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部分分数分解の主要パターン

式と証明(教科書範囲) ★★★


アイキャッチ

部分分数分解の主なパターンの紹介と,分解の手法について扱います.



部分分数分解の主要パターンとルール

部分分数分解とは

例えば

$\dfrac{11x+2}{(x+1)(2x+1)}=\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{5}{2x-1}$

のように,左辺の分母の因数を分母にもつ分数式に分解することです.

数学Bの数列でのシグマ計算や,数学Ⅲの積分で部分分数分解ができないと問題が解けなくて困ることがあります.

ポイント

部分分数分解の主要パターン

$\dfrac{px+q}{(ax+b)(cx+d)}=\dfrac{\alpha}{ax+b}+\dfrac{\beta}{cx+d}$

$\dfrac{px+q}{(ax+b)^2}=\dfrac{\alpha}{ax+b}+\dfrac{\beta}{(ax+b)^2}$

$\dfrac{px^{2}+qx+r}{(ax+b)(cx+d)(ex+f)}=\dfrac{\alpha}{ax+b}+\dfrac{\beta}{cx+d}+\dfrac{\gamma}{ex+f}$

$\dfrac{px^{2}+qx+r}{(ax+b)^{2}(cx+d)}=\dfrac{\alpha}{ax+b}+\dfrac{\beta}{(ax+b)^2}+\dfrac{\gamma}{cx+d}$

$\dfrac{px^{2}+qx+r}{(ax+b)(cx^{2}+dx+e)}=\dfrac{\alpha}{ax+b}+\dfrac{\beta x+\gamma}{cx^{2}+dx+e}$

※上の文字どれかが $0$ になることもあります.


以上が部分分数分解の主要なパターンになります.

何をもって主要かというと,これ以上複雑になると未知数が $\alpha$,$\beta$,$\gamma$,$\delta$ など4つ以上に及び,算出するのが困難なだけです.当然これらのパターンしかないというというわけではありません.

ポイント

部分分数分解のルール

(ⅰ) 分母の因数を分母とした,真分数式(分子の方が次数が低い式)の和に展開できる.

(ⅱ) 分母の因数に累乗があれば,その指数以下のすべての累乗を分母とした分数式をすべて考慮する.

(ⅰ),(ⅱ)を踏まえれば例えば

$\dfrac{4x^{7}+19x^{6}+44x^{5}+62x^{4}+60x^{3}+35x^{2}+13x+1}{x(x+1)^{3}(x^{2}+x+1)^{2}}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{3}{(x+1)^2}+\dfrac{4}{(x+1)^3}+\dfrac{2x-1}{x^{2}+x+1}+\dfrac{x+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}$

のように,分解しようと思えば理論的には上のようにできるが,人間が解く問題としては大変なだけですね.


深い内容は大学の代数学に譲ります.

当ページとしては,主要パターンの部分分数分解をこなせるようになることを目的とします.

部分分数分解の仕方

ポイント

部分分数分解の仕方

Ⅰ 未定係数を設定し分解して,分母をはらって係数比較法

Ⅱ 未定係数を設定し分解して,分母をはらって数値代入法

Ⅲ 簡単な部分分数分解公式

$\displaystyle \dfrac{1}{AB}=\dfrac{1}{B-A}\left(\dfrac{1}{A}-\dfrac{1}{B}\right)$

を使う.

※ $A$,$B$ は多項式で,$B-A$ が定数


問題に応じて,解きやすい方を選びます.未定係数を決定する際の詳細は恒等式の未定係数法をご参考ください.


例題と練習問題

例題

例題

次の式を部分分数分解をせよ.

(1) $\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}$

(2) $\dfrac{5x+7}{(x+1)(2x+3)}$

(3) $\dfrac{4x+5}{(x+2)^{2}}$

(4) $\dfrac{8x^{2}-5x+1}{x(2x-1)^2}$

(5) $\dfrac{3x^{2}-2x+4}{x^{3}+1}$


講義

部分分数分解の仕方でのⅠ,Ⅱはどの問題でも解けます.Ⅲが使えそうならⅢで解きましょう.


