2次元平面における直線のベクトルを使った出し方
平面ベクトル(教科書範囲) ★★
2次元平面内の直線の方程式について整理し，ベクトルを使った出し方を解説します．
2次元平面における直線の方程式まとめ
2次元平面における直線の方程式
Ⅰ $y=ax+b$ (1次関数)
メリット：傾きと切片がすぐわかる．方向ベクトルがすぐわかる．グラフを書きやすい．求めやすい．
Ⅱ $ax+by+c=0$ (一般形)
メリット：法線ベクトルがすぐわかる( $\overrightarrow{\mathstrut n}=\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$)．すべての直線を表現可能．点と直線の距離が使える．
それぞれに上のようにメリットがあるので，適切に使い分けるようにできるのが肝要です．
Ⅱでは法線ベクトル (normal vector)が $\overrightarrow{\mathstrut n}=\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$とすぐわかるのが大きいです．なぜこうなるかは $ax+by+c=0 \Longleftrightarrow y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}$ として，方向ベクトル(direction vector)が $\overrightarrow{\mathstrut d}=\begin{pmatrix}b \\ -a \end{pmatrix}$ とわかるので，これに垂直なものの1つは $\overrightarrow{\mathstrut n}=\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$ なはずです．
2次元平面における直線のベクトルを使った出し方
以下，2つの方法があります．方向ベクトル，法線ベクトル，わかっている方から出します．
方向ベクトルから出す方法は空間も同じです(ベクトル方程式が同じです)．
2次元平面における直線(方向ベクトルから出す)
${\rm A}(x_{1},y_{1})$ を通り，$\overrightarrow{\mathstrut d}=\begin{pmatrix}l \\ m \end{pmatrix}$ に平行な直線 $\ell$ は
$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut d}$
$\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1} \\ y_{1} \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}l \\ m \end{pmatrix}$
$\Longleftrightarrow \ $$\begin{cases}\boldsymbol{x=x_{1}+lt} \\ \boldsymbol{y=y_{1}+mt} \end{cases}$ ←媒介変数表示
↓ $t$ 消去
$\boldsymbol{\color{red}{\dfrac{x-x_{1}}{l}=\dfrac{y-y_{1}}{m}}}$
特に上の赤い式を暗記しておくと便利です．
続いて法線ベクトルから出します．
2次元平面における直線(法線ベクトルから出す)
${\rm A}(x_{1},y_{1})$ を通り，$\overrightarrow{\mathstrut n}=\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$ に垂直な直線 $\ell$ は
$\overrightarrow{\mathstrut n} \cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=0$
$\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathstrut n}\cdot(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a})=0$
$\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x-x_{1} \\ y-y_{1} \end{pmatrix}=0$
$\therefore \ \boldsymbol{\color{red}{a(x-x_{1})+b(y-y_{1})=0}}$
こちらも最後の赤い式を暗記しておくと楽です．
練習問題
練習
(1) $\rm A$$(1,-2)$ を通り，$\overrightarrow{\mathstrut d}=(3,2)$ に平行な直線の方程式を求めよ．
(2) $\rm A$$(3,1)$ を通り，$\overrightarrow{\mathstrut n}=(-5,2)$ に垂直な直線の方程式を求めよ．
練習の解答
(1)
$\dfrac{x-1}{3}=\dfrac{y-(-2)}{2}$
$\Longleftrightarrow 2(x-1)=3(y+2)$
$\Longleftrightarrow \boldsymbol{2x-3y-8=0}$
(2)
$-5(x-3)+2(y-1)=0$
$\Longleftrightarrow \boldsymbol{5x-2y-13=0}$