おいしい数学HOMEへのリンク

点と直線の距離

図形と方程式(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

点と直線の距離公式とその証明,関連問題を扱います.

証明方法については,当サイトとしては3通り紹介します.



点と直線の距離

ポイント

点と直線の距離

点と直線の距離

点 $(x_{1},y_{1})$ と直線 $ax+by+c=0$ との距離 $d$ は

$\boldsymbol{d=\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}$


今後の問題や入試で道具として頻繁に使う重要公式です.

試験中に導くのは大変なので,丸暗記が必須です.

※ベクトル既習者は点と平面の距離公式と似ているので合わせて覚えるといいと思います.

証明方法と証明

ポイント

点と直線の距離の主な証明方法

直線と,点を通る法線を連立して解く方法(既習範囲で理解できる)

Ⅱ 三角形の面積で考える方法(既習範囲で理解できる)

法線ベクトルを使う方法(場合分けが不要でベクトル既習者なら簡潔で分かりやすい)


他のサイトや,参考書を見るとこれ以外にもあるようですが,当サイトとしては,前提知識の少なさ,または前提知識は必要だが簡潔で分かりやすいものを重要とします.

以下で,上のすべての方法を載せます.

Ⅰでの証明

Ⅰでの証明

点と直線の距離の証明

全体を $x$ 軸方向に $-x_{1}$,$y$ 軸方向に $-y_{1}$ 平行移動する.直線は $a(x+x_{1})+b(y+y_{1})+c=0$ となるので,原点 $\rm O$ からこの直線に下ろした垂線の足を $\rm H$ とする.

(ⅰ) $a\neq 0$ のとき

直線 $a(x+x_{1})+b(y+y_{1})+c=0$ の傾きは $b\neq 0$ ならば $-\dfrac{a}{b}$,$b=0$ ならば $y$ 軸に平行なので,どちらにせよ直線 ${\rm OH}:y=\dfrac{b}{a}x$ となる.

$\rm H$ の $x$ 座標はこれらを連立すると

$a(x+x_{1})+b\left(\dfrac{b}{a}x+y_{1}\right)+c=0$

$\Longleftrightarrow \ (a^{2}+b^{2})x+a^{2}x_{1}+aby_{1}+ac=0$

$\Longleftrightarrow \ x=\dfrac{-a(ax_{1}+by_{1}+c)}{a^{2}+b^{2}}$

$\therefore \ {\rm H}\left(\dfrac{-a(ax_{1}+by_{1}+c)}{a^{2}+b^{2}},\dfrac{-b(ax_{1}+by_{1}+c)}{a^{2}+b^{2}}\right)$

${\rm OH}=d$ より

 $d$

$=\sqrt{\left\{\dfrac{-a(ax_{1}+by_{1}+c)}{a^{2}+b^{2}}\right\}^{2}+\left\{\dfrac{-b(ax_{1}+by_{1}+c)}{a^{2}+b^{2}}\right\}^{2}}$

$=\sqrt{\dfrac{(ax_{1}+by_{1}+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}$

$=\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ ← $\sqrt{A^{2}}=|A|$


(ⅱ) $a=0$ のとき ( $b\neq 0$ )

直線 $a(x+x_{1})+b(y+y_{1})+c=0$ は $y=-\dfrac{by_{1}+c}{b}$ となるので

 $d$

$=\left|-\dfrac{by_{1}+c}{b}\right|$

$=\dfrac{|by_{1}+c|}{|b|}$

これは $\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ に $a=0$ を代入した値なので,$\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ を満たす.

Ⅱでの証明

下に格納しました.

Ⅱでの証明

Ⅱでの証明

全体を $x$ 軸方向に $-x_{1}$,$y$ 軸方向に $-y_{1}$ 平行移動する.直線は $a(x+x_{1})+b(y+y_{1})+c=0$ となる.

