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Σ計算(基本編)

数列(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

数列のシグマ公式の紹介と解説です.シグマ公式の証明もあります.習得のための練習問題を多数用意しました.



$\displaystyle \sum$ 記号の見方と定義

導入

唐突ですが,奇数列の $1$ 番目から $n$ 番目までの和を表現したいとき

$1+3+5+\cdots+(2n-1)$

上のように書きますが,これは長ったらしいです.

そこで和を表現するシグマ記号を導入し,上の式は $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)$ のようにすっきり表すことができます.

シグマ記号の説明

シグマ記号は書く場所にルールがあります.上の場合は,シグマの括弧の中を,$k=1$ から $k=n$ まで代入したものを足し続けるという記号です.

ちなみに宣言する変数は,よく $k$ とか $i$ が使われます.

ポイント

$\displaystyle \sum$ の定義と性質

$\displaystyle \sum$ の定義は

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$

であり,これより容易に以下が導ける

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(pa_{k}+qb_{k})=p\sum_{k=1}^{n}a_{k}+q\sum_{k=1}^{n}b_{k}$


これらを基本として,以下の公式を導くことができます.

$\displaystyle \sum$ 公式とその証明

ポイント

$\displaystyle \sum$ 公式

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}c=cn$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{1}{2}n(n+1)$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}$

Ⅰの証明

 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}c=c+c+\cdots+c=cn$

$c$ という定数列です. $n$ 個足してます.


Ⅱの証明

 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=1+2+\cdots+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$

自然数列の和です.等差数列の和の公式によります.


Ⅲの証明

突然ですが,下のシグマの式を書き下すことで簡単にします.

 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k^{3}-(k-1)^{3}\}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\{-(k-1)^{3}+k^3\}$

$\displaystyle =(-0^3+1^3)+(-1^3+2^3)+(-2^3+3^3)+\cdots+\{-(n-1)^{3}+n^3\}$

$\displaystyle =n^3$ $\cdots$ ①


同じシグマの式を,違うアプローチで変形します.

 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k^{3}-(k-1)^{3}\}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\{k^{3}-(k^{3}-3k^{2}+3k-1)\}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(3k^{2}-3k+1)$

$\displaystyle =3\sum_{k=1}^{n}k^{2}-3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1$

$\displaystyle =3\sum_{k=1}^{n}k^{2}-3\cdot \frac{1}{2}n(n+1)+n$ $\cdots$ ②


② $=$ ①より

 $\displaystyle 3\sum_{k=1}^{n}k^{2}-\frac{3}{2}n(n+1)+n=n^3$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 3\sum_{k=1}^{n}k^{2}=n^3+\frac{3}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 3\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{2}n(2n^2+3n+1)$

 $\therefore $ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$


Ⅳの証明

計算の手間が多いですが,Ⅲと同じ方法で証明できますので割愛します.


結果を丸暗記すればいいというわけではなく,証明の理解が長期的には重要です.

特に $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ の証明は説明できる人はかなり少ないです.


例題と練習問題

例題

例題

次の計算をせよ.

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k)$

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+2)$

(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3k^{2}-1)$

(4) $\displaystyle \sum_{k=3}^{n}(k^{2}+1)$

(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{2}-2k+1)$

(6) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}$

(7) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}5\cdot 2^{k}$

(8) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n+k)$


講義

一番解きやすいと思う解き方を書きます.答えは展開,因数分解どちらの形でも構いません.


解答

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k)$

$=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}+\dfrac{1}{2}n(n+1)$

$=\dfrac{1}{2}n(n+1)\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)+1\right\}$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}n(n+1)(n^{2}+n+2)}$


(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+2)$

$=\dfrac{1}{6}(n-1)(n-1+1)\{2(n-1)+1\}+2(n-1)$

$=\dfrac{1}{6}(n-1)\{n(2n-1)+12\}$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}(n-1)(2n^{2}-n+12)}$


(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3k^{2}-1)$

$=3\cdot\dfrac{1}{6} \cdot 10 \cdot 11\cdot 21-10$

$=\boldsymbol{1145}$


(4) $\displaystyle \sum_{k=3}^{n}(k^{2}+1)$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(k^{2}+1)-\sum_{k=1}^{2}(k^{2}+1)$ ←公式は $k=1$ からでないと使えません.

