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$\dfrac{1}{12}$ 公式(2次関数)

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 


アイキャッチ

2次関数が絡んだ面積公式は1/6公式が有名で最重要ですが,2次関数と2接線で囲まれた面積もたまに入試で問われます.

これを $\dfrac{1}{12}$ 公式と名付けると便利ですが,これには1/12公式(3次関数)もあるのでご注意ください.

どちらも余裕のある意欲的な人向けですが,このページはセンター試験や中堅大でよく見る印象です.





$\dfrac{1}{12}$ 公式(2次関数)とその証明

ポイント

$\displaystyle \dfrac{1}{12}$ 公式(2次関数と2接線で囲まれた面積)

2次関数 $y=ax^{2}+bx+c$ の $x=\alpha$,$x=\beta$ での接線の交点の座標は $\color{red}{\dfrac{\alpha+\beta}{2}}$で,2次関数と2接線で囲まれた面積 $S_{1}$ は


1/12公式(2次関数)

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{S_{1}=\dfrac{|a|}{12}(\beta-\alpha)^3}}$


つまり,以下の赤い箇所の面積 $S_{2}$ とピンクの箇所の面積 $S_{1}$ の比は

1/12公式(2次関数)比

$S_{2}:S_{1}=$ $\boldsymbol{\color{red}{2:1}}$



証明

下に格納しました.

証明



記述式の答案における使用の解釈

私立や国立の記述式の答案でこれを使う場合,なぜこの公式が成り立つか明らかでないので,いきなり公式を使って答えを書くのは減点の恐れがあり,下の例題のように途中過程を書くのが無難です.

マーク式や空所補充等では積極的に使いましょう.




例題と練習問題

例題

例題

放物線 $y=\dfrac{1}{3}x^{2}-\dfrac{4}{3}x+2$ を $C$ とする.$C$ の $(0,2)$ での接線 $\ell$ と,$\left(5,\dfrac{11}{3}\right)$ での接線 $m$ と,放物線 $C$ で囲まれた面積 $S$ を求めよ.


講義

記述式を想定した解答を書きますが,答えのみの形式についても言及します.


解答

(1) $y'=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{4}{3}$

$\ell:y=-\dfrac{4}{3}(x-0)+2=-\dfrac{4}{3}x+2$

$m:y=2(x-5)+\dfrac{11}{3}=2x-\dfrac{19}{3}$

$\ell$ と $m$ の交点は

$-\dfrac{4}{3}x+2=2x-\dfrac{19}{3} \Longleftrightarrow x=\dfrac{5}{2}$

1/12公式(2次関数)例題

 $S$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{5}{2}}\left\{\dfrac{1}{3}x^{2}-\dfrac{4}{3}x+2-\left(-\dfrac{4}{3}x+2\right)\right\}\,dx+\int_{\frac{5}{2}}^{5}\left\{\dfrac{1}{3}x^{2}-\dfrac{4}{3}x+2-\left(2x-\dfrac{19}{3}\right)\right\}\,dx$

$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{5}{2}}\dfrac{1}{3}x^{2}\,dx+\int_{\frac{5}{2}}^{5}\dfrac{1}{3}\left(x-5\right)^{2}\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{9}x^{3}\right]_{0}^{\frac{5}{2}}+\left[\dfrac{1}{9}(x-5)^{3}\right]_{\frac{5}{2}}^{5}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{3}+\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{5}{2}\right)^{3}$

$=\color{red}{\dfrac{\frac{1}{3}}{12}(5-0)^3}$ $\cdots$ ☆

$=\boldsymbol{\dfrac{125}{36}}$

※ 記述式の場合,の行は無視してください.問題の形式が答えのみまたはマーク式の場合,でいきなり$\dfrac{1}{12}$ 公式で出しましょう.



練習問題

練習

放物線 $y=\dfrac{1}{2}x^{2}+x+3$ を $G$ とする.$G$ の接線 $\ell$ および接線 $m$ があり,$\ell$ と $G$ の接点は $(2,7)$ で,$\ell$ と $m$ の成す角は $45^{\circ}$ である.$m$ の傾きが負であるとき,次の問いに答えよ(答えのみでよい).

(1) 接線 $m$ の傾きを求めよ.

(2) 接線 $m$ と放物線 $G$ の接点の $x$ 座標を求めよ.

(3) 放物線 $G$,接線 $\ell$,接線 $m$ で囲まれた面積を求めよ.

練習の解答



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