Ⅱでの証明

全体を $x$ 軸方向に $-x_{1}$，$y$ 軸方向に $-y_{1}$ 平行移動する．直線は $a(x+x_{1})+b(y+y_{1})+c=0$ となる．

(ⅰ) $a\neq 0$ かつ $b\neq 0$ のとき

上の図のように，直線上に $\rm A$，$\rm B$ をとると

より，$\triangle{\rm OAB}$ の面積に関して

(ⅱ) $a=0$ のとき ( $b\neq 0$ )

直線 $a(x+x_{1})+b(y+y_{1})+c=0$ は $y=-\dfrac{by_{1}+c}{b}$ となるので

　$d$

$=\left|-\dfrac{by_{1}+c}{b}\right|$

$=\dfrac{|by_{1}+c|}{|b|}$

これは $\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ に $a=0$ を代入した値なので，$d=\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ を満たす．

(ⅲ) $b=0$ のとき ( $a\neq 0$ )

直線 $a(x+x_{1})+b(y+y_{1})+c=0$ は $x=-\dfrac{ax_{1}+c}{a}$ となるので

　$d$

$=\left|-\dfrac{ax_{1}+c}{a}\right|$

$=\dfrac{|ax_{1}+c|}{|a|}$

これは $\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ に $b=0$ を代入した値なので，$d=\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ を満たす．

Ⅲでの証明

$(x_{1},y_{1})$ を $\rm A$，直線 $ax+by+c=0$ に下ろした垂線の足を $\rm H$ とおく．

直線 $\rm AH$ は，$\rm A$$(x_{1},y_{1})$ を通り，直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトルである $\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$ に平行な直線なので，$t$ を実数として

直線 $\rm AH$ $: \begin{cases}{x=x_{1}+at} \\ {y=y_{1}+bt} \end{cases}$ ←媒介変数表示

となるので，$\rm H$$(x_{1}+ah,y_{1}+bh)$ とおく．

$\rm H$ は直線 $ax+by+c=0$ 上にもあるので

求める長さ $d$ は $\rm A$$(x_{1},y_{1})$ と $\rm H$$(x_{1}+ah,y_{1}+bh)$ の2点間の距離より

　$d=\sqrt{(ah)^{2}+(bh)^{2}}$

　　$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{h^{2}}$

　　$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot|h|$

　　$=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\dfrac{|-ax_{1}-by_{1}-c|}{a^{2}+b^{2}}$

　　$=\boldsymbol{\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}$