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ベータ関数

数学Ⅲ既習者(難関大対策) ★★★★

アイキャッチ

ベータ関数について高校範囲内で扱います.

背景知識としてあると有利なぐらいなので,余裕のある難関大志望者向けです.

積分ガチャ

ベータ関数

ベータ関数

$m$,$n$ は $0$ 以上の整数として

ベータ関数(一般化)に $\alpha=0$,$\beta=1$ とすると

$\displaystyle \boldsymbol{\int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}\,dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}}$

上の積分( $m$,$n$ の2変数関数)をベータ関数という.


証明

$B(m,n)=\displaystyle \int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}\,dx$ とおく.

 $B(m,n)$

$=\displaystyle \int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}\,dx$

$=\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{x^{m+1}}{m+1}\right)'(1-x)^{n}\,dx$

$=\displaystyle \left[\frac{x^{m+1}}{m+1}(1-x)^{n}\right]_{0}^{1}- \int_{0}^{1}\frac{x^{m+1}}{m+1}(-n)(1-x)^{n-1}\,dx$ ←部分積分

$=\displaystyle \frac{n}{m+1}\int_{0}^{1}x^{m+1}(1-x)^{n-1}\,dx$

$=\displaystyle \frac{n}{m+1} B(m+1,n-1)$ ←積分漸化式

$=\displaystyle \frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2} B(m+2,n-2)$

$=\displaystyle \frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2}\cdots \frac{1}{m+n} B(m+n,0)$

$=\displaystyle \frac{m!n!}{(m+n)!} \int_{0}^{1}x^{m+n}\,dx$

$=\displaystyle \frac{m!n!}{(m+n+1)!}$

※ 下の例題のように変数変換で示すのももう1つの方法です.


大学1年の微積分でガンマ関数と共に登場する重要な積分で,統計学(ベータ分布など)でも応用機会があり重要です.

大学では $p>0$,$q>0$ として,

$\displaystyle B(p,q)=\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}\,dx=\frac{(p-1)!(q-1)!}{(p+q-1)!}$

としていることが多いですが,$p<1$ または $q<1$ だと広義積分といって高校範囲外になってしまいます.そのため大学受験では1番上のように高校範囲に制限した積分になっていることが多いです.

積分の結果は基本的には覚える必要はなく,上のように積分漸化式を作って導けることが重要です

ベータ関数(一般化)と面積を求める問題への応用

ベータ関数(一般化)

$m$,$n$ は $0$ 以上の整数として

$\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m}(\beta-x)^{n}\,dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}}$


証明

$I(m,n)=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m}(\beta-x)^{n}\,dx$ とおく.

$=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\left\{\frac{(x-\alpha)^{m+1}}{m+1}\right\}'(\beta-x)^{n}\,dx$

$=\displaystyle \left[\frac{(x-\alpha)^{m+1}}{m+1}(\beta-x)^{n}\right]_{\alpha}^{\beta}- \int_{\alpha}^{\beta}\frac{(x-\alpha)^{m+1}}{m+1}n(\beta-x)^{n-1}\,dx$ ←部分積分

$\displaystyle =\frac{n}{m+1}\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m+1}(\beta-x)^{n-1}\,dx$

$=\dfrac{n}{m+1} I(m+1,n-1)$ ←積分漸化式

$=\dfrac{n}{m+1}\cdot\dfrac{n-1}{m+2} I(m+2,n-2)$

$=\dfrac{n}{m+1}\cdot\dfrac{n-1}{m+2}\cdots\dfrac{1}{m+n} I(m+n,0)$

$\displaystyle =\frac{n!}{(m+1)(m+2)\cdots(m+n)} \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m+n}\,dx$

$=\dfrac{m!n!}{(m+n)!} \cdot \dfrac{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}{m+n+1}$

$=\dfrac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$

前章の証明と同様です.

※ 下の例題のように変数変換で示すのももう1つの方法です.


前章のベータ関数を一般化した式です.つまり,こちらの積分に $\alpha=0$,$\beta=1$ とした特殊な場合が前章のベータ関数になります.

1/6公式1/12公式(3次関数),つまり曲線(多項式関数)で囲まれた面積を求める積分の一般化となる式でもあります.この結果を覚えておくと下記の面積の答えのみ求めさせる問題で対応が楽ですが,上のように積分漸化式を作って導けることが重要です.

面積への応用

例えば以下のように,多項式関数で囲まれた部分の面積の求値に有効です.

(Ⅰ)

(ⅰ) 2次関数と直線 (1/6公式)

2次関数と直線

(ⅱ) 2次関数同士 (1/6公式)

2次関数同士

ベータ関数(一般化)に $m=n=1$ とおいて使う.


(Ⅱ)

(ⅰ) 3次関数と接線 (1/12公式(3次関数))

3次関数と接線

ベータ関数(一般化)に $m=2$,$n=1$ または $m=1$,$n=2$ とおいて使う(上の図の場合は $\alpha$ で接しているので $m=2$,$n=1$ ).

(ⅱ) 3次関数と接する2次関数 (1/12公式(3次関数))

3次関数と接する2次関数

ベータ関数(一般化)に $m=2$,$n=1$ または $m=1$,$n=2$ とおいて使う(上の図の場合は $\beta$ で接しているので $m=1$,$n=2$ ).


(Ⅲ) 4次関数と複接線(二重接線)

4次関数と複接線(二重接線)

ベータ関数(一般化)に $m=2$,$n=2$ とおいて使う.

例題と練習問題

例題

例題

負でない整数 $m$,$n$ に対し,

$\displaystyle B(m,n)=\int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}\,dx$

と定義する.

(1) $B(3,2)$ を求めよ.

