$\dfrac{1}{6}$ 公式
積分(数学Ⅱ)(入試の標準) ★★
$\dfrac{1}{6}$ 公式とそれを使った面積の求め方について扱います．
数学ⅡBを使って大学受験する上では，共通テスト，一般入試含めほぼ必須の重要公式です．
$\dfrac{1}{6}$ 公式
ポイント
$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式
$\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$
※ 右辺にマイナスがついていることにご注意ください！
教科書の発展に含まれますが，入試ではセンター試験等でも知っていることが前提で出題されたりします．結論として文系，理系関係なく数学受験する人は全員暗記することが望ましいです．
証明
証明
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\alpha+\alpha-\beta)\,dx$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^{2}+(\alpha-\beta)(x-\alpha)\}\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{3}(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\beta}+\left[\dfrac{1}{2}(\alpha-\beta)(x-\alpha)^{2}\right]_{\alpha}^{\beta}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)^{3}-\dfrac{1}{2}(\beta-\alpha)^{3}$
$\displaystyle =-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
※ 数学Ⅲの $\displaystyle \int_{}^{} \ (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{1}{a}\cdot \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C$ を使用
※ 検定教科書では工夫せずそのまま積分しています．
部分積分での証明
数学Ⅲ積分既習者は部分積分を使うと簡単です．
部分積分での証明
部分積分での証明
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^{2}(x-\beta)\right]_{\alpha}^{\beta}-\int_{\alpha}^{\beta}\dfrac{1}{2}(x-\alpha)^{2}\,dx$
$\displaystyle =-\left[\dfrac{1}{6}(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\beta}$
$\displaystyle =-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
$\dfrac{1}{6}$ 公式の主な面積での使い道
$\dfrac{1}{6}$ 公式は主に以下の面積を出すシーンで途中過程として登場します．
共通テストやマーク式等でより速く出したい余裕がある人は，$\dfrac{1}{6}$ 公式を適用して得られた以下の結果(面積版の公式)を暗記していると強いです．
ポイント
$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式(面積版)
Ⅰ $2$ 次関数と $1$ 次関数で囲まれた面積
$\displaystyle \dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$
Ⅱ $2$ 次関数どうしで囲まれた面積
$\displaystyle \dfrac{|a_{1}-a_{2}|}{6}(\beta-\alpha)^3$
※ 他にも $3$ 次関数とそれを平行移動したもので囲まれたもの等，探せば例があります．
Ⅰの証明
(ⅰ) $a > 0$ ( $2$ 次関数が下)のとき
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{1次関数 - (ax^{2}+bx+c)\}\,dx$
$\displaystyle =-a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
(ⅱ) $a <0$ ( $2$ 次関数が上)のとき
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{ax^{2}+bx+c - (1次関数)\}\,dx$
$\displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{a}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
以上より求める面積は $\displaystyle \dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3$
Ⅱの証明
(ⅰ) $a_{1}-a_{2} > 0$ ( $y=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}$ が下)のとき
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2} - (a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1})\}\,dx$
$\displaystyle =(a_{2}-a_{1})\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =\dfrac{a_{1}-a_{2}}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
(ⅱ) $a_{1}-a_{2} < 0$ ( $y=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}$ が下)のとき
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1} - (a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2})\}\,dx$
$\displaystyle =(a_{1}-a_{2})\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{a_{1}-a_{2}}{6}(\beta-\alpha)^{3}$
以上より求める面積は $\displaystyle \dfrac{|a_{1}-a_{2}|}{6}(\beta-\alpha)^3$
例題と練習問題
例題
例題
曲線 $y=x^{2}-2x-3$ と $y=-x^{2}+1$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．
講義
記述式を想定した解答を書きますが，マークor答えのみの形式についても言及します．
解答
交点は
$x^{2}-2x-3=-x^{2}+1$
$\Longleftrightarrow x^{2}-x-2=0$
$\therefore \ x=-1，2$
$\displaystyle S=\int_{-1}^{2}\{-x^{2}+1-(x^{2}-2x-3)\}\,dx$
$\displaystyle =\int_{-1}^{2}(-2x^{2}+2x+4)\,dx$
$\displaystyle =-2\int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx$ ←$\dfrac{1}{6}$ 公式の形
$\displaystyle =-2\color{red}{\boldsymbol{\left\{-\dfrac{1}{6}\{2-(-1)\}^{3}\right\}}}$
$\displaystyle =\boldsymbol{9}$
※ マーク式or答えのみの形式の解答
交点を出して $\dfrac{1}{6}$ 公式(面積版)を使うと
$S=\dfrac{\left|1-(-1)\right|}{6}\left\{2-(-1)\right\}^{3}=\boldsymbol{9}$
練習問題
練習
(1) $y=\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+1$ と $y=\dfrac{1}{2}x-4$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．
(2) $y=x^{2}-ax+a^{2}$ と $y=-x^{2}+a$ が共有点を2つ持つとき，この2つの曲線で囲まれた部分の面積 $T$ を $a$ の式で表せ．また，その最大値を求めよ．
解答 記述式を想定します．
(1)
交点は
$\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+1=\dfrac{1}{2}x-4$
$\Longleftrightarrow x^{2}-7x+10=0$
$\therefore x=2，5$
$\displaystyle S=\int_{2}^{5}\left\{\dfrac{1}{2}x-4-\left(\dfrac{1}{2}x^{2}-3x+1\right)\right\}\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{1}{2}\int_{2}^{5}(x-2)(x-5)\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{1}{2}\left\{-\dfrac{1}{6}(5-2)^{3}\right\}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$
※ マーク式or答えのみの形式の解答
交点を出して $\dfrac{1}{6}$ 公式(面積版)を使うと
$S=\dfrac{\left|\frac{1}{2}\right|}{6}(5-2)^{3}=\boldsymbol{\dfrac{9}{4}}$
(2)
交点の $x$ 座標を $\alpha$，$\beta$ $(\alpha < \beta)$ とする．
$x^{2}-ax+a^{2}=-x^{2}+a$
$\displaystyle \ \Longleftrightarrow 2x^{2}-ax+a^{2}-a=0$
必要条件として
$D=a^{2}-8(a^{2}-a)=-7a^{2}+8a > 0$
$\therefore \ 0< a < \dfrac{8}{7}$
この上で
$\alpha=\dfrac{a-\sqrt{D}}{4}$，$\beta=\dfrac{a+\sqrt{D}}{4}$
$\displaystyle T=\int_{\alpha}^{\beta}\{-x^{2}+a-(x^{2}-ax+a^{2})\}\,dx$
$\displaystyle =-\int_{\alpha}^{\beta}(2x^{2}-ax+a^{2}-a)\,dx$
$\displaystyle =-2\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =-2\left\{-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^{3}\right\}$
$=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{\sqrt{D}}{2}\right)^{3}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\frac{1}{24}(-7a^{2}+8a)^{\frac{3}{2}}}$
$=\dfrac{1}{24}\left\{-7\left(a-\dfrac{4}{7}\right)^{2}+\dfrac{16}{7}\right\}^{\frac{3}{2}}$
$0< a < \dfrac{8}{7}$ より $a=\dfrac{4}{7}$ のとき，最大値は
$\dfrac{1}{24}\cdot\dfrac{64}{7\sqrt{7}}=\boldsymbol{\dfrac{8\sqrt{7}}{147}}$