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$\displaystyle \sum$ 計算(部分分数分解編)

タイプ:教科書範囲 レベル:★★★ 


アイキャッチ

今回は,Σ公式が使えない和に対して,どうアプローチするかという話です.

数Ⅱで学習した部分分数分解等を使って解く問題を扱います.





数列でよく使う部分分数分解

ポイント

数列でよく使う部分分数分解

2つパターン

$\displaystyle \dfrac{1}{AB}=\dfrac{1}{B-A}\left(\dfrac{1}{A}-\dfrac{1}{B}\right)$

3つパターン

$\displaystyle \dfrac{1}{ABC}=\dfrac{1}{C-A}\left(\dfrac{1}{AB}-\dfrac{1}{BC}\right)$


証明は右辺展開で簡単です.

下の問題で使い方を確認します.




例題と練習問題

例題

例題

次の計算をせよ.

(1) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}$

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$


講義

$\boldsymbol{k}$ が分母にあるのでΣ公式は使えません.

部分分数分解か有理化等をして,強引にナンバリングがずれた差を作ります.


解答

(1)

 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}$$\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)$  ←部分分数分解

$\displaystyle =\left(\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}\right)+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right)+\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\right)+\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)$

↑書き出します.なんと項の隣同士が消えて,最初と最後が残ります

$\displaystyle =\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{n+1}$

$=\boldsymbol{\dfrac{n}{n+1}}$


(2) この問題は部分分数分解は使いませんが,隣同士を消すという考え方は同じです.

 $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$$\dfrac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left(-\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\right)$

$=(-1+\sqrt{2})+(-\sqrt{2}+\sqrt{3})+(-\sqrt{3}+\sqrt{4})+\cdots+(-\sqrt{n-1}+\sqrt{n})+(-\sqrt{n}+\sqrt{n+1})$

↑書き出します.なんと項の隣同士が消えて,最初と最後が残ります

$=\boldsymbol{-1+\sqrt{n+1}}$



練習問題

練習

次の計算をせよ.

(1) $\displaystyle \dfrac{1}{1\cdot3}+\dfrac{1}{3\cdot5}+\dfrac{1}{5\cdot7}+\cdots+\dfrac{1}{99\cdot101}$

(2) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+2)}$

(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k+1}}$

(4) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)(k+2)(k+3)}$

(5) $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\dfrac{2k+5}{(2k+1)(2k+3)}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{k+2}$

練習の解答



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