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2次元の直線のベクトルを使った出し方と,点と直線の距離,円の接線の方程式の証明

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

2次元平面内の直線の方程式の表現方法のまとめと,ベクトル(方向ベクトル,法線ベクトル)を使った出し方を紹介し,後半で点と直線の距離,円の接線の方程式の証明をします.





2次元の直線の方程式まとめ

ポイント

2次元の直線の方程式

① $y=ax+b$ (1次関数)

(メリット:傾きと切片がすぐわかる.方向ベクトルがすぐわかる.グラフを書きやすい.求めやすい.)


② $ax+by+c=0$ (一般形)

(メリット:法線ベクトルがすぐわかる( $\overrightarrow{\mathstrut n}=\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$).すべての直線を表現可能.点と直線の距離が使える.)


それぞれに上のようにメリットがあるので,適切に使い分けるようにできるのが肝要です.

②では法線ベクトル (normal vector)が $\overrightarrow{\mathstrut n}=\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$とすぐわかるのが大きいです.なぜこうなるかは $ax+by+c=0 \Longleftrightarrow y=-\dfrac{a}{b}x+\dfrac{c}{b}$ として,方向ベクトル(direction vector)が $\overrightarrow{\mathstrut d}=\begin{pmatrix}b \\ -a \end{pmatrix}$ とわかるので,これに垂直なものの1つは $\overrightarrow{\mathstrut n}=\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$ なはずです.




2次元の直線のベクトルを使った出し方

以下,2つの方法があります.



ポイント:方向ベクトルから出す

2次元の直線(方向ベクトルから出す)

2次元の直線(方向ベクトルから出す)1

${\rm A}(x_{1},y_{1})$ を通り,$\overrightarrow{\mathstrut d}=\begin{pmatrix}l \\ m \end{pmatrix}$ に平行な直線 $\ell$ は

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}$

$\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut d}$

$\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1} \\ y_{1} \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}l \\ m \end{pmatrix}$

$\Longleftrightarrow \begin{cases}\boldsymbol{x=x_{1}+lt} \\ \boldsymbol{y=y_{1}+mt} \end{cases}$ ←媒介変数表示

↓ $t$ 消去

$\boldsymbol{\dfrac{x-x_{1}}{l}=\dfrac{y-y_{1}}{m}}$


特に上の太字になっている箇所を暗記しておくと便利です.

続いて法線ベクトルから出します.



ポイント:法線ベクトルから出す

2次元の直線(法線ベクトルから出す)

2次元の直線(方向ベクトルから出す)1

${\rm A}(x_{1},y_{1})$ を通り,$\overrightarrow{\mathstrut n}=\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$ に垂直な直線 $\ell$ は

$\overrightarrow{\mathstrut n} \cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AP}=0$

$\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathstrut n}\cdot(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a})=0$

$\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x-x_{1} \\ y-y_{1} \end{pmatrix}=0$

$\therefore \ \boldsymbol{a(x-x_{1})+b(y-y_{1})=0}$


こちらも最後の太字を暗記しておくと楽です.




練習問題

練習

(1) $\rm A$$(1,-2)$ を通り,$\overrightarrow{\mathstrut d}=(3,2)$ に平行な直線の方程式を求めよ.

(2) $\rm A$$(3,1)$ を通り,$\overrightarrow{\mathstrut n}=(-5,2)$ に垂直な直線の方程式を求めよ.

練習の解答




付録:点と直線の距離のベクトルを使った証明

数Ⅱまでの範囲での証明は点と直線の距離とその証明にありますが,ベクトルと直線の媒介変数表示を使うと場合分けがなく楽に示せます.


ポイント

点と直線の距離

点と直線の距離

点 $(x_{1},y_{1})$ と直線 $ax+by+c=0$ の距離 $d$ は

$\boldsymbol{d=\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}$



証明

証明

点と直線の距離の証明

$(x_{1},y_{1})$ を $\rm A$,直線 $ax+by+c=0$ に下ろした垂線の足を $\rm H$ とおく.

直線 $\rm AH$ は,$\rm A$$(x_{1},y_{1})$ を通り,直線 $ax+by+c=0$ の法線ベクトルである $\begin{pmatrix}a \\ b \end{pmatrix}$ に平行な直線なので,$t$ を実数として

直線 $\rm AH$ $: \begin{cases}{x=x_{1}+at} \\ {y=y_{1}+bt} \end{cases}$ ←媒介変数表示

となるので,$\rm H$$(x_{1}+ah,y_{1}+bh)$ とおく.


$\rm H$ は直線 $ax+by+c=0$ 上にもあるので

$a(x_{1}+ah)+b(y_{1}+bh)+c=0$

$\Longleftrightarrow (a^{2}+b^{2})h=-ax_{1}-by_{1}-c$

$\Longleftrightarrow h=\dfrac{-ax_{1}-by_{1}-c}{a^{2}+b^{2}}$


求める長さ $d$ は $\rm A$$(x_{1},y_{1})$ と $\rm H$$(x_{1}+ah,y_{1}+bh)$ の2点間の距離より

 $d=\sqrt{(ah)^{2}+(bh)^{2}}$

  $=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\sqrt{h^{2}}$

  $=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot|h|$

  $=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\cdot\dfrac{|-ax_{1}-by_{1}-c|}{a^{2}+b^{2}}$

  $=\boldsymbol{\dfrac{|ax_{1}+by_{1}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}}$




付録:円の接線の方程式のベクトルを使った証明

こちらも,円の接線の方程式とその証明にあるように証明方法は様々ありますが,こちらの法線ベクトルを使って解くのが,一番簡単です.


ポイント

円の接線の方程式

円の接線の方程式(一般)

円 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 上の $(x_{1},y_{1})$ での接線の方程式は

$\boldsymbol{(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}}$



証明

証明

法線が中心 $(a,b)$ と,接点 $(x_{1},y_{1})$ を結んだ直線になるので,法線ベクトルが $\begin{pmatrix}x_{1}-a \\ y_{1}-b \end{pmatrix}$ とできる.

法線ベクトルが $\begin{pmatrix}x_{1}-a \\ y_{1}-b \end{pmatrix}$ で $(x_{1},y_{1})$ を通る直線は

$(x_{1}-a)(x-x_{1})+(y_{1}-b)(y-y_{1})=0$

接点 $(x_{1},y_{1})$ が円 $(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}$ 上にあるので,$(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}=r^{2}$ を辺々上の式に足すと

$(x_{1}-a)(x-x_{1}+x_{1}-a)+(y_{1}-b)(y-y_{1}+y_{1}-b)=r^{2}$

$\therefore \ \boldsymbol{(x_{1}-a)(x-a)+(y_{1}-b)(y-b)=r^{2}}$



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