Σ計算(基本編)
数列(教科書範囲) ★★
Σ(シグマ)表記とΣ公式を扱います．練習問題を多数用意しました．
$\displaystyle \sum$ 記号の見方と定義
導入
唐突ですが，奇数列の $1$ 番目から $n$ 番目までの和を表現したいとき
$1+3+5+\cdots+(2n-1)$
上のように書きますが，これは長ったらしいです．
そこで和を表現するシグマ記号を導入し，上の式は $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)$ のようにすっきり表すことができます．
シグマ記号は書く場所にルールがあります．上の場合は，シグマの括弧の中を，$k=1$ から $k=n$ まで代入したものを足し続けるという記号です．
ちなみに宣言する変数は，よく $k$ とか $i$ が使われます．
$\displaystyle \sum$ の定義と性質
$\displaystyle \sum$ の定義は
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}$
であり，これより容易に以下が導ける
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}(pa_{k}+qb_{k})=p\sum_{k=1}^{n}a_{k}+q\sum_{k=1}^{n}b_{k}}$
これらを基本として，以下の公式を導くことができます．
$\displaystyle \sum$ 公式とその証明
$\displaystyle \sum$ 公式
Ⅰ $\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}c=cn}$
Ⅱ $\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{1}{2}n(n+1)}$
Ⅲ $\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$
Ⅳ $\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}}$
Ⅰの証明
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}c=c+c+\cdots+c=cn$
$c$ という定数列の和です． $n$ 個足してるだけなので簡単です．
Ⅱの証明
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=1+2+\cdots+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$
自然数列の和です．等差数列の和の公式によります．
Ⅲの証明
すぐ次で述べる $\displaystyle \sum$ 計算(差の形)を利用して下のシグマの式を書き下すことで簡単にします．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k^{3}-(k-1)^{3}\}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\{-(k-1)^{3}+k^3\}$
$\displaystyle =(-0^3+1^3)+(-1^3+2^3)+(-2^3+3^3)+\cdots+\{-(n-1)^{3}+n^3\}$
$\displaystyle =n^3$ $\cdots$ ①
同じシグマの式を，違うアプローチで変形します．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k^{3}-(k-1)^{3}\}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\{k^{3}-(k^{3}-3k^{2}+3k-1)\}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(3k^{2}-3k+1)$
$\displaystyle =3\sum_{k=1}^{n}k^{2}-3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1$
$\displaystyle =3\sum_{k=1}^{n}k^{2}-3\cdot \frac{1}{2}n(n+1)+n$ $\cdots$ ②
② $=$ ①より
$\displaystyle 3\sum_{k=1}^{n}k^{2}-\frac{3}{2}n(n+1)+n=n^3$
$\displaystyle \Longleftrightarrow 3\sum_{k=1}^{n}k^{2}=n^3+\frac{3}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n$
$\displaystyle \Longleftrightarrow 3\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{2}n(2n^2+3n+1)$
$\therefore $ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
Ⅳの証明
計算の手間が多いですが，Ⅲと同じ方法で証明できますので割愛します．
今後多用するので暗記は必要ですが，それよりも証明の理解が重要です．
ⅢとⅣの証明では次の形を利用しています．どんなΣ計算も以下の形にすると必ず計算できます．
$\displaystyle \sum$ 計算(差の形)
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}\left\{f(k)-f(k+1)\right\}}$
のようにナンバリングがずれた差の形にすれば計算できる．
※ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left\{f(k)-f(k+2)\right\}$ のようにナンバリングが $2$ ずれてもOKです．それだけ結果が綺麗でなくなります．
これを利用した計算についてはΣ計算(差の形編)で扱います．
例題と練習問題
例題
例題
次の計算をせよ．
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k)$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+2)$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3k^{2}-1)$
(4) $\displaystyle \sum_{k=3}^{n}(k^{2}+1)$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{2}-2k+1)$
(6) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}$
(7) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}5\cdot 2^{k}$
(8) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n+k)$
講義
一番解きやすいと思う解法を書きます．(6)(7)は等比数列の和とわかればその公式を利用します．
解答
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k)$
$=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}+\dfrac{1}{2}n(n+1)$
$=\dfrac{1}{2}n(n+1)\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)+1\right\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}n(n+1)(n^{2}+n+2)}$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+2)$
$=\dfrac{1}{6}(n-1)(n-1+1)\{2(n-1)+1\}+2(n-1)$
$=\dfrac{1}{6}(n-1)\{n(2n-1)+12\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}(n-1)(2n^{2}-n+12)}$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3k^{2}-1)$
$=3\cdot\dfrac{1}{6} \cdot 10 \cdot 11\cdot 21-10$
$=\boldsymbol{1145}$
(4) $\displaystyle \sum_{k=3}^{n}(k^{2}+1)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(k^{2}+1)-\sum_{k=1}^{2}(k^{2}+1)$ ←公式は $k=1$ からでないと使えません．
