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3次元空間における直線の出し方

ベクトル(入試の標準) ★★


アイキャッチ

3次元空間内の直線について説明し,ベクトル(方向ベクトル)を使った出し方を紹介します.

ちなみに2次元平面内の直線については,こちらをご覧ください.



3次元空間における直線について

3次元空間内の直線も2次元平面内の直線とほぼ同じですが,舞台が空間ゆえに,方向ベクトル(の向き)は1つですが,法線ベクトルは無限に存在します.

3次元の直線

つまり,3次元空間内の直線を出すときには方向ベクトルから出すことになります.

3次元空間における直線の出し方

ポイント:方向ベクトルから出す

3次元空間での直線(方向ベクトルから出す)

3次元の直線(方向ベクトルから出す)

${\rm A}(x_{1},y_{1},z_{1})$ を通り,$\overrightarrow{\mathstrut d}=\begin{pmatrix}l \\ m \\ n \end{pmatrix}$ に平行な直線 $\ell$ は

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OP}=\overrightarrow{\mathstrut \rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut \rm AP}$

$\Longleftrightarrow \overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut d}$

$\Longleftrightarrow \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}l \\ m \\ n \end{pmatrix}$

$\Longleftrightarrow \ $$\begin{cases}\boldsymbol{x=x_{1}+lt} \\ \boldsymbol{y=y_{1}+mt} \\ \boldsymbol{z=z_{1}+nt} \end{cases}$ ←媒介変数表示

↓ $t$ 消去

$\dfrac{x-x_{1}}{l}=\dfrac{y-y_{1}}{m}=\dfrac{z-z_{1}}{n}$


2次元平面内の直線とほぼ同じで $z$ 成分が増えただけなので覚えやすいですね.すぐ媒介変数表示できると強いです.


例題と練習問題

例題

例題

${\rm A}(6,-2,4)$ を通り,$\overrightarrow{\mathstrut d}=(-1,2,1)$ に平行な直線 $l$ において,次の問いに答えよ.

(1) 直線 $l$ と $yz$ 平面の交点の座標を求めよ.

(2) 原点Oから $l$ に下ろした垂線の足を $\rm H$ とするとき,点 $\rm H$ の座標を求めよ.


講義

直線は媒介変数表示で表すと解きやすいです.


解答

(1) 媒介変数表示をすると,$t$ を実数として

$l:\begin{cases}x=6-t \\ y=-2+2t \\ z=4+t \end{cases}$

$yz$ 平面との交点は,$x=0$ と連立すると,$6-t=0 \Longleftrightarrow t=6$

このときの座標は,$\boldsymbol{(0,10,10)}$


(2) $\rm H$$(6-h,-2+2h,4+h)$ とおくと,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OH}$ と $\overrightarrow{\mathstrut d}$ が垂直なので

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OH} \cdot \overrightarrow{\mathstrut d}=\begin{pmatrix}6-h \\ -2+2h \\ 4+h \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=-6+6h=0$

$\therefore \ h=1$

よって,$\rm H$$\boldsymbol{(5,0,5)}$

練習問題

練習

${\rm A}(-2,1,-1)$,${\rm B}(1,3,2)$ を通る直線を $l$ とする.

(1) 原点Oから $l$ に下ろした垂線の足を $\rm H$ とするとき,点 $\rm H$ の座標を求めよ.

(2) ${\rm C}(-2,-2,-2)$ を中心とした半径 $\sqrt{14}$ の球面との交点の座標を求めよ.

練習の解答

(1) 方向ベクトルは $\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$とする.媒介変数表示をすると,$t$ を実数として

$l:\begin{cases}x=-2+3t \\ y=1+2t \\ z=-1+3t \end{cases}$

$\rm H$$(-2+3h,1+2h,-1+3h)$ とおくと,$\overrightarrow{\mathstrut \rm OH}$ と $\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}$ が垂直なので

$\overrightarrow{\mathstrut \rm OH} \cdot \overrightarrow{\mathstrut \rm AB}=\begin{pmatrix}-2+3h \\ 1+2h \\ -1+3h \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}=-7+22h=0$

$\therefore \ h=\dfrac{7}{22}$

よって,$\rm H$$\boldsymbol{\left(-\dfrac{23}{22},\dfrac{18}{11},-\dfrac{1}{22}\right)}$


(2) $l$ と球面 $(x+2)^{2}+(y+2)^{2}+(z+2)^{2}=14$ を連立すると

$(3t)^{2}+(2t+3)^{2}+(3t+1)^{2}=14$

$\Longleftrightarrow 22t^{2}+18t-4=0$

$\Longleftrightarrow 11t^{2}+9t-2=0$

$\Longleftrightarrow (11t-2)(t+1)=0$

$\therefore \ t=-1,\dfrac{2}{11}$

順に $l$ に代入すると交点は,$\boldsymbol{(-5,-1,-4)}$,$\boldsymbol{\left(-\dfrac{16}{11},\dfrac{15}{11},-\dfrac{5}{11}\right)}$