(ⅰ) $a\neq 0$ かつ $b\neq 0$ のとき

点と直線の距離の証明Ⅱ

上の図のように,直線上に $\rm A$,$\rm B$ をとると

${\rm OA}=\left|\dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{b}\right|$

${\rm OB}=\left|\dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{a}\right|$

${\rm AB}=\sqrt{\left(\dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{b}\right)^{2}+\left(\dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{a}\right)^{2}}$

より,$\triangle{\rm OAB}$ の面積に関して

$\dfrac{1}{2}\left|\dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{b}\right|\left|\dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{a}\right|=\dfrac{1}{2} \cdot {\rm AB}\cdot d$

$\Longleftrightarrow \ \dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|^{2}}{|a||b|}=\sqrt{\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{a^{2}}} \cdot |ax_{1}+by_{1}+c|d$

$\Longleftrightarrow \ \dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}b^{2}}}=\sqrt{\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{a^{2}}} \cdot d$

$\Longleftrightarrow \ d=\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$


(ⅱ) $a=0$ のとき ( $b\neq 0$ )

直線 $a(x+x_{1})+b(y+y_{1})+c=0$ は $y=-\dfrac{by_{1}+c}{b}$ となるので

 $d$

$=\left|-\dfrac{by_{1}+c}{b}\right|$

$=\dfrac{|by_{1}+c|}{|b|}$

これは $\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ に $a=0$ を代入した値なので,$d=\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ を満たす.


(ⅲ) $b=0$ のとき ( $a\neq 0$ )

直線 $a(x+x_{1})+b(y+y_{1})+c=0$ は $x=-\dfrac{ax_{1}+c}{a}$ となるので

 $d$

$=\left|-\dfrac{ax_{1}+c}{a}\right|$

$=\dfrac{|ax_{1}+c|}{|a|}$

これは $\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ に $b=0$ を代入した値なので,$d=\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ を満たす.

Ⅲでの証明

法線ベクトルを使って直線を出す方法の知識が必要なので未習の方はご注意ください.下に格納しました.

Ⅲでの証明

Ⅲでの証明

点と直線の距離の証明

$(x_{1},y_{1})$ を $\rm A$,直線 $ax+by+c=0$ に下ろした垂線の足を $\rm H$ とおく.

直線 $\rm AH$ は,$\rm A$$(x_{1},y_{1})$ を通り,直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトルである $\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$ に平行な直線なので,$t$ を実数として

直線 $\rm AH$ $: \begin{cases}{x=x_{1}+at} \\ {y=y_{1}+bt} \end{cases}$ ←媒介変数表示

となるので,$\rm H$$(x_{1}+ah,y_{1}+bh)$ とおく.


$\rm H$ は直線 $ax+by+c=0$ 上にもあるので

$a(x_{1}+ah)+b(y_{1}+bh)+c=0$

$\Longleftrightarrow (a^{2}+b^{2})h=-ax_{1}-by_{1}-c$

$\Longleftrightarrow h=\dfrac{-ax_{1}-by_{1}-c}{a^{2}+b^{2}}$


求める長さ $d$ は $\rm A$$(x_{1},y_{1})$ と $\rm H$$(x_{1}+ah,y_{1}+bh)$ の2点間の距離より

 $d=\sqrt{(ah)^{2}+(bh)^{2}}$

  $=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{h^{2}}$

  $=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot|h|$

  $=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\dfrac{|-ax_{1}-by_{1}-c|}{a^{2}+b^{2}}$

  $=\boldsymbol{\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}$


例題と練習問題

例題

例題

点 $(1,-1)$ と直線 $5x+12y-3=0$ の距離 $d$ を求めよ.


講義

上の公式をそのまま使うだけです.


解答

$d=\dfrac{|5\cdot1+12(-1)-3|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}=\boldsymbol{\dfrac{10}{13}}$

練習問題

練習

(1) 点 $(5,-2)$ と直線 $y=\dfrac{1}{3}x+4$ の距離 $d$ を求めよ.

(2) 点 $(1,0)$ と直線 $y=m(x-2)+2$ の距離が $1$ のとき,$m$ の値を求めよ.

練習の解答

(1)

$y=\dfrac{1}{3}x+4$

$\Longleftrightarrow \ x-3y+12=0$

$\therefore \ d=\dfrac{|5-3(-2)+12|}{\sqrt{1^{2}+3^{2}}}=\boldsymbol{\dfrac{23}{\sqrt{10}}}$


(2)

$y=m(x-2)+2$

$\Longleftrightarrow \ mx-y-2m+2=0$

$d=\dfrac{|-m+2|}{\sqrt{m^{2}+1}}=1$ を両辺2乗して

$\dfrac{m^{2}-4m+4}{m^{2}+1}=1$

$\Longleftrightarrow \ m^{2}-4m+4=m^{2}+1$

$\Longleftrightarrow \ -4m=-3$

$\therefore \ m=\boldsymbol{\dfrac{3}{4}}$