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1/12公式(3次関数)

タイプ:難関大対策 レベル:★★★ 


アイキャッチ

数Ⅱの積分では1/6公式が有名です.しかしそれを知っていて使いこなせるのは受験生として当たり前なので,ライバルと差がつきません.その次に難関大受験生が覚えておくべき積分の面積公式が $\displaystyle \dfrac{1}{12}$ 公式(3次関数)です.

$\dfrac{1}{12}$ 公式は2次関数版もあるのですが,難関大の私立の一般,国立2次ではこちらの方が活躍の出番は多いです.





1/12公式となぜこれが成り立つか

ポイント

$\displaystyle \dfrac{1}{12}$ 公式

3次関数と接線で囲まれた面積 $S$ は


1/12公式

$\displaystyle \boldsymbol{S=\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4}$

※接点の $x$ 座標は $\alpha$ でも $\beta$ でもかまわないし,3次関数と接線でどちらが上でもかまわない.


面積を求めるとき以外でも出現するので,この形で丸暗記すことが望ましいですね.



なぜこれが成り立つか

3次関数と接線の差を,交点である $\alpha$ から $\beta$ まで積分すると,$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^{2}(x-\beta)\,dx$ または $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)^{2}\,dx$ が出てくると思いますので,それぞれ計算してみます.


 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^{2}(x-\beta)\,dx$

$\displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{2}(x-\alpha+\alpha-\beta)\,dx$

$\displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^{3}+(\alpha-\beta)(x-\alpha)^{2}\}\,dx$

$\displaystyle =a\left[\dfrac{1}{4}(x-\alpha)^{4}\right]_{\alpha}^{\beta}+a\left[\dfrac{1}{3}(\alpha-\beta)(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\beta}$

$\displaystyle =\dfrac{a}{4}(\beta-\alpha)^{4}-\dfrac{a}{3}(\beta-\alpha)^{4}$

$\displaystyle =-\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^{4}$


 $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)^{2}\,dx$

$\displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\beta+\beta-\alpha)(x-\beta)^{2}\,dx$

$\displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\beta)^{3}+(\beta-\alpha)(x-\beta)^{2}\}\,dx$

$\displaystyle =a\left[\dfrac{1}{4}(x-\beta)^{4}\right]_{\alpha}^{\beta}+a\left[\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\beta}$

$\displaystyle =-\dfrac{a}{4}(\beta-\alpha)^{4}+\dfrac{a}{3}(\beta-\alpha)^{4}$

$\displaystyle =\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^{4}$


面積を考慮するとこれにより確かに,$\displaystyle \boldsymbol{S=\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4}$ が言えそうです(計算は数Ⅲの部分積分の方が楽です).

1/6公式や上の式をまとめて考えたい,覚えたいという方は,一般化した第1種オイラー積分をオススメします.




記述式の答案における使用の解釈

私立や国立の記述式の答案でこれを使う場合,なぜこの公式が成り立つか明らかでないので,いきなり公式を使って答えを書くのは減点の恐れがありリスキーで,下の例題のように途中過程を書くのが無難であると指導をするしかありません.

マーク式や空所補充等では積極的に使いましょう.




例題と練習問題

例題

例題

曲線 $C:y=2x^{3}-x^{2}-7x$ の $x=-1$ での接線と,$C$ とで囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ.


講義

記述式を想定した解答を書きますが,答えのみの形式についても言及します.


例題の解答

$y'=6x^{2}-2x-7$

$C$ の $x=-1$ での接線は

$y=1(x+1)+4=x+5$

$C$ と接線の交点は

$2x^{3}-x^{2}-7x=x+5$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 2x^{3}-x^{2}-8x-5=0$

$\displaystyle \Longleftrightarrow (x+1)^{2}(2x-5)=0$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 2(x+1)^{2}\left(x-\dfrac{5}{2}\right)=0$

$\therefore x=-1,\ \dfrac{5}{2}$

$\displaystyle -1 < x < \dfrac{5}{2}$ では $2x^{3}-x^{2}-7x < x+5$ より下の図のようになる.

1/12公式の例題

 $S$

$\displaystyle =\int_{-1}^{\frac{5}{2}}\{x+5-(2x^{3}-x^{2}-8x-5)\}\,dx$

$\displaystyle =-2\int_{-1}^{\frac{5}{2}}(x+1)^{2}\left(x-\dfrac{5}{2}\right)\,dx \ \ \cdots$ ♪

$\displaystyle =-2\int_{-1}^{\frac{5}{2}}(x+1)^{2}\left(x+1-\dfrac{7}{2}\right)\,dx$

$\displaystyle =-2\int_{-1}^{\frac{5}{2}}\left\{(x+1)^{3}-\dfrac{7}{2}(x+1)^{2}\right\}\,dx$

$\displaystyle =-2\left[\dfrac{1}{4}(x+1)^{4}-\dfrac{7}{2}\dfrac{1}{3}(x+1)^{3}\right]_{-1}^{\frac{5}{2}}$

$\displaystyle =-2\left\{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{7}{2}\right)^{4}-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{7}{2}\right)^{4}\right\}$

$\displaystyle =$$\displaystyle \boldsymbol{\dfrac{2}{12}\left\{\dfrac{5}{2}-(-1)\right\}^{4}}$ $\cdots$ ☆

$\displaystyle =\dfrac{2}{12}\left(\dfrac{7}{2}\right)^{4}$

$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{2401}{96}}$


※記述式の場合,の行は無視してください.問題の形式が答えのみまたはマーク式の場合,でいきなり$\dfrac{1}{12}$ 公式で出しましょう.

※記述式で,数Ⅲの積分既習者の場合,♪で部分積分が楽です.



練習問題

練習

曲線 $C:y=-x^{3}-7x^{2}-15x$ の $x=-2$ での接線と,$C$ とで囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ.

練習の解答



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