練習1の解答

$y=x^{2}+1$ の接点の $x$ 座標を $s$ とおくと接線は $y'=2x$ より

　$y$

$=2s(x-s)+s^{2}+1$

$=2sx-s^{2}+1$ $\cdots$ ①

$y=-2x^{2}+4x-3$ の接点の $x$ 座標を $t$ でおくと接線は $y'=-4x+4$ より

　$y$

$=(-4t+4)(x-t)-2t^{2}+4t-3$

$=(-4t+4)x+2t^{2}-3$ $\cdots$ ②

①，②が等しいので

$\begin{cases}2s=-4t+4 \ \Longleftrightarrow \ s=-2(t-1)\\ -s^{2}+1=2t^{2}-3\end{cases}$

$s$ 消すと

$-4(t-1)^{2}+1=2t^{2}-3$

$\Longleftrightarrow \ 0=6t^{2}-8t$

$\therefore \ t=0$，$\dfrac{4}{3}$

$t=0$ のとき

$\boldsymbol{y=4x-3}$

$t=\dfrac{4}{3}$ のとき

$\boldsymbol{y=-\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{9}}$

練習2の解答

接点の $x$ 座標を $t$ とおくと，接線の傾きが一致するので

$3t^{2}-4t=-2t+a$

$\Longleftrightarrow \ 3t^{2}-2t=a$ $\cdots$ ①

接点の $y$ 座標が一致するので

$t^{3}-2t^{2}+12=-t^{2}+at$

$\Longleftrightarrow \ t^{3}-t^{2}+12=at$ $\cdots$ ②

①，②から $a$ を消すと

$t^{3}-t^{2}+12=(3t^{2}-2t)t$

$\Longleftrightarrow \ 0=2t^{3}-t^{2}-12$

$\Longleftrightarrow \ 0=(t-2)(2t^{2}+3t+6)$

$\therefore \ t=2$

①より $\boldsymbol{a=8}$

このとき共通接線は

$\boldsymbol{y}=4(x-2)+12\boldsymbol{=4x+4}$

※ この2曲線の図や囲まれた部分の面積の詳細は1/12公式(3次関数)の練習2へ

練習3の解答

$y=e^{x-1}-1$ の接点の $x$ 座標を $s$ とおくと接線は $y'=e^{x-1}$ より

　$y$

$=e^{s-1}(x-s)+e^{s-1}-1$

$=e^{s-1}x+(1-s)e^{s-1}-1$ $\cdots$ ①

$y=\log x$ の接点の $x$ 座標を $t$ でおくと接線は $y'=\dfrac{1}{x}$ より

　$y$

$=\dfrac{1}{t}(x-t)+\log t$

$=\dfrac{1}{t}x+\log t-1$ $\cdots$ ②

①，②が等しいので

$\begin{cases}e^{s-1}=\dfrac{1}{t} \ \Longleftrightarrow \ t=e^{1-s}\\ (1-s)e^{s-1}-1=\log t-1\end{cases}$

$t$ 消すと

$(1-s)e^{s-1}=1-s$

$\Longleftrightarrow \ (1-s)(e^{s-1}-1)=0$

$\therefore \ s=1$，$t=1$

求める共通接線は

$\boldsymbol{y=x-1}$

※ $s=t=1$ より，それぞれの接点の座標が $(1,0)$ とわかり，実は接点を共有した共通接線だとわかりました．