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$\dfrac{1}{6}$ 公式

積分(数学Ⅱ)(入試の標準) ★★


アイキャッチ

$\dfrac{1}{6}$ 公式とそれを使った面積の求め方について扱います.

数学ⅡBを使って大学受験する上では,共通テスト,一般入試含めほぼ必須の重要公式です.



$\dfrac{1}{6}$ 公式

ポイント

$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式

$\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$

※ 右辺にマイナスがついていることにご注意ください!


教科書の発展に含まれますが,入試ではセンター試験等でも知っていることが前提で出題されたりします.結論として文系,理系関係なく数学受験する人は全員暗記することが望ましいです.

証明

証明

 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$

$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)\,dx$

$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^{2}+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\}\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{3}(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\beta}+\left[\dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)(x-\alpha)^{2}\right]_{\alpha}^{\beta}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^{3}-\dfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^{3}$

$\displaystyle =-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$

※ 数学Ⅲの $\displaystyle \int_{}^{} \ (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C$ を使用

※ 検定教科書では工夫せずそのまま積分しています.

部分積分での証明

数学Ⅲ積分既習者は部分積分を使うと簡単です.

部分積分での証明

部分積分での証明

 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^{2}(x-\beta)\right]_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^{2}\,dx$

$\displaystyle =-\left[\dfrac{1}{6}(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\beta}$

$\displaystyle =-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$

$\dfrac{1}{6}$ 公式の主な面積での使い道

$\dfrac{1}{6}$ 公式は主に以下の面積を出すシーンで途中過程として登場します.

共通テストやマーク式等でより速く出したい余裕がある人は,$\dfrac{1}{6}$ 公式を適用して得られた以下の結果(面積版の公式)を暗記していると強いです.

ポイント

$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式(面積版)

Ⅰ $2$ 次関数と $1$ 次関数で囲まれた面積

1/6公式と主な面積の出し方1

$\displaystyle \dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$


Ⅱ $2$ 次関数どうしで囲まれた面積

1/6公式と主な面積の出し方2

$\displaystyle \dfrac{|a_{1}-a_{2}|}{6}(\beta-\alpha)^3$

※ 他にも $3$ 次関数とそれを平行移動したもので囲まれたもの等,探せば例があります.

Ⅰの証明

(ⅰ) $a > 0$ ( $2$ 次関数が下)のとき

 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{1次関数 - (ax^{2}+bx+c)\}\,dx$

$\displaystyle =-a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$

$\displaystyle =\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^{3}$

(ⅱ) $a <0$ ( $2$ 次関数が上)のとき

 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{ax^{2}+bx+c - (1次関数)\}\,dx$

$\displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$

$\displaystyle =-\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^{3}$

以上より求める面積は $\displaystyle \dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$


Ⅱの証明

(ⅰ) $a_{1}-a_{2} > 0$ ( $y=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}$ が下)のとき

 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2} - (a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})\}\,dx$

$\displaystyle =(a_{2}-a_{1})\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$

$\displaystyle =\dfrac{a_{1}-a_{2}}{6}(\beta-\alpha)^{3}$

(ⅱ) $a_{1}-a_{2} < 0$ ( $y=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}$ が下)のとき

 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1} - (a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2})\}\,dx$

$\displaystyle =(a_{1}-a_{2})\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$

$\displaystyle =-\dfrac{a_{1}-a_{2}}{6}(\beta-\alpha)^{3}$

以上より求める面積は $\displaystyle \dfrac{|a_{1}-a_{2}|}{6}(\beta-\alpha)^3$


例題と練習問題

例題

例題

曲線 $y=x^{2}-2x-3$ と $y=-x^{2}+1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ.


講義

記述式を想定した解答を書きますが,マークor答えのみの形式についても言及します.


解答

交点は

$x^{2}-2x-3=-x^{2}+1$

$\Longleftrightarrow x^{2}-x-2=0$

$\therefore \ x=-1,2$

1/6公式例題

$\displaystyle S=\int_{-1}^{2}\{-x^{2}+1-(x^{2}-2x-3)\}\,dx$

 $\displaystyle =\int_{-1}^{2}(-2x^{2}+2x+4)\,dx$

 $\displaystyle =-2\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx$ ←$\dfrac{1}{6}$ 公式の形

 $\displaystyle =-2\color{red}{\boldsymbol{\left\{-\dfrac{1}{6}\{2-(-1)\}^{3}\right\}}}$

 $\displaystyle =\boldsymbol{9}$

※ マーク式or答えのみの形式の解答

交点を出して $\dfrac{1}{6}$ 公式(面積版)を使うと

$S=\dfrac{\left|1-(-1)\right|}{6}\left\{2-(-1)\right\}^{3}=\boldsymbol{9}$

練習問題

練習

(1) $y=\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+1$ と $y=\dfrac{1}{2}x-4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ.

(2) $y=x^{2}-ax+a^{2}$ と $y=-x^{2}+a$ が共有点を2つ持つとき,この2つの曲線で囲まれた部分の面積 $T$ を $a$ の式で表せ.また,その最大値を求めよ.

解答 記述式を想定します.

(1)

交点は

$\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+1=\dfrac{1}{2}x-4$

$\Longleftrightarrow x^{2}-7x+10=0$

$\therefore x=2,5$

1/6公式の活躍シーン練習問題

$\displaystyle S=\int_{2}^{5}\left\{\dfrac{1}{2}x-4-\left(\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+1\right)\right\}\,dx$

 $\displaystyle =-\dfrac{1}{2}\int_{2}^{5}(x-2)(x-5)\,dx$

 $\displaystyle =-\dfrac{1}{2}\left\{-\dfrac{1}{6}(5-2)^{3}\right\}$

 $\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$

※ マーク式or答えのみの形式の解答

交点を出して $\dfrac{1}{6}$ 公式(面積版)を使うと

$S=\dfrac{\left|\frac{1}{2}\right|}{6}(5-2)^{3}=\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$


(2)

交点の $x$ 座標を $\alpha$,$\beta$ $(\alpha < \beta)$ とする.

$x^{2}-ax+a^{2}=-x^{2}+a$

$\displaystyle \ \Longleftrightarrow 2x^{2}-ax+a^{2}-a=0$

必要条件として

$D=a^{2}-8(a^{2}-a)=-7a^{2}+8a > 0$

$\therefore \ 0< a < \dfrac{8}{7}$

この上で

$\alpha=\dfrac{a-\sqrt{D}}{4}$,$\beta=\dfrac{a+\sqrt{D}}{4}$

1/6公式の活躍シーン練習問題2

$\displaystyle T=\int_{\alpha}^{\beta}\{-x^{2}+a-(x^{2}-ax+a^{2})\}\,dx$

 $\displaystyle =-\int_{\alpha}^{\beta}(2x^{2}-ax+a^{2}-a)\,dx$

 $\displaystyle =-2\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$

 $\displaystyle =-2\left\{-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}\right\}$

 $=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\sqrt{D}}{2}\right)^{3}$

 $\displaystyle =\boldsymbol{\frac{1}{24}(-7a^{2}+8a)^{\frac{3}{2}}}$

 $=\dfrac{1}{24}\left\{-7\left(a-\dfrac{4}{7}\right)^{2}+\dfrac{16}{7}\right\}^{\frac{3}{2}}$

$0< a < \dfrac{8}{7}$ より $a=\dfrac{4}{7}$ のとき,最大値は

$\dfrac{1}{24}\cdot\dfrac{64}{7\sqrt{7}}=\boldsymbol{\dfrac{8\sqrt{7}}{147}}$