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$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式とその主な活躍シーン

タイプ:入試の標準 レベル:★★ 


アイキャッチ

このページは $\dfrac{1}{6}$ 公式を知らない人が,概念やその主な使用場面を理解し,一通り使いこなせるようになるまでを目的としたページです.





$\dfrac{1}{6}$ 公式

数Ⅱの積分で,理系文系関係なく重要になる公式が $\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式です.

正確には教科書の発展に含まれますが,入試ではセンター試験等でも容赦なく知っていること前提で出題されます.結論として下の形で丸暗記することが望ましいです.



ポイント

$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式

$\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$


証明

 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$

$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)\,dx$

$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^{2}+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\}\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{3}(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\beta}+\left[\dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)(x-\alpha)^{2}\right]_{\alpha}^{\beta}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^{3}-\dfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^{3}$

$\displaystyle =-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$

※ 数学Ⅲの $\displaystyle \int_{}^{} \ (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C$ を使用

数Ⅲの部分積分での証明


公式の右辺にマイナスがついていることにご注意ください!




$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式の主な活躍シーン

$\dfrac{1}{6}$ 公式は2次式以下の関数で囲まれた面積を求めるときに使うことが多いです(面積以外でもよく使います).

1/6公式の活躍シーン1

1次関数と2次関数で囲まれた面積.


1/6公式の活躍シーン2

2次関数同士で囲まれた面積.



方針

基本は(上の関数) $-$ (下の関数)を積分して $\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$ を使って計算するのがミスなくオススメです.

慣れている人の場合はいきなり,$(面積)=\dfrac{|x^2 の係数の差|}{6}(\beta-\alpha)^3$ で計算するのが速いです.答えのみの問題でオススメです.




例題と練習問題

例題

例題

曲線 $y=x^{2}-2x-3$ と $y=-x^{2}+1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ.


講義

記述式を想定した解答を書きますが,答えのみの形式についても言及します.


解答

 交点は $x^{2}-2x-3=-x^{2}+1$

$\Longleftrightarrow 2x^{2}-2x-4=0$

$\Longleftrightarrow 2(x+1)(x-2)=0 \therefore x=-1,2$

1/6公式の活躍シーン例題

$\displaystyle S=\int_{-1}^{2}\{上-下\}\,dx$

 $\displaystyle =\int_{-1}^{2}\{-x^{2}+1-(x^{2}-2x-3)\}\,dx$

 $\displaystyle =\int_{-1}^{2}(-2x^{2}+2x+4)\,dx$

 $\displaystyle =-2\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx$ ←$\dfrac{1}{6}$ 公式の形

 $\displaystyle =-2$$\displaystyle \boldsymbol{\left\{-\dfrac{1}{6}\{2-(-1)\}^{3}\right\}}$

 $\displaystyle =\boldsymbol{9}$

※ 答えのみの形式で,慣れていればいきなり,$S=\dfrac{|x^2 の係数の差|}{6}(\beta-\alpha)^3=\dfrac{2}{6}\{2-(-1)\}^{3}=9$ で算出できます.



練習問題

練習

(1) $y=x^{2}-2x+3$ と $\displaystyle y=x+1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ.

(2) $y=x^{2}-2ax+a^{2}-2$ と $\displaystyle y=-x^{2}+a$ が共有点を2つ持つとき,この2つの曲線で囲まれた部分の面積 $T$ を求めよ.

練習の解答



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