2曲線の共通接線の求め方
タイプ:入試の標準 レベル:★★★

2つの曲線の共通接線の求め方について解説します.本質的に同じなので数Ⅱ,数Ⅲともにこのページで扱います.
数Ⅱは基本的に多項式関数を,数Ⅲはすべての曲線の接線を扱います.
数Ⅱの微分を勉強中の人は,2章までです.
接線の公式が既知である前提です.
共通接線の求め方(数Ⅱ,数Ⅲ共通)
共通接線と言うと,接点を共有しているかしていないかで2パターンあります.
ポイント
共通接線の方程式の求め方(接点共有タイプ)

共有している接点の $x$ 座標を文字(例えば $t$ など)でおき
Ⅰ 接線の傾き一致
Ⅱ 接点の $\boldsymbol{y}$ 座標一致
を材料として連立方程式を解きます.
上の式がそのまま2曲線が接する条件になります.
続いて,接点を共有していないタイプです.
ポイント
共通接線の方程式の求め方(接点を共有しないタイプ)

以下の方法があります.
Ⅰ それぞれの接点の $\boldsymbol{x}$ 座標を文字(例えば $\boldsymbol{s}$ と $\boldsymbol{t}$ など)でおき,それぞれ立てた接線が等しい,つまり係数比較で連立方程式を解く.
Ⅱ 片方の接点の $x$ 座標を文字(例えば $t$ など)でおき接線を立て,もう片方が主に2次関数ならば,連立をして判別式 $D=0$ を解く.
Ⅲ 片方の接点の $x$ 座標を文字(例えば $t$ など)でおき接線を立て,もう片方が円ならば,点と直線の距離で解く.
Ⅰがほぼどの関数でも使える方法なのでオススメです.
あまり見かけませんが,片方が円ならば,Ⅲで点と直線の距離を使うのがメインの方法になります.
例題と練習問題(数Ⅱ)
例題
例題
$y=x^{2}-4$,$y=-(x-3)^{2}$ の共通接線の方程式を求めよ.
講義

例題では接点を共有しないタイプを扱います.それぞれの接点を $s$,$t$ とおいて,接線を出してみます.
解答
$y=x^{2}-4$ の接点の $x$ 座標を $s$ とおくと接線は $y'=2x$ より
$y$
$=2s(x-s)+s^{2}-4$
$=2sx-s^{2}-4$ $\cdots$ ①
$y=-(x-3)^{2}$ の接点の $x$ 座標を $t$ でおくと接線は $y'=-2(x-3)$ より
$y$
$=-2(t-3)(x-t)-(t-3)^{2}$
$=-2(t-3)x+(t+3)(t-3)$ $\cdots$ ②
①,②が等しいので
$\begin{cases}2s=-2(t-3) \ \Longleftrightarrow \ s=3-t\\ -s^{2}-4=t^{2}-9\end{cases}$
$s$ 消すと
$-(3-t)^{2}-4=t^{2}-9$
$\Longleftrightarrow \ 0=2t^{2}-6t+4$
$\Longleftrightarrow \ 0=t^{2}-3t+2$
$\therefore \ t=1,2$
$t=1$ のとき
$\boldsymbol{y=4x-4}$
$t=2$ のとき
$\boldsymbol{y=2x-5}$
※ 図からだとわかりにくいですが,共通接線は2本あることがわかりました.
※ ①と $y=-(x-3)^{2}$ を,または②と $y=x^{2}-4$ を連立して判別式 $D=0$ を解いても構いませんが,解答の解き方を数Ⅲでもよく使うのでオススメです.
練習問題
練習1
2つの放物線 $y=x^{2}+1$,$y=-2x^{2}+4x-3$ の共通接線の方程式を求めよ.
練習2
2曲線 $y=x^{3}-2x^{2}+12$,$y=-x^{2}+ax$ が接するとき,$a$ の値を求め,その接点における共通接線の方程式を求めよ.
練習の解答
例題と練習問題(数Ⅲ)
例題
例題
$f(x)=e^{\frac{x}{3}}$ と $g(x)=a\sqrt{2x-2}+b$ が $x=3$ で接するとき,定数 $a$,$b$ の値を求めよ.
講義
こちらでは接点を共有する(接する)タイプを扱います.方針は数Ⅱの場合とまったく同じです.
解答
$f'(x)=\dfrac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}$,$g'(x)=\dfrac{a}{\sqrt{2x-2}}$
接線の傾きが一致するので
$f'(3)=g'(3)$
$\Longleftrightarrow \ \dfrac{1}{3}e=\dfrac{a}{2}$
$\therefore \ \boldsymbol{a=\dfrac{2}{3}e}$
接点の $y$ 座標が一致するので
$f(3)=g(3)$
$\Longleftrightarrow \ e=2a+b$
$\therefore \ \boldsymbol{b=-\dfrac{1}{3}e}$
練習問題
練習3
$y=e^{x-1}-1$,$y=\log x$ の共通接線の方程式を求めよ.
練習3の解答