(2) $B(m,n)$ を $B(m+1,n-1)$ を使って表せ.(ただし $n\geqq1$ とする)

(3) $B(m,n)$ を求めよ.

(4) $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m}(x-\beta)^{n}\,dx$ を求めよ.

(2015横浜市立大(国際総合科学))


解答

(2),(3)を先に求める.

(2)

 $B(m,n)$

$=\displaystyle \int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}\,dx$

$=\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{x^{m+1}}{m+1}\right)'(1-x)^{n}\,dx$

$=\displaystyle \left[\frac{x^{m+1}}{m+1}(1-x)^{n}\right]_{0}^{1}- \int_{0}^{1}\frac{x^{m+1}}{m+1}(-n)(1-x)^{n-1}\,dx$

$=\displaystyle \frac{n}{m+1}\int_{0}^{1}x^{m+1}(1-x)^{n-1}\,dx$

$=\displaystyle \boldsymbol{\frac{n}{m+1} B(m+1,n-1)}$


(3)

 $B(m,n)$

$=\displaystyle \frac{n}{m+1} B(m+1,n-1)$

$=\displaystyle \frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2} B(m+2,n-2)$

$=\displaystyle \frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2}\cdots \frac{1}{m+n} B(m+n,0)$

$=\displaystyle \frac{m!n!}{(m+n)!} \int_{0}^{1}x^{m+n}\,dx$

$=\displaystyle \boldsymbol{\frac{m!n!}{(m+n+1)!}}$


(1)

 $B(3,2)=\dfrac{3!2!}{6!}=\boldsymbol{\dfrac{1}{60}}$


(4)

$\displaystyle B(m,n)=\int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}\,dx$ で $t=(\beta-\alpha)x+\alpha \Longleftrightarrow x=\dfrac{t-\alpha}{\beta-\alpha}$ と置き換えると

 $\displaystyle \int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}\,dx$

$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}\left(\dfrac{t-\alpha}{\beta-\alpha}\right)^{m}\left(1-\dfrac{t-\alpha}{\beta-\alpha}\right)^{n}\dfrac{1}{\beta-\alpha}\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{1}{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}\int_{\alpha}^{\beta}\left({t-\alpha}\right)^{m}\left(\beta-t\right)^{n}\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{(-1)^{n}}{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}\int_{\alpha}^{\beta}\left({t-\alpha}\right)^{m}\left(t-\beta\right)^{n}\,dt$

$\displaystyle =\dfrac{(-1)^{n}}{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}\int_{\alpha}^{\beta}\left({x-\alpha}\right)^{m}\left(x-\beta\right)^{n}\,dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$

$\displaystyle \therefore \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m}(x-\beta)^{n}\,dx=\boldsymbol{\frac{(-1)^{n}m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}}$

※ もちろんベータ関数(一般化)の証明にあるように1から部分積分して積分漸化式を作ってもいいと思います.

練習問題

練習1

$\displaystyle \int_{0}^{1}x^{3}(1-x^2)^{8}\,dx$ を求めよ(答えのみでよい).


練習2

$y=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+\dfrac{9}{2}x$ とその複接線(二重接線)で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ(答えのみでよい).

練習1の解答 出典:2017東海大医学部1日目

$x^2=t$と置き換えると,$2xdx=dt$.

 $\displaystyle \int_{0}^{1}x^{3}(1-x^2)^{8}\,dx$

$\displaystyle =\int_{0}^{1}t(1-t)^{8}\frac{1}{2}\,dt$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}t^{1}(1-t)^{8}\,dt \ \ \cdots$ ☆

$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot$$\dfrac{1!8!}{10!}$ ←ベータ関数

$\displaystyle =\boldsymbol{\frac{1}{180}}$

※ 記述式の場合は,☆で部分積分1回で解くのがいいと思います.


練習2の解答

複接線を $y=mx+n$,接点の $x$ 座標を $\alpha$,$\beta$ ( $\alpha < \beta$ )とおくと

$x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+\dfrac{9}{2}x=mx+n$

$x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+\dfrac{9}{2}x-(mx+n)=(x-\alpha)^{2}(x-\beta)^{2}=0$

とできるので,解と係数の関係より

$\begin{cases}2\alpha+2\beta=2 \\ \alpha^{2}+4\alpha\beta+\beta^{2}=-3 \\ 2\alpha^{2}\beta+2\alpha\beta^{2}=-\dfrac{9}{2}+m \\ \alpha^{2}\beta^{2}=-n\end{cases}$

$\Longleftrightarrow \begin{cases}\alpha+\beta=1 \\ (\alpha+\beta)^{2}+2\alpha\beta=-3 \\ 2\alpha\beta(\alpha+\beta)=-\dfrac{9}{2}+m \\ \alpha^{2}\beta^{2}=-n\end{cases}$

こららを解くと,$\alpha=-1$,$\beta=2$,$m=\dfrac{1}{2}$,$n=-4$

4次関数と複接線(二重接線)練習

求める面積は

 $\displaystyle \int_{-1}^{2}\left\{x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+\dfrac{9}{2}x-(mx+n)\right\}\,dx$

$\displaystyle =\int_{-1}^{2}(x+1)^{2}(x-2)^{2}\,dx$

$\displaystyle =\int_{-1}^{2}(x+1)^{2}(2-x)^{2}\,dx$

$\displaystyle =$$\dfrac{2!2!}{5!}\left\{2-(-1)\right\}^{5}$ ←ベータ関数(一般化)

$=\boldsymbol{\dfrac{81}{10}}$

※ 記述式の場合は,ベータ関数(一般化)の結果を導くのがいいですね.これらの積分はweb版積分ガチャ,特にアプリ版積分ガチャで多く練習できます.