Σ計算(基本編)
数列(教科書範囲) ★★
Σ(シグマ)表記とΣ公式を扱います．練習問題を多数用意しました．
$\displaystyle \sum$ 記号の見方と定義
導入
唐突ですが，奇数列の $1$ 番目から $n$ 番目までの和を表現したいとき
$1+3+5+\cdots+(2n-1)$
上のように書きますが，これは長ったらしいです．
そこで和を表現するシグマ記号を導入し，上の式は $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(2k-1)$ のようにすっきり表すことができます．
シグマ記号は書く場所にルールがあります．上の場合は，シグマの括弧の中を，$k=1$ から $k=n$ まで代入したものを足し続けるという記号です．
ちなみに宣言する変数は，よく $k$ とか $i$ が使われます．
ポイント
$\displaystyle \sum$ の定義と性質
$\displaystyle \sum$ の定義は
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}$
であり，これより容易に以下が導ける
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}(pa_{k}+qb_{k})=p\sum_{k=1}^{n}a_{k}+q\sum_{k=1}^{n}b_{k}}$
これらを基本として，以下の公式を導くことができます．
$\displaystyle \sum$ 公式とその証明
ポイント
$\displaystyle \sum$ 公式
Ⅰ $\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}c=cn}$
Ⅱ $\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{1}{2}n(n+1)}$
Ⅲ $\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)}$
Ⅳ $\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}k^{3}=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}}$
Ⅰの証明
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}c=c+c+\cdots+c=cn$
$c$ という定数列の和です． $n$ 個足してるだけなので簡単です．
Ⅱの証明
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=1+2+\cdots+n=\dfrac{1}{2}n(n+1)$
自然数列の和です．等差数列の和の公式によります．
Ⅲの証明
すぐ次で述べる $\displaystyle \sum$ 計算(差の形)を利用して下のシグマの式を書き下すことで簡単にします．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k^{3}-(k-1)^{3}\}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\{-(k-1)^{3}+k^3\}$
$\displaystyle =(-0^3+1^3)+(-1^3+2^3)+(-2^3+3^3)+\cdots+\{-(n-1)^{3}+n^3\}$
$\displaystyle =n^3$ $\cdots$ ①
同じシグマの式を，違うアプローチで変形します．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{k^{3}-(k-1)^{3}\}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\{k^{3}-(k^{3}-3k^{2}+3k-1)\}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(3k^{2}-3k+1)$
$\displaystyle =3\sum_{k=1}^{n}k^{2}-3\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1$
$\displaystyle =3\sum_{k=1}^{n}k^{2}-3\cdot \frac{1}{2}n(n+1)+n$ $\cdots$ ②
② $=$ ①より
$\displaystyle 3\sum_{k=1}^{n}k^{2}-\frac{3}{2}n(n+1)+n=n^3$
$\displaystyle \Longleftrightarrow 3\sum_{k=1}^{n}k^{2}=n^3+\frac{3}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n$
$\displaystyle \Longleftrightarrow 3\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{1}{2}n(2n^2+3n+1)$
$\therefore $ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
Ⅳの証明
計算の手間が多いですが，Ⅲと同じ方法で証明できますので割愛します．
今後多用するので暗記は必要ですが，それよりも証明の理解が重要です．
ⅢとⅣの証明では次の形を利用しています．どんなΣ計算も以下の形にすると必ず計算できます．
ポイント
$\displaystyle \sum$ 計算(差の形)
$\displaystyle \boldsymbol{\sum_{k=1}^{n}\left\{f(k)-f(k+1)\right\}}$
のようにナンバリングがずれた差の形にすれば計算できる．
※ $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left\{f(k)-f(k+2)\right\}$ のようにナンバリングが $2$ ずれてもOKです．それだけ結果が綺麗でなくなります．
これを利用した計算についてはΣ計算(差の形編)で扱います．
例題と練習問題
例題
例題
次の計算をせよ．
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k)$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+2)$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3k^{2}-1)$
(4) $\displaystyle \sum_{k=3}^{n}(k^{2}+1)$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{2}-2k+1)$
(6) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}$
(7) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}5\cdot 2^{k}$
(8) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n+k)$
講義
一番解きやすいと思う解法を書きます．(6)(7)は等比数列の和とわかればその公式を利用します．
解答
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{3}+k)$
$=\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^{2}+\dfrac{1}{2}n(n+1)$
$=\dfrac{1}{2}n(n+1)\left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)+1\right\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}n(n+1)(n^{2}+n+2)}$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{2}+2)$
$=\dfrac{1}{6}(n-1)(n-1+1)\{2(n-1)+1\}+2(n-1)$
$=\dfrac{1}{6}(n-1)\{n(2n-1)+12\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}(n-1)(2n^{2}-n+12)}$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{10}(3k^{2}-1)$
$=3\cdot\dfrac{1}{6} \cdot 10 \cdot 11\cdot 21-10$
