積分漸化式
積分(数学Ⅲ)(入試の標準) ★★★
積分漸化式を扱います．
部分積分の知識が必須です．
積分漸化式
数列が積分で表現されていて，それが漸化式の形になっている場合，積分漸化式と呼ぶことが多いです．
代表的なものですが，$n$ を $0$ 以上の整数として
$\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}x\,dx$
と定義されたものは
$\displaystyle I_{n}=\frac{n-1}{n}I_{n-2}$
のように漸化式の形で表現できます．
上の積分は当サイトではウォリス積分と呼び，有名なので別で詳しく扱いますが，一般項が簡潔に求められる珍しい積分です(Σを利用したものであれば沢山あります)．
仮に一般項が求められなくても，$I_{10}$ などのように大変な積分も漸化式を利用すれば楽に求められることがあります．
一般項が簡潔な形(Σ等で表現せずに)で表現できるもの(高校範囲)
一般項が簡潔な形(Σ等で表現せずに)で表現できるもの(大学範囲)
・$\displaystyle \int_{0}^{\infty}x^{n}e^{-x}\,dx$ (ガンマ関数の特殊ケース)
例題と練習問題
例題
例題
$n$ を $0$ 以上の整数として
$\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{1}x^{n}e^{-x}\,dx$
と定義する．
(1) $I_{n+1}$ を $I_{n}$ で表せ．
(2) $I_{3}$ を求めよ．
講義
(1)では部分積分を使って漸化式を作ります．(2)は直接求めるよりも(1)の漸化式を使う方が楽でしょう．
解答
以下 $C$ は積分定数とする．
(1)
$\displaystyle \boldsymbol{I_{n+1}}$
$\displaystyle =\int_{0}^{1}x^{n+1}e^{-x}\,dx$
$\displaystyle =\Bigl[x^{n+1}(-e^{-x})\Bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}(n+1)x^{n}(-e^{-x})\,dx$
$\boldsymbol{=-e^{-1}+(n+1)I_{n}}$
(2)
$\displaystyle I_{3}$
$\displaystyle =-e^{-1}+3I_{2}$
$\displaystyle =-e^{-1}+3(-e^{-1}+2I_{1})$
$\displaystyle =-4e^{-1}+6I_{1}$
$\displaystyle =-4e^{-1}+6(-e^{-1}+I_{0})$
$\displaystyle =-10e^{-1}+6I_{0}$
$\displaystyle =-10e^{-1}+6\int_{0}^{1}e^{-x}\,dx$
$\displaystyle =-10e^{-1}+6\Bigl[-e^{-x}\Bigr]_{0}^{1}$
$=\boldsymbol{-16e^{-1}+6}$
練習問題
練習
$n$ を $0$ 以上の整数として
$\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\tan^{n}x\,dx$
と定義する．
(1) $I_{n+2}$ を $I_{n}$ で表せ．
(2) $I_{5}$ を求めよ．
解答
(1)
$\displaystyle I_{n+2}$
$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n+2}x\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n}x\left(\dfrac{1}{\cos^{2}x}-1\right)\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{1} u^{n}\,du-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan^{n}x\,dx$ ( $u=\tan x$ )
$\displaystyle =\dfrac{1}{n+1}-I_{n}$
(2)
$I_{5}$
$=\dfrac{1}{4}-I_{3}$
$=\dfrac{1}{4}-\left(\dfrac{1}{2}-I_{1}\right)$
$\displaystyle =-\dfrac{1}{4}+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{1}{4}-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{-\sin x}{\cos x}\,dx$
$\displaystyle =-\dfrac{1}{4}-\Bigl[\log|\cos x|\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
$\displaystyle =-\dfrac{1}{4}-\log\dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$=\boldsymbol{-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}\log 2}$