$\dfrac{1}{12}$ 公式(3次関数)
数学ⅡB既習者(難関大対策) ★★★
数学Ⅱの積分では1/6公式が有名です．その次に難関大受験生が覚えておくべき面積公式が $\dfrac{1}{12}$ 公式(3次関数)です．
$\dfrac{1}{12}$ 公式は2次関数版もあるのですが，難関大の私立の一般，国立2次ではこちらの方が活躍の出番は多いです．
1/12公式となぜこれが成り立つか
$\displaystyle \dfrac{1}{12}$ 公式(3次関数と接線で囲まれた面積)
3次関数 $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ と接線で囲まれた面積 $S$ は
$\displaystyle \boldsymbol{S=\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4}$
※接点の $x$ 座標は $\alpha$ でも $\beta$ でもかまわないし，3次関数と接線でどちらが上でもかまわない．
なぜこれが成り立つか
3次関数と接線の差を，交点である $\alpha$ から $\beta$ まで積分すると，$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^{2}(x-\beta)\,dx$ または $\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)^{2}\,dx$ が出てくると思いますので，それぞれ計算してみます．
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)^{2}(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{2}(x-\alpha+\alpha-\beta)\,dx$
$\displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\alpha)^{3}+(\alpha-\beta)(x-\alpha)^{2}\}\,dx$
$\displaystyle =a\left[\dfrac{1}{4}(x-\alpha)^{4}\right]_{\alpha}^{\beta}+a\left[\dfrac{1}{3}(\alpha-\beta)(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\beta}$
$\displaystyle =\dfrac{a}{4}(\beta-\alpha)^{4}-\dfrac{a}{3}(\beta-\alpha)^{4}$
$\displaystyle =-\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^{4}$
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}a(x-\alpha)(x-\beta)^{2}\,dx$
$\displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\beta+\beta-\alpha)(x-\beta)^{2}\,dx$
$\displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}\{(x-\beta)^{3}+(\beta-\alpha)(x-\beta)^{2}\}\,dx$
$\displaystyle =a\left[\dfrac{1}{4}(x-\beta)^{4}\right]_{\alpha}^{\beta}+a\left[\dfrac{1}{3}(\beta-\alpha)(x-\beta)^{3}\right]_{\alpha}^{\beta}$
$\displaystyle =-\dfrac{a}{4}(\beta-\alpha)^{4}+\dfrac{a}{3}(\beta-\alpha)^{4}$
$\displaystyle =\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^{4}$
※ 数学Ⅲ既習者は部分積分の方が楽です．
面積を考慮するとこれにより確かに，$\displaystyle \boldsymbol{S=\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4}$ が言えそうです．より詳細が気になる方は以下のボタン内部をご覧ください．
上の計算を利用した証明
証明
パターンは接線が上か下か，接点の $x$ 座標が $\alpha$ か $\beta$ かで4通りで場合分けをします．
(ⅰ) 接線が上，接点の $x$ 座標が $\alpha$ のとき
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{接線 - (ax^{3}+bx^{2}+cx+d)\}\,dx$
$\displaystyle =-a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{2}(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^{4}$ $(a > 0)$
(ⅱ) 接線が上，接点の $x$ 座標が $\beta$ のとき
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{接線 - (ax^{3}+bx^{2}+cx+d)\}\,dx$
$\displaystyle =-a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)^{2}\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^{4}$ $(a < 0)$
(ⅲ) 接線が下，接点の $x$ 座標が $\beta$ のとき
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{ax^{3}+bx^{2}+cx+d-(接線)\}\,dx$
$\displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)^{2}\,dx$
$\displaystyle =\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^{4}$ $(a > 0)$
(ⅳ) 接線が下，接点の $x$ 座標が $\alpha$ のとき
$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\{ax^{3}+bx^{2}+cx+d-(接線)\}\,dx$
$\displaystyle =a\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)^{2}(x-\beta)\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^{4}$ $(a < 0)$
以上より求める面積は，$\boldsymbol{S=\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^4}$
ベータ関数
1/6公式やこの1/12公式をまとめて考えたい，覚えたいという余裕のある方は，一般化したベータ関数をオススメします．
記述式の答案における使用の解釈
記述式の答案でこれを使う場合，なぜこの公式が成り立つか明らかでないので，いきなり公式を使って答えを書くのは減点の恐れがあるので，下の例題のように途中過程を書くのが無難であると指導をするしかありません．
マーク式や答えのみの形式では積極的に使いましょう．
例題と練習問題
例題
例題
曲線 $C:y=2x^{3}+3x^{2}+x$ の $x=-1$ での接線と，$C$ とで囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．
講義
