$\dfrac{1}{12}$ 公式(2次関数)
数学ⅡB既習者(難関大対策) ★★★
2次関数が絡んだ面積公式は1/6公式が有名で最重要ですが，2次関数と2接線で囲まれた面積もたまに入試で問われます．
これを $\dfrac{1}{12}$ 公式と名付けると便利ですが，これには1/12公式(3次関数)もあるのでご注意ください．
どちらも余裕のある意欲的な人向けですが，このページはセンター試験や中堅大でよく見る印象です．
$\dfrac{1}{12}$ 公式(2次関数)とその証明
$\displaystyle \dfrac{1}{12}$ 公式(2次関数と2接線で囲まれた面積)
2次関数 $y=ax^{2}+bx+c$ の $x=\alpha$，$x=\beta$ での接線の交点の座標は $\color{red}{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}$で，2次関数と2接線で囲まれた面積 $S_{1}$ は
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{S_{1}=\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3}}$
つまり，以下の赤い箇所の面積 $S_{2}$ とピンクの箇所の面積 $S_{1}$ の比は
$S_{2}:S_{1}=\boldsymbol{\color{red}{2:1}}$
証明
$x=\alpha$，$x=\beta$ での接線はそれぞれ
$y=(2a\alpha+b)(x-\alpha)+a\alpha^{2}+b\alpha+c=(2a\alpha+b)x-a\alpha^{2}+c$
$y=(2a\beta+b)(x-\beta)+a\beta^{2}+b\beta+c=(2a\beta+b)x-a\beta^{2}+c$
辺々引くと，2接線の交点は
$0=2a(\alpha-\beta)x-a(\alpha^{2}-\beta^{2})$
$\Longleftrightarrow \ 0=2ax-a(\alpha+\beta)$
$\therefore \ x=\dfrac{\alpha+\beta}{2}$
$a > 0$ のとき
$S_{1}$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}}\left\{ax^{2}+bx+c-(左の接線)\right\}\,dx+\int_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta}\left\{ax^{2}+bx+c-(右の接線)\right\}\,dx$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}}a\left(x-\alpha\right)^{2}\,dx+\int_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta}a\left(x-\beta\right)^{2}\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{a}{3}(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}}+\left[\dfrac{a}{3}(x-\beta)^{3}\right]_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta}$
$\displaystyle =\dfrac{a}{3}\left(\dfrac{\beta-\alpha}{2}\right)^{3}+\dfrac{a}{3}\left(\dfrac{\beta-\alpha}{2}\right)^{3}$
$=\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^3$
$a < 0$ のとき
$S_{1}$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}}\left\{(左の接線)-ax^{2}+bx+c\right\}\,dx+\int_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta}\left\{(右の接線)-ax^{2}+bx+c\right\}\,dx$
$\displaystyle =\int_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}}(-a)\left(x-\alpha\right)^{2}\,dx+\int_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta}(-a)\left(x-\beta\right)^{2}\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{-a}{3}(x-\alpha)^{3}\right]_{\alpha}^{\frac{\alpha+\beta}{2}}+\left[\dfrac{-a}{3}(x-\beta)^{3}\right]_{\frac{\alpha+\beta}{2}}^{\beta}$
$\displaystyle =-\dfrac{a}{3}\left(\dfrac{\beta-\alpha}{2}\right)^{3}-\dfrac{a}{3}\left(\dfrac{\beta-\alpha}{2}\right)^{3}$
