第1種オイラー積分とベータ関数
数学Ⅲ既習者(難関大対策) ★★★★
第1種オイラー積分とその応用の仕方，それから特殊ケースであるベータ関数について扱います．
背景知識としてあると有利なぐらいなので，余裕のある難関大志望者向けです．
第1種オイラー積分と面積を求める問題への応用
第1種オイラー積分
$m$，$n$ は $0$ 以上の整数として
$\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m}(x-\beta)^{n}\,dx=\frac{(-1)^{n}m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}}$
証明
$I(m,n)=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m}(x-\beta)^{n}\,dx$ とおく．
$=\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\left\{\frac{(x-\alpha)^{m+1}}{m+1}\right\}'(x-\beta)^{n}\,dx$
$=\displaystyle \left[\frac{(x-\alpha)^{m+1}}{m+1}(x-\beta)^{n}\right]_{\alpha}^{\beta}- \int_{\alpha}^{\beta}\frac{(x-\alpha)^{m+1}}{m+1}n(x-\beta)^{n-1}\,dx$ ←部分積分
$=\displaystyle -\frac{n}{m+1}\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m+1}(x-\beta)^{n-1}\,dx$
$=\displaystyle -\frac{n}{m+1} I(m+1,n-1)$
$=\displaystyle \left(-\frac{n}{m+1}\right)\left(-\frac{n-1}{m+2}\right) I(m+2,n-2)$
$=\displaystyle \left(-\frac{n}{m+1}\right)\left(-\frac{n-1}{m+2}\right)\cdots\left(-\dfrac{1}{m+n}\right) I(m+n,0)$
$=\displaystyle \frac{(-1)^{n}n!}{(m+1)(m+2)\cdots(m+n)} \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m+n}\,dx$
$=\dfrac{(-1)^{n}m!n!}{(m+n)!} \cdot \dfrac{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}{m+n+1}$
$=\dfrac{(-1)^{n}m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$
※ 下の例題のようにベータ関数を示してから変数変換で示すのももう1つの方法です．
証明は部分積分と積分漸化式がキーとなります．
1/6公式や1/12公式(3次関数)，つまり曲線(多項式関数)で囲まれた面積の一般化となる式です．これ自体を覚えておくと多くの状況に対応できます(覚えることを推奨しているわけではありません)．
面積への応用
例えば以下のように，多項式関数で囲まれた部分の面積の求値に有効です．
(Ⅰ)
(ⅰ) 2次関数と直線 (1/6公式)
(ⅱ) 2次関数同士 (1/6公式)
第1種オイラー積分に $m=n=1$ とおいて使う．
(Ⅱ)
(ⅰ) 3次関数と接線 (1/12公式(3次関数))
第1種オイラー積分に $m=2$，$n=1$ または $m=1$，$n=2$ とおいて使う(上の図の場合は $\alpha$ で接しているので $m=2$，$n=1$ )．
(ⅱ) 3次関数と接する2次関数 (1/12公式(3次関数))
第1種オイラー積分に $m=2$，$n=1$ または $m=1$，$n=2$ とおいて使う(上の図の場合は $\beta$ で接しているので $m=1$，$n=2$ )．
(Ⅲ) 4次関数と複接線(二重接線)
第1種オイラー積分に $m=2$，$n=2$ とおいて使う．
ベータ関数
ベータ関数
上の第1種オイラー積分を両辺 $(-1)^{n}$ で割ると
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m}(\beta-x)^{n}\,dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}$
となるので，これに $\alpha=0$，$\beta=1$ とすると
$\displaystyle \boldsymbol{\int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}\,dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}}$
これが特にベータ関数と呼ばれる．
ベータ関数も第1種オイラー積分なので，証明は同様で下の例題で取り上げます．
大学の微積分でガンマ関数との関連や，統計学(ベータ分布など)で応用機会があり重要です．
ちなみに大学では $m>-1$，$n>-1$ の整数についてまで拡張して考えますが，当サイトは基本的には高校数学がメインなのでこの事項については割愛します．
例題と練習問題
例題
例題
負でない整数 $m$，$n$ に対し，
$\displaystyle B(m,n)=\int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}\,dx$
と定義する．
(1) $B(3,2)$ を求めよ．
(2) $B(m,n)$ を $B(m+1,n-1)$ を使って表せ．(ただし $n\geqq1$ とする)
(3) $B(m,n)$ を求めよ．
(4) $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m}(x-\beta)^{n}\,dx$ を求めよ．
(2015横浜市立大(国際総合科学))
解答
(2)，(3)を先に求める．
(2)
$B(m,n)$
$=\displaystyle \int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}\,dx$
$=\displaystyle \int_{0}^{1}\left(\frac{x^{m+1}}{m+1}\right)'(1-x)^{n}\,dx$
$=\displaystyle \left[\frac{x^{m+1}}{m+1}(1-x)^{n}\right]_{0}^{1}- \int_{0}^{1}\frac{x^{m+1}}{m+1}(-n)(1-x)^{n-1}\,dx$
$=\displaystyle \frac{n}{m+1}\int_{0}^{1}x^{m+1}(1-x)^{n-1}\,dx$
$=\displaystyle \boldsymbol{\frac{n}{m+1} B(m+1,n-1)}$
