{2}-2x-3)\}\,dx$
$\displaystyle =\int_{-1}^{2}(-2x^{2}+2x+4)\,dx$
$\displaystyle =-2\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx$ ←$\dfrac{1}{6}$ 公式の形
$\displaystyle =-2\color{red}{\boldsymbol{\left\{-\dfrac{1}{6}\{2-(-1)\}^{3}\right\}}}$
$\displaystyle =\boldsymbol{9}$
※ マーク式or答えのみの形式の解答
交点を出して $\dfrac{1}{6}$ 公式(面積版)を使うと
$S=\dfrac{\left|1-(-1)\right|}{6}\left\{2-(-1)\right\}^{3}=\boldsymbol{9}$
練習問題
練習
(1) $y=\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+1$ と $y=\dfrac{1}{2}x-4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．
(2) $y=x^{2}-ax+a^{2}$ と $y=-x^{2}+a$ が共有点を2つ持つとき，この2つの曲線で囲まれた部分の面積 $T$ を $a$ の式で表せ．また，その最大値を求めよ．
解答 記述式を想定します．
(1)
交点は
$\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+1=\dfrac{1}{2}x-4$
$\Longleftrightarrow x^{2}-7x+10=0$
$\therefore x=2，5$
$\displaystyle S=\int_{2}^{5}\left\{\dfrac{1}{2}x-4-\left(\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+1\right)\right\}\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{1}{2}\int_{2}^{5}(x-2)(x-5)\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{1}{2}\left\{-\dfrac{1}{6}(5-2)^{3}\right\}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$
※ マーク式or答えのみの形式の解答
交点を出して $\dfrac{1}{6}$ 公式(面積版)を使うと
$S=\dfrac{\left|\frac{1}{2}\right|}{6}(5-2)^{3}=\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$
(2)
交点の $x$ 座標を $\alpha$，$\beta$ $(\alpha < \beta)$ とする．
$x^{2}-ax+a^{2}=-x^{2}+a$
$\displaystyle \ \Longleftrightarrow 2x^{2}-ax+a^{2}-a=0$
必要条件として
$D=a^{2}-8(a^{2}-a)=-7a^{2}+8a > 0$
$\therefore \ 0< a < \dfrac{8}{7}$
この上で
$\alpha=\dfrac{a-\sqrt{D}}{4}$，$\beta=\dfrac{a+\sqrt{D}}{4}$
$\displaystyle T=\int_{\alpha}^{\beta}\{-x^{2}+a-(x^{2}-ax+a^{2})\}\,dx$
$\displaystyle =-\int_{\alpha}^{\beta}(2x^{2}-ax+a^{2}-a)\,dx$
$\displaystyle =-2\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =-2\left\{-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}\right\}$
$=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\sqrt{D}}{2}\right)^{3}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\frac{1}{24}(-7a^{2}+8a)^{\frac{3}{2}}}$
$=\dfrac{1}{24}\left\{-7\left(a-\dfrac{4}{7}\right)^{2}+\dfrac{16}{7}\right\}^{\frac{3}{2}}$
$0< a < \dfrac{8}{7}$ より $a=\dfrac{4}{7}$ のとき，最大値は
$\dfrac{1}{24}\cdot\dfrac{64}{7\sqrt{7}}=\boldsymbol{\dfrac{8\sqrt{7}}{147}}$