$\displaystyle \sum$ 計算(部分分数分解編)
タイプ：教科書範囲 レベル：★★★
今回は，Σ公式が使えない和に対して，どうアプローチするかという話です．
数Ⅱで学習した部分分数分解等を使って解く問題を扱います．
数列でよく使う部分分数分解
ポイント
数列でよく使う部分分数分解
2つパターン
$\displaystyle \dfrac{1}{AB}=\dfrac{1}{B-A}\left(\dfrac{1}{A}-\dfrac{1}{B}\right)$
3つパターン
$\displaystyle \dfrac{1}{ABC}=\dfrac{1}{C-A}\left(\dfrac{1}{AB}-\dfrac{1}{BC}\right)$
証明は右辺展開で簡単です．
下の問題で使い方を確認します．
例題と練習問題
例題
例題
次の計算をせよ．
(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$
講義
$\boldsymbol{k}$ が分母にあるのでΣ公式は使えません．
部分分数分解か有理化等をして，強引にナンバリングがずれた差を作ります．
解答
(1)
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}$$\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)$ ←部分分数分解
$\displaystyle =\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$
↑書き出します．なんと項の隣同士が消えて，最初と最後が残ります
$\displaystyle =\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{n+1}$
$=\boldsymbol{\dfrac{n}{n+1}}$
(2) この問題は部分分数分解は使いませんが，隣同士を消すという考え方は同じです．
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$$\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}$
$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left(-\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\right)$
$=(-1+\sqrt{2})+(-\sqrt{2}+\sqrt{3})+(-\sqrt{3}+\sqrt{4})+\cdots+(-\sqrt{n-1}+\sqrt{n})+(-\sqrt{n}+\sqrt{n+1})$
↑書き出します．なんと項の隣同士が消えて，最初と最後が残ります
$=\boldsymbol{-1+\sqrt{n+1}}$
練習問題
練習
次の計算をせよ．
(1) $\displaystyle \dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot7}+\cdots+\dfrac{1}{99\cdot101}$
(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+2)}$
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}$
(4) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$
(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+2}$
練習の解答