Σ計算(基本編)
数列(教科書範囲) ★★
数列のシグマ公式の紹介と解説です．シグマ公式の証明もあります．習得のための練習問題を多数用意しました．
$\displaystyle \sum$ 記号の見方と定義
導入
唐突ですが，奇数列の $1$ 番目から $n$ 番目までの和を表現したいとき
$1+3+5+\cdots+(2n-1)$
上のように書きますが，これは長ったらしいです．
そこで和を表現するシグマ記号を導入し，上の式は $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)$ のようにすっきり表すことができます．
シグマ記号は書く場所にルールがあります．上の場合は，シグマの括弧の中を，$k=1$ から $k=n$ まで代入したものを足し続けるという記号です．
ちなみに宣言する変数は，よく $k$ とか $i$ が使われます．
ポイント
$\displaystyle \sum$ の定義と性質
$\displaystyle \sum$ の定義は
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}$
であり，これより容易に以下が導ける
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(pa_{k}+qb_{k})=p\sum_{k=1}^{n}a_{k}+q\sum_{k=1}^{n}b_{k}$
これらを基本として，以下の公式を導くことができます．
$\displaystyle \sum$ 公式とその証明
ポイント
$\displaystyle \sum$ 公式
Ⅰ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}c=cn$
Ⅱ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{1}{2}n(n+1)$
Ⅲ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
Ⅳ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}$
$\displaystyle \sum$ 公式の証明
下に格納しました．特に，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{2}$ の証明はよく問われるので一度理解しておくことをオススメします．
Ⅰの証明
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}c=c+c+\cdots+c=cn$
$c$ という定数列です． $n$ 個足してます．
Ⅱの証明
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=1+2+\cdots+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$
自然数列の和です．等差数列の和の公式によります．
Ⅲの証明
突然ですが，下のシグマの式を書き下すことで簡単にします．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k^{3}-(k-1)^{3}\}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\{-(k-1)^{3}+k^3\}$
$\displaystyle =(-0^3+1^3)+(1^3-2^3)+(2^3-3^3)+\cdots+\{-(n-1)^{3}+n^3\}$
$\displaystyle =n^3$ $\cdots$ ①
同じシグマの式を，違うアプローチで変形します．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k^{3}-(k-1)^{3}\}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\{k^{3}-(k^{3}-3k^{2}+3k-1)\}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(3k^{2}-3k+1)$
$\displaystyle =3\sum_{k=1}^{n}k^{2}-3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1$
$\displaystyle =3\sum_{k=1}^{n}k^{2}-3\cdot \frac{1}{2}n(n+1)+n$ $\cdots$ ②
② $=$ ①より
$\displaystyle 3\sum_{k=1}^{n}k^{2}-\frac{3}{2}n(n+1)+n=n^3$
$\displaystyle \Longleftrightarrow 3\sum_{k=1}^{n}k^{2}=n^3+\frac{3}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n$
$\displaystyle \Longleftrightarrow 3\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{2}n(2n^2+3n+1)$
$\therefore $ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
Ⅳの証明
計算の手間が多いですが，Ⅲと同じ方法で証明できますので割愛します．
例題と練習問題
例題
例題
次の計算をせよ．
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k)$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+2)$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3k^{2}-1)$
(4) $\displaystyle \sum_{k=3}^{n}(k^{2}+1)$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{2}-2k+1)$
(6) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}$
(7) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}5\cdot 2^{k}$
(8) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n+k)$
講義
一番解きやすいと思う解き方を書きます．答えは展開，因数分解どちらの形でも構いません．
解答
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k)$
$=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}+\dfrac{1}{2}n(n+1)$
$=\dfrac{1}{2}n(n+1)\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)+1\right\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}n(n+1)(n^{2}+n+2)}$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+2)$
$=\dfrac{1}{6}(n-1)(n-1+1)\{2(n-1)+1\}+2(n-1)$
$=\dfrac{1}{6}(n-1)\{n(2n-1)+12\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}(n-1)(2n^{2}-n+12)}$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3k^{2}-1)$
$=3\cdot\dfrac{1}{6} \cdot 10 \cdot 11\cdot 21-10$
$=\boldsymbol{1145}$
(4) $\displaystyle \sum_{k=3}^{n}(k^{2}+1)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(k^{2}+1)-\sum_{k=1}^{2}(k^{2}+1)$ ←公式は $k=1$ からでないと使えません．
$=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+n-(2+5)$
