$\displaystyle \sum$ 計算(基本編)
タイプ：教科書範囲 レベル：★★
数列のシグマ公式の紹介と解説です．シグマ公式の証明もあります．習得のための練習問題を多数用意しました．
$\displaystyle \sum$ 記号の見方と基本
導入
唐突ですが，奇数列の $1$ 番目から $n$ 番目までの和を表現したいとき
$1+3+5+\cdots+(2n-1)$
上のように書きますが，これは長ったらしいです．
そこで和を表現するシグマ記号を導入し，上の式は $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)$ のようにすっきり表すことができます．
シグマ記号は書く場所にルールがあります．上の場合は，シグマの括弧の中を，$k=1$ から $k=n$ まで代入したものを足し続けますよという記号です．
ポイント
$\displaystyle \sum$ の基本と性質
(基本) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$
(性質) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(pa_{k}+qb_{k})=p\sum_{k=1}^{n}a_{k}+q\sum_{k=1}^{n}b_{k}$
これらを基本として，以下の公式を導くことができます．
$\displaystyle \sum$ 公式とその証明
ポイント
$\displaystyle \sum$ 公式
(ⅰ) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}c=cn$
(ⅱ) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{1}{2}n(n+1)$
(ⅲ) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
(ⅳ) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}$
$\displaystyle \sum$ 公式の証明
下に格納しました．特に，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}$ の証明は定期試験や入試でよく問われるので，一度理解しておくことをオススメします．
(ⅰ)〜(ⅳ)の証明
例題と練習問題
例題
例題
次の計算をせよ．
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k)$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+2)$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3k^{2}-1)$
(4) $\displaystyle \sum_{k=3}^{n}(k^{2}+1)$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{2}-2k+1)$
(6) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}$
(7) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}5\cdot 2^{k}$
(8) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n+k)$
解答
一番解きやすいと思う解き方を書きます．
答えは展開，因数分解どちらの形でも構いません．
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k)$
$=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}+\dfrac{1}{2}n(n+1)$
$=\dfrac{1}{2}n(n+1)\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)+1\right\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}n(n+1)(n^{2}+n+2)}$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+2)$
$=\dfrac{1}{6}(n-1)(n-1+1)\{2(n-1)+1\}+2(n-1)$
$=\dfrac{1}{6}(n-1)\{n(2n-1)+12\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}(n-1)(2n^{2}-n+12)}$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3k^{2}-1)$
$=3\cdot\dfrac{1}{6} \cdot 10 \cdot 11\cdot 21-10$
$=\boldsymbol{1145}$
(4) $\displaystyle \sum_{k=3}^{n}(k^{2}+1)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(k^{2}+1)-\sum_{k=1}^{2}(k^{2}+1)$ ←公式は $k=1$ からでないと使えません．
$=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+n-(2+5)$
$=\dfrac{1}{6}n(2n^{2}+3n+1)+n-7$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}n^{3}+\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{7}{6}n-7}$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{2}-2k+1)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}$
$=0^{2}+1^{2}+2^{2}+\cdots+(n-1)^{2}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)}$
※ もちろん素直に計算してもいいのですが，他のシグマ計算に置き換えるという手法をとりました．
(6) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}$
$=\dfrac{3-3\cdot2^{n-1}\cdot2}{1-2}$ ← $\displaystyle \dfrac{初項-末項 \times 公比}{1-公比}$
$=\boldsymbol{3\cdot2^{n}-3}$
(7) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}5\cdot 2^{k}$
$=\dfrac{20-5\cdot2^{n+1}\cdot2}{1-2}$ ← $\displaystyle \dfrac{初項-末項 \times 公比}{1-公比}$
$=\boldsymbol{5\cdot2^{n+2}-20}$
※ $k=2$ のときが書き並べたときの初項ですよね．
(8) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n+k)$
$=n\cdot n+\dfrac{1}{2}n(n+1)$
$=\boldsymbol{\dfrac{n}{2}(3n+1)}$
練習問題
練習
次の計算をせよ．
(1) $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(3i^{2}-i+6)$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{3}+k^{2})$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(3k+1)$
(4) $\displaystyle \sum_{k=4}^{15}(k^{2}+2k)$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}$
(6) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1}3\cdot 4^{k-1}$
(7) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{k}2^{i}\right)$
(8) $\displaystyle (n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\cdots+(3n)^{2}$
練習の解答