$=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+n-(2+5)$
$=\dfrac{1}{6}n(2n^{2}+3n+1)+n-7$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}n^{3}+\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{7}{6}n-7}$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{2}-2k+1)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}$
$=0^{2}+1^{2}+2^{2}+\cdots+(n-1)^{2}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)}$
※ もちろん素直に計算してもいいのですが，一度書き下して他のシグマ計算に置き換えるという手法はよく使います．
(6) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}$
$=\dfrac{3-3\cdot2^{n-1}\cdot2}{1-2}$ ← $\displaystyle \dfrac{初項-末項 \times 公比}{1-公比}$
$=\boldsymbol{3\cdot2^{n}-3}$
※ 等比数列の和の公式を使います．
(7) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}5\cdot 2^{k}$
$=20+40+\cdots+5\cdot2^{n+1}$
$=\dfrac{20-5\cdot2^{n+1}\cdot2}{1-2}$ ← $\displaystyle \dfrac{初項-末項 \times 公比}{1-公比}$
$=\boldsymbol{5\cdot2^{n+2}-20}$
※ 困ったら一度書き下してみるのがオススメです．
(8) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n+k)$
$=n\cdot n+\dfrac{1}{2}n(n+1)$
$=\boldsymbol{\dfrac{n}{2}(3n+1)}$
※ $(n+1)+(n+2)+\cdots+2n$ と書き下して等差数列の和で解くのもいいですね．
練習問題
練習
次の計算をせよ．
(1) $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(3i^{2}-i+6)$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{3}+k^{2})$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(3k+1)$
(4) $\displaystyle \sum_{k=4}^{15}(k^{2}+2k)$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}$
(6) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1}3\cdot 4^{k-1}$
(7) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{k}2^{i}\right)$
(8) $\displaystyle (n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\cdots+(3n)^{2}$
解答
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(3i^{2}-i+6)$
$=3\cdot\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\dfrac{1}{2}n(n+1)+6n$
$=\dfrac{1}{2}n(n+1)(2n+1-1)+6n$
$=n^{2}(n+1)+6n=\boldsymbol{n^{3}+n^{2}+6n}$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{3}+k^{2})$
$=\left\{\dfrac{1}{2}(n-1)n\right\}^{2}+\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)$
$=\dfrac{1}{12}(n-1)n\left\{3(n-1)n+2(2n-1)\right\}$
$=\dfrac{1}{12}(n-1)n(3n^{2}+n-2)$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{12}(n-1)n(n+1)(3n-2)}$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(3k+1)$
$=4+7+10+\cdots+301$
$=(4+301)\times 100 \div 2$
$=\boldsymbol{15250}$
(4) $\displaystyle \sum_{k=4}^{15}(k^{2}+2k)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{15}(k^{2}+2k)-\sum_{k=1}^{3}(k^{2}+2k)$
$=\dfrac{1}{6} \cdot 15 \cdot 16\cdot 31+2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 16-\left(\dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 4\cdot 7+2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4\right)$
$=1240+240-(14+12)=\boldsymbol{1454}$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}$
$\displaystyle =\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}$
$=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}\left\{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}\right\}}$
(6) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1}3\cdot 4^{k-1}$
$\displaystyle =\dfrac{12-3\cdot4^{n-2}\cdot4}{1-4}$
$=\boldsymbol{4^{n-1}-4}$
(7) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{k}2^{i}\right)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{2-2^{k}\cdot2}{1-2}\right)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left(2^{k+1}-2\right)$
$\displaystyle =\dfrac{4-2^{n+1}\cdot2}{1-2}-2n$
$=\boldsymbol{2^{n+2}-2n-4}$
(8) $\displaystyle (n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\cdots+(3n)^{2}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{3n}k^{2}-\sum_{k=1}^{n}k^{2}$
$=\dfrac{1}{6}3n(3n+1)(6n+1)-\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$=\dfrac{n}{6}\{3(3n+1)(6n+1)-(n+1)(2n+1)\}$
$=\dfrac{n}{6}\{54n^{2}+27n+3-(2n^{2}+3n+1)\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{n}{3}(26n^{2}+12n+1)}$
※ $\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}(n+k)^{2}$ を計算してもいいですね．