$=\dfrac{1}{6}n(2n^{2}+3n+1)+n-7$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}n^{3}+\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{7}{6}n-7}$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{2}-2k+1)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}$
$=0^{2}+1^{2}+2^{2}+\cdots+(n-1)^{2}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)}$
※ もちろん素直に計算してもいいのですが，他のシグマ計算に置き換えるという手法をとりました．
(6) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}$
$=\dfrac{3-3\cdot2^{n-1}\cdot2}{1-2}$ ← $\displaystyle \dfrac{初項-末項 \times 公比}{1-公比}$
$=\boldsymbol{3\cdot2^{n}-3}$
※ 必要であれば，等比数列の和の公式をご確認下さい．
(7) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}5\cdot 2^{k}$
$=\dfrac{20-5\cdot2^{n+1}\cdot2}{1-2}$ ← $\displaystyle \dfrac{初項-末項 \times 公比}{1-公比}$
$=\boldsymbol{5\cdot2^{n+2}-20}$
※ $k=2$ のときが書き並べたときの初項ですよね．
(8) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n+k)$
$=n\cdot n+\dfrac{1}{2}n(n+1)$
$=\boldsymbol{\dfrac{n}{2}(3n+1)}$
練習問題
練習
次の計算をせよ．
(1) $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(3i^{2}-i+6)$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{3}+k^{2})$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(3k+1)$
(4) $\displaystyle \sum_{k=4}^{15}(k^{2}+2k)$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}$
(6) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1}3\cdot 4^{k-1}$
(7) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{k}2^{i}\right)$
(8) $\displaystyle (n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\cdots+(3n)^{2}$
解答
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(3i^{2}-i+6)$
$=3\cdot\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\dfrac{1}{2}n(n+1)+6n$
$=\dfrac{1}{2}n(n+1)(2n+1-1)+6n$
$=n^{2}(n+1)+6n=\boldsymbol{n^{3}+n^{2}+6n}$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{3}+k^{2})$
$=\left\{\dfrac{1}{2}(n-1)n\right\}^{2}+\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)$
$=\dfrac{1}{12}(n-1)n\left\{3(n-1)n+2(2n-1)\right\}$
$=\dfrac{1}{12}(n-1)n(3n^{2}+n-2)$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{12}(n-1)n(n+1)(3n-2)}$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(3k+1)$
$=4+7+10+\cdots+301$
$=(4+301)\times 100 \div 2$
$=\boldsymbol{15250}$
(4) $\displaystyle \sum_{k=4}^{15}(k^{2}+2k)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{15}(k^{2}+2k)-\sum_{k=1}^{3}(k^{2}+2k)$
$=\dfrac{1}{6} \cdot 15 \cdot 16\cdot 31+2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 16-\left(\dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 4\cdot 7+2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4\right)$
$=1240+240-(14+12)=\boldsymbol{1454}$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}$
$\displaystyle =\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}$
$=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}\left\{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}\right\}}$
(6) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1}3\cdot 4^{k-1}$
$\displaystyle =\dfrac{12-3\cdot4^{n-2}\cdot4}{1-4}$
$=\boldsymbol{4^{n-1}-4}$
(7) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{k}2^{i}\right)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{2-2^{k}\cdot2}{1-2}\right)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left(2^{k+1}-2\right)$
$\displaystyle =\dfrac{4-2^{n+1}\cdot2}{1-2}-2n$
$=\boldsymbol{2^{n+2}-2n-4}$
(8) $\displaystyle (n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\cdots+(3n)^{2}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{3n}k^{2}-\sum_{k=1}^{n}k^{2}$
$=\dfrac{1}{6}3n(3n+1)(6n+1)-\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$=\dfrac{n}{6}\{3(3n+1)(6n+1)-(n+1)(2n+1)\}$
$=\dfrac{n}{6}\{54n^{2}+27n+3-(2n^{2}+3n+1)\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{n}{3}(26n^{2}+12n+1)}$
※ $\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}(n+k)^{2}$ を計算してもいいですね．