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3次元の直線の出し方

タイプ:入試の標準 レベル:★★ 


アイキャッチ

3次元空間内の直線について説明し,ベクトル(方向ベクトル)を使った出し方を紹介します.

ちなみに2次元平面内の直線については,こちらをご覧ください.





3次元の直線について

3次元空間内の直線も2次元平面内の直線とほぼ同じですが,舞台が空間ゆえに,方向ベクトル(の向き)は1つですが,法線ベクトルは無限に存在します.

3次元の直線

つまり,3次元の直線を出すときには方向ベクトルから出すことになります.




3次元の直線のベクトルを使った出し方

ポイント:方向ベクトルから出す

3次元の直線(方向ベクトルから出す)

3次元の直線(方向ベクトルから出す)

${\rm A}(x_{1},y_{1},z_{1})$ を通り,$\overrightarrow{\mathstrut d}=\begin{pmatrix}l \\ m \\ n \end{pmatrix}$ に平行な直線 $\ell$ は

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}$

$\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut d}$

$\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}l \\ m \\ n \end{pmatrix}$

$\Longleftrightarrow \begin{cases}\boldsymbol{x=x_{1}+lt} \\ \boldsymbol{y=y_{1}+mt} \\ \boldsymbol{z=z_{1}+nt} \end{cases}$ ←媒介変数表示

↓ $t$ 消去

$\dfrac{x-x_{1}}{l}=\dfrac{y-y_{1}}{m}=\dfrac{z-z_{1}}{n}$


上の太字になっている箇所を暗記しておくと便利です.




例題と練習問題

例題

例題

A$(6,-2,4)$ を通り,$\overrightarrow{\mathstrut d}=(-1,2,1)$ に平行な直線 $l$ において,次の問いに答えよ.

(1) 直線 $l$ と $yz$ 平面の交点の座標を求めよ.

(2) 原点Oから $l$ に下ろした垂線の足を $\rm H$ とするとき,点 $\rm H$ の座標を求めよ.


講義

直線は媒介変数表示で表すと解きやすいです.


解答

(1) 媒介変数表示をすると,$t$ を実数として

$l:\begin{cases}x=6-t \\ y=-2+2t \\ z=4+t \end{cases}$

$xz$ 平面との交点は,$x=0$ と連立すると,$6-t=0 \Longleftrightarrow t=6$

このときの座標は,$\boldsymbol{(0,10,10)}$


(2) $\rm H$$(6-h,-2+2h,4+h)$ とおくと,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OH}$ と $\overrightarrow{\mathstrut d}$ が垂直なので

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OH} \cdot \overrightarrow{\mathstrut d}=\begin{pmatrix}6-h \\ -2+2h \\ 4+h \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=-6+6h=0$

$\therefore \ h=1$

よって,$\rm H$$\boldsymbol{(5,0,5)}$



練習問題

練習

$\rm A$$(-2,1,-1)$,$\rm B$$(1,3,2)$ を通る直線を $l$ とする.

(1) 原点Oから $l$ に下ろした垂線の足を $\rm H$ とするとき,点 $\rm H$ の座標を求めよ.

(2) $\rm C$$(-2,-2,-2)$ を中心とした半径 $\sqrt{14}$ の球面との交点の座標を求めよ.

練習の解答




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