2曲線の共通接線の求め方
微分(数学Ⅱ，Ⅲ)(入試の標準) ★★★
数学Ⅱ，数学Ⅲ共通ページです．
2つの曲線の共通接線の求め方について解説します．
数学Ⅱは基本的に多項式関数を，数学Ⅲはすべての曲線の接線を扱います．
数学Ⅱの微分を勉強中の人は，2章までです．
接線の公式が既知である前提です．
共通接線の求め方(数学Ⅱ，数学Ⅲ共通)
共通接線と言うと，接点を共有しているかしていないかで2パターンあります．
ポイント
共通接線の方程式の求め方(接点共有タイプ)
共有している接点の $x$ 座標を文字(例えば $t$ など)でおき
Ⅰ 接線の傾き一致
Ⅱ 接点の $\boldsymbol{y}$ 座標一致
を材料として連立方程式を解きます．
上の式がそのまま2曲線が接する条件になります．
続いて，接点を共有していないタイプです．
ポイント
共通接線の方程式の求め方(接点を共有しないタイプ)
以下の方法があります．
Ⅰ それぞれの接点の $\boldsymbol{x}$ 座標を文字(例えば $\boldsymbol{s}$ と $\boldsymbol{t}$ など)でおき，それぞれ立てた接線が等しい，つまり係数比較で連立方程式を解く．
Ⅱ 片方の接点の $x$ 座標を文字(例えば $t$ など)でおき接線を立て，もう片方が主に2次関数ならば，連立をして判別式 $D=0$ を解く．
Ⅲ 片方の接点の $x$ 座標を文字(例えば $t$ など)でおき接線を立て，もう片方が円ならば，点と直線の距離で解く．
Ⅰがほぼどの関数でも使える方法なのでオススメです．
あまり見かけませんが，片方が円ならば，Ⅲで点と直線の距離を使うのがメインの方法になります．
例題と練習問題(数学Ⅱ)
例題
例題
$y=x^{2}-4$，$y=-(x-3)^{2}$ の共通接線の方程式を求めよ．
講義
例題では接点を共有しないタイプを扱います．それぞれの接点を $s$，$t$ とおいて，接線を出してみます．
解答
$y=x^{2}-4$ の接点の $x$ 座標を $s$ とおくと接線は $y'=2x$ より
$y$
$=2s(x-s)+s^{2}-4$
$=2sx-s^{2}-4$ $\cdots$ ①
$y=-(x-3)^{2}$ の接点の $x$ 座標を $t$ でおくと接線は $y'=-2(x-3)$ より
$y$
$=-2(t-3)(x-t)-(t-3)^{2}$
$=-2(t-3)x+(t+3)(t-3)$ $\cdots$ ②
①，②が等しいので
$\begin{cases}2s=-2(t-3) \ \Longleftrightarrow \ s=3-t\\ -s^{2}-4=t^{2}-9\end{cases}$
$s$ 消すと
$-(3-t)^{2}-4=t^{2}-9$
$\Longleftrightarrow \ 0=2t^{2}-6t+4$
$\Longleftrightarrow \ 0=t^{2}-3t+2$
$\therefore \ t=1,2$
$t=1$ のとき
$\boldsymbol{y=4x-4}$
$t=2$ のとき
$\boldsymbol{y=2x-5}$
※ 図からだとわかりにくいですが，共通接線は2本あることがわかりました．
※ ①と $y=-(x-3)^{2}$ を，または②と $y=x^{2}-4$ を連立して判別式 $D=0$ を解いても構いませんが，解答の解き方を数学Ⅲでもよく使うのでオススメです．
練習問題
練習1
2つの放物線 $y=x^{2}+1$，$y=-2x^{2}+4x-3$ の共通接線の方程式を求めよ．
練習2
2曲線 $y=x^{3}-2x^{2}+12$，$y=-x^{2}+ax$ が接するとき，$a$ の値を求め，その接点における共通接線の方程式を求めよ．
練習1の解答
$y=x^{2}+1$ の接点の $x$ 座標を $s$ とおくと接線は $y'=2x$ より
$y$
$=2s(x-s)+s^{2}+1$
$=2sx-s^{2}+1$ $\cdots$ ①
$y=-2x^{2}+4x-3$ の接点の $x$ 座標を $t$ でおくと接線は $y'=-4x+4$ より
$y$
$=(-4t+4)(x-t)-2t^{2}+4t-3$
$=(-4t+4)x+2t^{2}-3$ $\cdots$ ②