$=-\dfrac{a}{12}(\beta-\alpha)^3$
以上より
$\boldsymbol{S_{1}=\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3}$
$S_{2}$ と $S_{1}$ の比は1/6公式より
$S_{2}:S_{1}$
$\therefore \ \dfrac{|a|}{6}(\beta-\alpha)^3:\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3$
$\therefore \ \boldsymbol{2:1}$
記述式の答案における使用の解釈
私立や国立の記述式の答案でこれを使う場合，なぜこの公式が成り立つか明らかでないので，いきなり公式を使って答えを書くのは減点の恐れがあり，下の例題のように途中過程を書くのが無難です．
マーク式や空所補充等では積極的に使いましょう．
例題と練習問題
例題
例題
放物線 $y=\dfrac{1}{3}x^{2}-\dfrac{4}{3}x+2$ を $C$ とする．$C$ の $(0,2)$ での接線 $\ell$ と，$\left(5,\dfrac{11}{3}\right)$ での接線 $m$ と，放物線 $C$ で囲まれた面積 $S$ を求めよ．
講義
記述式を想定した解答を書きますが，答えのみの形式についても言及します．
解答
(1) $y'=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3}$
$\ell:y=-\dfrac{4}{3}(x-0)+2=-\dfrac{4}{3}x+2$
$m:y=2(x-5)+\dfrac{11}{3}=2x-\dfrac{19}{3}$
$\ell$ と $m$ の交点は
$-\dfrac{4}{3}x+2=2x-\dfrac{19}{3} \Longleftrightarrow x=\dfrac{5}{2}$
$S$
$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{5}{2}}\left\{\dfrac{1}{3}x^{2}-\dfrac{4}{3}x+2-\left(-\dfrac{4}{3}x+2\right)\right\}\,dx+\int_{\frac{5}{2}}^{5}\left\{\dfrac{1}{3}x^{2}-\dfrac{4}{3}x+2-\left(2x-\dfrac{19}{3}\right)\right\}\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{5}{2}}\dfrac{1}{3}x^{2}\,dx+\int_{\frac{5}{2}}^{5}\dfrac{1}{3}\left(x-5\right)^{2}\,dx$ $\cdots$ ☆
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{9}x^{3}\right]_{0}^{\frac{5}{2}}+\left[\dfrac{1}{9}(x-5)^{3}\right]_{\frac{5}{2}}^{5}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{3}+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{3}$
$=\boldsymbol{\dfrac{125}{36}}$
※ ☆にあるように，放物線を接線で引いたときに，必ず接点の $x$ 座標が解になるような2乗の形にできます．これを利用しないと計算が大変です．
答えのみの形式の解答
$\dfrac{1}{12}$ 公式を使って
$S=\color{red}{\dfrac{\left|\frac{1}{3}\right|}{12}(5-0)^3}=\boldsymbol{\dfrac{125}{36}}$
練習問題
練習
放物線 $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+x+3$ を $G$ とする．$G$ の接線 $\ell$ および接線 $m$ があり，$\ell$ と $G$ の接点は $(2,7)$ で，$\ell$ と $m$ の成す角は $45^{\circ}$ である．$m$ の傾きが負であるとき，次の問いに答えよ(答えのみでよい)．
(1) 接線 $m$ の傾きを求めよ．
(2) 接線 $m$ と放物線 $G$ の接点の $x$ 座標を求めよ．
(3) 放物線 $G$，接線 $\ell$，接線 $m$ で囲まれた面積を求めよ．
解答 出典：2019帝京大医学部改
(1) $y'=x+1$ より
$\ell:y=3(x-2)+7=3x+1$
接線 $m$ の傾きは，図のように $x$ 軸に平行に直線を引きなす角を $\alpha$ とすると
$\tan(\alpha+45^{\circ})$
$=\dfrac{\tan\alpha+1}{1-\tan\alpha}$ ←加法定理
$=\dfrac{3+1}{1-3}=\boldsymbol{-2}$
(2) $y'=x+1=-2 \Longleftrightarrow \boldsymbol{x=-3}$
(3) 放物線 $G$，接線 $\ell$，接線 $m$ で囲まれた面積は
$\dfrac{\left|\frac{1}{2}\right|}{12}\left\{2-(-3)\right\}^{3}$ ←$\dfrac{1}{12}$ 公式(2次関数)
$=\boldsymbol{\dfrac{125}{24}}$