(3)
$B(m,n)$
$=\displaystyle \frac{n}{m+1} B(m+1,n-1)$
$=\displaystyle \frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2} B(m+2,n-2)$
$=\displaystyle \frac{n}{m+1}\cdot\frac{n-1}{m+2}\cdots \frac{1}{m+n} B(m+n,0)$
$=\displaystyle \frac{m!n!}{(m+n)!} \int_{0}^{1}x^{m+n}\,dx$
$=\displaystyle \boldsymbol{\frac{m!n!}{(m+n+1)!}}$
(1)
$B(3,2)=\dfrac{3!2!}{6!}=\boldsymbol{\dfrac{1}{60}}$
(4)
$\displaystyle B(m,n)=\int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}\,dx$ で $t=(\beta-\alpha)x+\alpha \Longleftrightarrow x=\dfrac{t-\alpha}{\beta-\alpha}$ と置き換えると
$\displaystyle \int_{0}^{1}x^{m}(1-x)^{n}\,dx$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\beta}\left(\dfrac{t-\alpha}{\beta-\alpha}\right)^{m}\left(1-\dfrac{t-\alpha}{\beta-\alpha}\right)^{n}\dfrac{1}{\beta-\alpha}\,dt$
$\displaystyle =\dfrac{1}{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}\int_{\alpha}^{\beta}\left({t-\alpha}\right)^{m}\left(\beta-t\right)^{n}\,dt$
$\displaystyle =\dfrac{(-1)^{n}}{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}\int_{\alpha}^{\beta}\left({t-\alpha}\right)^{m}\left(t-\beta\right)^{n}\,dt$
$\displaystyle =\dfrac{(-1)^{n}}{(\beta-\alpha)^{m+n+1}}\int_{\alpha}^{\beta}\left({x-\alpha}\right)^{m}\left(x-\beta\right)^{n}\,dx=\frac{m!n!}{(m+n+1)!}$
$\displaystyle \therefore \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{m}(x-\beta)^{n}\,dx=\boldsymbol{\frac{(-1)^{n}m!n!}{(m+n+1)!}(\beta-\alpha)^{m+n+1}}$
※ もちろん1から部分積分して積分漸化式を作って証明してもいいと思います．
練習問題
練習1
$\displaystyle \int_{0}^{1}x^{3}(1-x^2)^{8}\,dx$ を求めよ(答えのみでよい)．
練習2
$y=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+\dfrac{9}{2}x$ とその複接線(二重接線)で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ(答えのみでよい)．
練習1の解答 出典：2017東海大医学部1日目
$x^2=t$と置き換えると，$2xdx=dt$．
$\displaystyle \int_{0}^{1}x^{3}(1-x^2)^{8}\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}t(1-t)^{8}\frac{1}{2}\,dt$
$\displaystyle =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}t^{1}(1-t)^{8}\,dt \ \ \cdots$ ☆
$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot$$\dfrac{1!8!}{10!}$ ←ベータ関数
$\displaystyle =\boldsymbol{\frac{1}{180}}$
※ 記述式の場合は，☆で部分積分1回で解くのがいいと思います．
練習2の解答
複接線を $y=mx+n$，接点の $x$ 座標を $\alpha$，$\beta$ ( $\alpha < \beta$ )とおくと
$x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+\dfrac{9}{2}x=mx+n$
$x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+\dfrac{9}{2}x-(mx+n)=(x-\alpha)^{2}(x-\beta)^{2}=0$
とできるので，解と係数の関係より
$\begin{cases}2\alpha+2\beta=2 \\ \alpha^{2}+4\alpha\beta+\beta^{2}=-3 \\ 2\alpha^{2}\beta+2\alpha\beta^{2}=-\dfrac{9}{2}+m \\ \alpha^{2}\beta^{2}=-n\end{cases}$
$\Longleftrightarrow \begin{cases}\alpha+\beta=1 \\ (\alpha+\beta)^{2}+2\alpha\beta=-3 \\ 2\alpha\beta(\alpha+\beta)=-\dfrac{9}{2}+m \\ \alpha^{2}\beta^{2}=-n\end{cases}$
こららを解くと，$\alpha=-1$，$\beta=2$，$m=\dfrac{1}{2}$，$n=-4$
求める面積は
$\displaystyle \int_{-1}^{2}\left\{x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+\dfrac{9}{2}x-(mx+n)\right\}\,dx$
$\displaystyle =\int_{-1}^{2}(x+1)^{2}(x-2)^{2}\,dx$
$\displaystyle =$$\dfrac{(-1)^{2}2!2!}{5!}\left\{2-(-1)\right\}^{5}$ ←第1種オイラー積分
$=\boldsymbol{\dfrac{81}{10}}$
※ 記述式の場合は，第1種オイラー積分の証明を付したほうがいいですね．