①，②が等しいので
$\begin{cases}2s=-4t+4 \ \Longleftrightarrow \ s=-2(t-1)\\ -s^{2}+1=2t^{2}-3\end{cases}$
$s$ 消すと
$-4(t-1)^{2}+1=2t^{2}-3$
$\Longleftrightarrow \ 0=6t^{2}-8t$
$\therefore \ t=0$，$\dfrac{4}{3}$
$t=0$ のとき
$\boldsymbol{y=4x-3}$
$t=\dfrac{4}{3}$ のとき
$\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{9}}$
練習2の解答
接点の $x$ 座標を $t$ とおくと，接線の傾きが一致するので
$3t^{2}-4t=-2t+a$
$\Longleftrightarrow \ 3t^{2}-2t=a$ $\cdots$ ①
接点の $y$ 座標が一致するので
$t^{3}-2t^{2}+12=-t^{2}+at$
$\Longleftrightarrow \ t^{3}-t^{2}+12=at$ $\cdots$ ②
①，②から $a$ を消すと
$t^{3}-t^{2}+12=(3t^{2}-2t)t$
$\Longleftrightarrow \ 0=2t^{3}-t^{2}-12$
$\Longleftrightarrow \ 0=(t-2)(2t^{2}+3t+6)$
$\therefore \ t=2$
①より $\boldsymbol{a=8}$
このとき共通接線は
$\boldsymbol{y}=4(x-2)+12\boldsymbol{=4x+4}$
※ この2曲線の図や囲まれた部分の面積の詳細は1/12公式(3次関数)の練習2へ
例題と練習問題(数学Ⅲ)
例題
例題
$f(x)=e^{\frac{x}{3}}$ と $g(x)=a\sqrt{2x-2}+b$ が $x=3$ で接するとき，定数 $a$，$b$ の値を求めよ．
講義
こちらでは接点を共有する(接する)タイプを扱います．方針は数学Ⅱの場合とまったく同じです．
解答
$f'(x)=\dfrac{1}{3}e^{\frac{x}{3}}$，$g'(x)=\dfrac{a}{\sqrt{2x-2}}$
接線の傾きが一致するので
$f'(3)=g'(3)$
$\Longleftrightarrow \ \dfrac{1}{3}e=\dfrac{a}{2}$
$\therefore \ \boldsymbol{a=\dfrac{2}{3}e}$
接点の $y$ 座標が一致するので
$f(3)=g(3)$
$\Longleftrightarrow \ e=2a+b$
$\therefore \ \boldsymbol{b=-\dfrac{1}{3}e}$
練習問題
練習3
$y=e^{x-1}-1$，$y=\log x$ の共通接線の方程式を求めよ．
練習3の解答
$y=e^{x-1}-1$ の接点の $x$ 座標を $s$ とおくと接線は $y'=e^{x-1}$ より
$y$
$=e^{s-1}(x-s)+e^{s-1}-1$
$=e^{s-1}x+(1-s)e^{s-1}-1$ $\cdots$ ①
$y=\log x$ の接点の $x$ 座標を $t$ でおくと接線は $y'=\dfrac{1}{x}$ より
$y$
$=\dfrac{1}{t}(x-t)+\log t$
$=\dfrac{1}{t}x+\log t-1$ $\cdots$ ②
①，②が等しいので
$\begin{cases}e^{s-1}=\dfrac{1}{t} \ \Longleftrightarrow \ t=e^{1-s}\\ (1-s)e^{s-1}-1=\log t-1\end{cases}$
$t$ 消すと
$(1-s)e^{s-1}=1-s$
$\Longleftrightarrow \ (1-s)(e^{s-1}-1)=0$
$\therefore \ s=1$，$t=1$
求める共通接線は
$\boldsymbol{y=x-1}$
※ $s=t=1$ より，それぞれの接点の座標が $(1,0)$ とわかり，実は接点を共有した共通接線だとわかりました．