記述式を想定した解答を書きますが，答えのみの形式についても言及します．
解答
$y'=6x^{2}+6x+1$
$C$ の $x=-1$ での接線は
$y=1\cdot (x+1)=x+1$
ここで $C$ と接線の差をとると
$2x^{3}+3x^{2}+x-(x+1)$
$=2x^{3}+3x^{2}-1$
$=(x+1)^{2}(2x-1)$ ← $x=-1$ で接するので
$=2(x+1)^{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$
$\displaystyle -1 < x < \dfrac{1}{2}$ では $2(x+1)^{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)<0$ より $2x^{3}+3x^{2}+x < x+1$ なので下の図のようになる．
$S$
$\displaystyle =\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\{x+1-(2x^{3}+3x^{2}+x)\}\,dx$
$\displaystyle =-2\int_{-1}^{\frac{1}{2}}(x+1)^{2}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\,dx \ \ \cdots$ ♪
$\displaystyle =-2\int_{-1}^{\frac{1}{2}}(x+1)^{2}\left(x+1-\dfrac{3}{2}\right)\,dx$
$\displaystyle =-2\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\left\{(x+1)^{3}-\dfrac{3}{2}(x+1)^{2}\right\}\,dx$
$\displaystyle =-2\left[\dfrac{1}{4}(x+1)^{4}-\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{3}(x+1)^{3}\right]_{-1}^{\frac{1}{2}}$
$\displaystyle =-2\left\{\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{4}-\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{4}\right\}$
$\displaystyle =\dfrac{2}{12}\left(\dfrac{3}{2}\right)^{4}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{27}{32}}$
※ 数学Ⅲの積分既習者の場合，♪で部分積分が楽です．
答えのみの形式の解答
接線との交点を出して $\dfrac{1}{12}$ 公式を使って
$S=\boldsymbol{\color{red}{\dfrac{|2|}{12}\left\{\dfrac{1}{2}-(-1)\right\}^{4}}=\dfrac{27}{32}}$
練習問題
練習1
曲線 $C:y=-x^{3}-7x^{2}-15x$ の $x=-2$ での接線と，$C$ とで囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．
練習2
2曲線 $y=x^{3}-2x^{2}+12$，$y=-x^{2}+ax$ が接するとき，$a$ の値を求めよ．また，2曲線で囲まれた部分の面積 $S$ を求めよ．
練習1の解答
$y'=-3x^{2}-14x-15$
$C$ の $x=-2$ での接線は
$y=1\cdot (x+2)+10=x+12$
ここで $C$ と接線の差をとると
$-x^{3}-7x^{2}-15x-(x+12)$
$=-x^{3}-7x^{2}-16x-12$
$=-(x+3)(x+2)^{2}$ ← $x=-2$ で接するので
$\displaystyle -3 < x < -2$ では $-(x+3)(x+2)^{2}<0$ より $-x^{3}-7x^{2}-15x < x+12$ なので下の図のようになる．
$S$
$\displaystyle =\int_{-3}^{-2}\{x+12-(-x^{3}-7x^{2}-15x)\}\,dx$
$\displaystyle =\int_{-3}^{-2}(x+3)(x+2)^{2}\,dx \ \ \cdots$ ♪
$\displaystyle =\int_{-3}^{-2}\{(x+2)^{3}+(x+2)^{2}\}\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{4}(x+2)^{4}+\dfrac{1}{3}(x+2)^{3}\right]_{-3}^{-2}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{1}{12}}$
※ 数学Ⅲの積分既習者は♪で部分積分が楽です．
※ 答えのみの形式の解答
$S=\boldsymbol{\color{red}{\dfrac{|-1|}{12}\left\{-2-(-3)\right\}^{4}}=\dfrac{1}{12}}$
練習2の解答
接点の $x$ 座標を $t$ とおくと，接線の傾きが一致するので
$3t^{2}-4t=-2t+a$
$\Longleftrightarrow \ 3t^{2}-2t=a$ $\cdots$ ①
接点の $y$ 座標が一致するので
$t^{3}-2t^{2}+12=-t^{2}+at$
$\Longleftrightarrow \ t^{3}-t^{2}+12=at$ $\cdots$ ②
①，②から $a$ を消すと
$t^{3}-t^{2}+12=(3t^{2}-2t)t$
$\Longleftrightarrow \ 0=2t^{3}-t^{2}-12$
$\Longleftrightarrow \ 0=(t-2)(2t^{2}+3t+6)$
$\therefore \ t=2$
①より $\boldsymbol{a=8}$
$x^{3}-2x^{2}+12-(-x^{2}+8x)$
$=x^{3}-x^{2}-8x+12$
$=(x-2)^{2}(x+3)$ ← $x=2$ で接するので
以上より $\displaystyle -3 < x < 2$ では $(x-2)^{2}(x+3)>0$ より $x^{3}-2x^{2}+12 > -x^{2}+8x$ なので下の図のようになる．
$S$
$\displaystyle =\int_{-3}^{2}\{x^{3}-2x^{2}+12-(-x^{2}+8x)\}\,dx$
$\displaystyle =\int_{-3}^{2}(x-2)^{2}(x+3)\,dx \ \ \cdots$ ♪
$\displaystyle =\int_{-3}^{2}(x-2)^{2}(x-2+5)\,dx$
$\displaystyle =\int_{-3}^{2}\{(x-2)^{3}+5(x-2)^{2}\}\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{4}(x-2)^{4}+\dfrac{5}{3}(x-2)^{3}\right]_{-3}^{2}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{12}\cdot 5^{4}$
$\displaystyle =\boldsymbol{\dfrac{625}{12}}$
※ 数学Ⅲの積分既習者は♪で部分積分が楽です．
※ 結局3次関数と，2次関数が接していて，間で囲まれた部分の面積も $\dfrac{1}{12}$ 公式で答えることができます．つまり答えのみの形式の場合 $S=\boldsymbol{\color{red}{\dfrac{|1|}{12}\left\{2-(-3)\right\}^{4}}=\dfrac{625}{12}}$ とできます．
※ 共通接線の求め方や基本事項はこちら