$=\boldsymbol{1145}$
(4) $\displaystyle \sum_{k=3}^{n}(k^{2}+1)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(k^{2}+1)-\sum_{k=1}^{2}(k^{2}+1)$ ←公式は $k=1$ からでないと使えません．
$=\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+n-(2+5)$
$=\dfrac{1}{6}n(2n^{2}+3n+1)+n-7$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}n^{3}+\dfrac{1}{2}n^{2}+\dfrac{7}{6}n-7}$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(k^{2}-2k+1)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}(k-1)^{2}$
$=0^{2}+1^{2}+2^{2}+\cdots+(n-1)^{2}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n-1}k^{2}$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)}$
※ もちろん素直に計算してもいいのですが，他のシグマ計算に置き換えるという手法をとりました．
(6) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}3\cdot 2^{k-1}$
$=\dfrac{3-3\cdot2^{n-1}\cdot2}{1-2}$ ← $\displaystyle \dfrac{初項-末項 \times 公比}{1-公比}$
$=\boldsymbol{3\cdot2^{n}-3}$
※ 必要であれば，等比数列の和の公式をご確認下さい．
(7) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n+1}5\cdot 2^{k}$
$=\dfrac{20-5\cdot2^{n+1}\cdot2}{1-2}$ ← $\displaystyle \dfrac{初項-末項 \times 公比}{1-公比}$
$=\boldsymbol{5\cdot2^{n+2}-20}$
※ $k=2$ のときが書き並べたときの初項ですよね．
(8) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(n+k)$
$=n\cdot n+\dfrac{1}{2}n(n+1)$
$=\boldsymbol{\dfrac{n}{2}(3n+1)}$
練習問題
練習
次の計算をせよ．
(1) $\displaystyle \sum_{i=1}^{n}(3i^{2}-i+6)$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{3}+k^{2})$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(3k+1)$
(4) $\displaystyle \sum_{k=4}^{15}(k^{2}+2k)$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}$
(6) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1}3\cdot 4^{k-1}$
(7) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{k}2^{i}\right)$
(8) $\displaystyle (n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\cdots+(3n)^{2}$
解答
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(3i^{2}-i+6)$
$=3\cdot\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)-\dfrac{1}{2}n(n+1)+6n$
$=\dfrac{1}{2}n(n+1)(2n+1-1)+6n$
$=n^{2}(n+1)+6n=\boldsymbol{n^{3}+n^{2}+6n}$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(k^{3}+k^{2})$
$=\left\{\dfrac{1}{2}(n-1)n\right\}^{2}+\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)$
$=\dfrac{1}{12}(n-1)n\left\{3(n-1)n+2(2n-1)\right\}$
$=\dfrac{1}{12}(n-1)n(3n^{2}+n-2)$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{12}(n-1)n(n+1)(3n-2)}$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{100}(3k+1)$
$=4+7+10+\cdots+301$
$=(4+301)\times 100 \div 2$
$=\boldsymbol{15250}$
(4) $\displaystyle \sum_{k=4}^{15}(k^{2}+2k)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{15}(k^{2}+2k)-\sum_{k=1}^{3}(k^{2}+2k)$
$=\dfrac{1}{6} \cdot 15 \cdot 16\cdot 31+2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 15 \cdot 16-\left(\dfrac{1}{6} \cdot 3 \cdot 4\cdot 7+2\cdot \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4\right)$
$=1240+240-(14+12)=\boldsymbol{1454}$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k-1}$
$\displaystyle =\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{3}}$
$=\boldsymbol{\dfrac{3}{2}\left\{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}\right\}}$
(6) $\displaystyle \sum_{k=2}^{n-1}3\cdot 4^{k-1}$
$\displaystyle =\dfrac{12-3\cdot4^{n-2}\cdot4}{1-4}$
$=\boldsymbol{4^{n-1}-4}$
(7) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\sum_{i=1}^{k}2^{i}\right)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{2-2^{k}\cdot2}{1-2}\right)$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left(2^{k+1}-2\right)$
$\displaystyle =\dfrac{4-2^{n+1}\cdot2}{1-2}-2n$
$=\boldsymbol{2^{n+2}-2n-4}$
(8) $\displaystyle (n+1)^{2}+(n+2)^{2}+\cdots+(3n)^{2}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{3n}k^{2}-\sum_{k=1}^{n}k^{2}$
$=\dfrac{1}{6}3n(3n+1)(6n+1)-\dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
$=\dfrac{n}{6}\{3(3n+1)(6n+1)-(n+1)(2n+1)\}$
$=\dfrac{n}{6}\{54n^{2}+27n+3-(2n^{2}+3n+1)\}$
$=\boldsymbol{\dfrac{n}{3}(26n^{2}+12n+1)}$
※ $\displaystyle \sum_{k=1}^{2n}(n+k)^{2}$ を計算してもいいですね．