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点と直線の距離とその証明

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

点と直線の距離公式について,証明方法も含めて解説し,演習問題を用意しました.

証明方法については,当サイトとしては3通り紹介します.





点と直線の距離

ポイント

点と直線の距離

点と直線の距離

点 $(x_{1},y_{1})$ と直線 $ax+by+c=0$ との距離 $d$ は

$\boldsymbol{d=\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}$


今後の問題や入試で道具として頻繁に使う重要公式です.

試験中に導くのは大変なので,丸暗記が必須です.

※ ベクトル既習者は点と平面の距離公式と似ているので合わせて覚えるといいと思います.




証明方法と証明

ポイント

点と直線の距離の主な証明方法

直線と,点を通る法線を連立して解く方法(既習範囲で理解できる)

三角形の面積で考える方法(既習範囲で理解できる)

法線ベクトルを使う方法(場合分けが不要でベクトル既習者なら簡潔で分かりやすい)


他のサイトや,参考書を見るとこれ以外にもあるようですが,当サイトとしては,前提知識の少なさ,または前提知識は必要だが簡潔で分かりやすいものを重要とします.

Ⅲは上のリンクから飛べる別ページで証明するので,以下ではⅠ,Ⅱで証明します.



証明

下に格納しました.どちらも $(x_{1},y_{1})$ を原点に平行移動する操作をすると計算が楽です.

Ⅰでの証明

Ⅱでの証明




例題と練習問題

例題

例題

点 $(1,-1)$ と直線 $5x+12y-3=0$ の距離 $d$ を求めよ.


講義

上の公式をそのまま使うだけです.


解答

$d=\dfrac{|5\cdot1+12(-1)-3|}{\sqrt{5^{2}+12^{2}}}=\boldsymbol{\dfrac{10}{13}}$



練習問題

練習

(1) 点 $(5,-2)$ と直線 $y=\dfrac{1}{3}x+4$ の距離 $d$ を求めよ.

(2) 点 $(1,0)$ と直線 $y=m(x-2)+2$ の距離が $1$ のとき,$m$ の値を求めよ.

練習の解答



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