おいしい数学ホームへのリンク

$\displaystyle \sum$ 計算(基本編)

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

数列のシグマ公式の紹介と解説です.シグマ公式の証明もあります.習得のための練習問題を多数用意しました.





$\displaystyle \sum$ 記号の見方と基本

導入

唐突ですが,奇数列の $1$ 番目から $n$ 番目までの和を表現したいとき

$1+3+5+\cdots+(2n-1)$

上のように書きますが,これは長ったらしいです.

そこで和を表現するシグマ記号を導入し,上の式は $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)$ のようにすっきり表すことができます.

シグマ記号の説明

シグマ記号は書く場所にルールがあります.上の場合は,シグマの括弧の中を,$k=1$ から $k=n$ まで代入したものを足し続けますよという記号です.



ポイント

$\displaystyle \sum$ の基本と性質

(基本) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$

(性質) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(pa_{k}+qb_{k})=p\sum_{k=1}^{n}a_{k}+q\sum_{k=1}^{n}b_{k}$


これらを基本として,以下の公式を導くことができます.



$\displaystyle \sum$ 公式とその証明

ポイント

$\displaystyle \sum$ 公式

(ⅰ) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}c=cn$

(ⅱ) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{1}{2}n(n+1)$

(ⅲ) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

(ⅳ) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}$



$\displaystyle \sum$ 公式の証明

下に格納しました.特に,$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}$ の証明は定期試験や入試でよく問われるので,一度理解しておくことをオススメします.

(ⅰ)〜(ⅳ)の証明



例題と練習問題

例題

例題

次の計算をせよ.

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k)$

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+2)$

(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3k^{2}-1)$

(4) $\displaystyle \sum_{k=3}^{n}(k^{2}+1)$

(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{2}-2k+1)$

(6) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}$

(7) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}5\cdot 2^{k}$

(8) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n+k)$


解答

一番解きやすいと思う解き方を書きます.

答えは展開,因数分解どちらの形でも構いません.


(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k)$

$=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}+\dfrac{1}{2}n(n+1)$

$=\dfrac{1}{2}n(n+1)\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)+1\right\}$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}n(n+1)(n^{2}+n+2)}$


(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+2)$

$=\dfrac{1}{6}(n-1)(n-1+1)\{2(n-1)+1\}+2(n-1)$

$=\dfrac{1}{6}(n-1)\{n(2n-1)+12\}$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}(n-1)(2n^{2}-n+12)}$


(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3k^{2}-1)$

$=\dfrac{1}{6} \cdot 10 \cdot 11\cdot 21-10$

$=\boldsymbol{375}$


(4) $\displaystyle \sum_{k=3}^{n}(k^{2}+1)$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(k^{2}+1)-\sum_{k=1}^{2}(k^{2}+1)$ ←公式は $k=1$ からでないと使えません.

$=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+n-(2+5)$

$=\dfrac{1}{6}n(2n^{2}+3n+1)+n-7$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}n^{3}+\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{7}{6}n-7}$


(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{2}-2k+1)$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}$

$=0^{2}+1^{2}+2^{2}+\cdots+(n-1)^{2}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)}$

※ もちろん素直に計算してもいいのですが,他のシグマ計算に置き換えるという手法をとりました.


(6) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}$

$=\dfrac{3-3\cdot2^{n-1}\cdot2}{1-2}$ ← $\displaystyle \dfrac{初項-末項 \times 公比}{1-公比}$

$=\boldsymbol{3\cdot2^{n}-3}$


(7) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}5\cdot 2^{k}$

$=\dfrac{20-5\cdot2^{n+1}\cdot2}{1-2}$ ← $\displaystyle \dfrac{初項-末項 \times 公比}{1-公比}$

$=\boldsymbol{5\cdot2^{n+2}-20}$

※ $k=2$ のときが書き並べたときの初項ですよね.


(8) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n+k)$

$=n\cdot n+\dfrac{1}{2}n(n+1)$

$=\boldsymbol{\dfrac{n}{2}(3n+1)}$



練習問題

練習

次の計算をせよ.

(1) $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(3i^{2}-i+6)$

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{3}+k^{2})$

(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(3k+1)$

(4) $\displaystyle \sum_{k=4}^{15}(k^{2}+2k)$

(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}$

(6) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1}3\cdot 4^{k-1}$

(7) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{k}2^{i}\right)$

(8) $\displaystyle (n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\cdots+(3n)^{2}$

練習の解答



ノートに戻る