$=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+n-(2+5)$

$=\dfrac{1}{6}n(2n^{2}+3n+1)+n-7$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}n^{3}+\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{7}{6}n-7}$


(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{2}-2k+1)$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}$

$=0^{2}+1^{2}+2^{2}+\cdots+(n-1)^{2}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)}$

※ もちろん素直に計算してもいいのですが,他のシグマ計算に置き換えるという手法をとりました.


(6) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}$

$=\dfrac{3-3\cdot2^{n-1}\cdot2}{1-2}$ ← $\displaystyle \dfrac{初項-末項 \times 公比}{1-公比}$

$=\boldsymbol{3\cdot2^{n}-3}$

※ 必要であれば,等比数列の和の公式をご確認下さい.


(7) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}5\cdot 2^{k}$

$=\dfrac{20-5\cdot2^{n+1}\cdot2}{1-2}$ ← $\displaystyle \dfrac{初項-末項 \times 公比}{1-公比}$

$=\boldsymbol{5\cdot2^{n+2}-20}$

※ $k=2$ のときが書き並べたときの初項ですよね.


(8) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n+k)$

$=n\cdot n+\dfrac{1}{2}n(n+1)$

$=\boldsymbol{\dfrac{n}{2}(3n+1)}$

練習問題

練習

次の計算をせよ.

(1) $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(3i^{2}-i+6)$

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{3}+k^{2})$

(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(3k+1)$

(4) $\displaystyle \sum_{k=4}^{15}(k^{2}+2k)$

(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}$

(6) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1}3\cdot 4^{k-1}$

(7) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{k}2^{i}\right)$

(8) $\displaystyle (n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\cdots+(3n)^{2}$

解答

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(3i^{2}-i+6)$

$=3\cdot\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\dfrac{1}{2}n(n+1)+6n$

$=\dfrac{1}{2}n(n+1)(2n+1-1)+6n$

$=n^{2}(n+1)+6n=\boldsymbol{n^{3}+n^{2}+6n}$


(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{3}+k^{2})$

$=\left\{\dfrac{1}{2}(n-1)n\right\}^{2}+\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)$

$=\dfrac{1}{12}(n-1)n\left\{3(n-1)n+2(2n-1)\right\}$

$=\dfrac{1}{12}(n-1)n(3n^{2}+n-2)$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{12}(n-1)n(n+1)(3n-2)}$


(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(3k+1)$

$=4+7+10+\cdots+301$

$=(4+301)\times 100 \div 2$

$=\boldsymbol{15250}$


(4) $\displaystyle \sum_{k=4}^{15}(k^{2}+2k)$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{15}(k^{2}+2k)-\sum_{k=1}^{3}(k^{2}+2k)$

$=\dfrac{1}{6} \cdot 15 \cdot 16\cdot 31+2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 16-\left(\dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 4\cdot 7+2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4\right)$

$=1240+240-(14+12)=\boldsymbol{1454}$


(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}$

$\displaystyle =\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}$

$=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}\left\{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}\right\}}$


(6) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1}3\cdot 4^{k-1}$

$\displaystyle =\dfrac{12-3\cdot4^{n-2}\cdot4}{1-4}$

$=\boldsymbol{4^{n-1}-4}$


(7) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{k}2^{i}\right)$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{2-2^{k}\cdot2}{1-2}\right)$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left(2^{k+1}-2\right)$

$\displaystyle =\dfrac{4-2^{n+1}\cdot2}{1-2}-2n$

$=\boldsymbol{2^{n+2}-2n-4}$


(8) $\displaystyle (n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\cdots+(3n)^{2}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{3n}k^{2}-\sum_{k=1}^{n}k^{2}$

$=\dfrac{1}{6}3n(3n+1)(6n+1)-\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$=\dfrac{n}{6}\{3(3n+1)(6n+1)-(n+1)(2n+1)\}$

$=\dfrac{n}{6}\{54n^{2}+27n+3-(2n^{2}+3n+1)\}$

$=\boldsymbol{\dfrac{n}{3}(26n^{2}+12n+1)}$

※ $\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}(n+k)^{2}$ を計算してもいいですね.