解答

(1) Ⅲを使うのが楽です( $A=x+1$,$B=x+2$ として).

 $\dfrac{1}{(x+1)(x+2)}$

$=\dfrac{1}{x+2-(x+1)}\left(\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}\right)$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{x+2}}$


(2) Ⅰで解きます.

$\dfrac{5x+7}{(x+1)(2x+3)}=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{2x+3}$

として,両辺 $(x+1)(2x+3)$ 倍すると

$5x+7=a(2x+3)+b(x+1)$

係数比較すると

$\begin{cases}5=2a+b \\ 7=3a+b\end{cases}$ $\therefore \ a=2$,$b=1$

$\therefore \ \dfrac{5x+7}{(x+1)(2x+3)}=\boldsymbol{\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{2x+3}}$


(3) もちろん他と同じように解けますが,式変形だけで分解できると思います.

$\dfrac{4x+5}{(x+2)^{2}}=\dfrac{4(x+2)-3}{(x+2)^{2}}=\boldsymbol{\dfrac{4}{x+2}-\dfrac{3}{(x+2)^{2}}}$


(4) Ⅱで解きます.

$\dfrac{8x^{2}-5x+1}{x(2x-1)^2}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{2x-1}+\dfrac{c}{(2x-1)^2}$

として,両辺 $x(2x-1)^2$ 倍すると

$8x^{2}-5x+1=a(2x-1)^2+bx(2x-1)+cx$

$x=\dfrac{1}{2}$,$0$,$1$ をそれぞれ代入すると

$\begin{cases}\dfrac{1}{2}=\dfrac{c}{2} \\ 1=a \\ 4=a+b+c \end{cases}$ $\therefore \ a=1$,$b=2$,$c=1$

逆にこのとき

 $(2x-1)^2+2x(2x-1)+x$

$=8x^{2}-5x+1$

より恒等式となる.

$\dfrac{8x^{2}-5x+1}{x(2x-1)^2}=\boldsymbol{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{(2x-1)^2}}$

※ $\dfrac{8x^{2}-5x+1}{x(2x-1)^2}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{2x-1}+\dfrac{c}{(2x-1)^2}$ は $x=\dfrac{1}{2}$,$0$,$1$ が定義できないですが,両辺 $x(2x-1)^2$ 倍した式はこれらの値が定義できるので代入可能です.


(5) Ⅱで解きます.

$\dfrac{3x^{2}-2x+4}{x^{3}+1}=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{bx+c}{x^{2}-x+1}$

として,両辺 $(x+1)(x^{2}-x+1)$ 倍すると

$3x^{2}-2x+4=a(x^{2}-x+1)+(bx+c)(x+1)$

$x=-1$,$0$,$1$ をそれぞれ代入すると

$\begin{cases}9=3a \\ 4=a+c \\ 5=a+2b+2c \end{cases}$ $\therefore \ a=3$,$b=0$,$c=1$

逆にこのとき

 $3(x^{2}-x+1)+(x+1)$

$=3x^{2}-2x+4$

より恒等式となる.

$\dfrac{3x^{2}-2x+4}{x^{3}+1}=\boldsymbol{\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{1}{x^{2}-x+1}}$

※ (4)も(5)も,次数より多くの値を代入して得られたものは恒等式として成立するので,数学的には逆の確認が不要で,実はその確認が無くても減点はされないはずです.

練習問題

練習

次の式を部分分数分解をせよ.

(1) $\dfrac{1}{(3n-1)(3n+2)}$

(2) $\dfrac{26x-5}{2(2x+1)(4x-1)}$

(3) $\dfrac{4x^{2}+12x+10}{(x+1)(x+2)(x+3)}$

(4) $\dfrac{9x^{2}}{(x-1)^{2}(x+2)}$

(5) $\dfrac{x^{3}+2x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}+1)}$

練習の解答

(1)

 $\dfrac{1}{(3n-1)(3n+2)}$

$=\dfrac{1}{3n+2-(3n-1)}\left(\dfrac{1}{3n-1}-\dfrac{1}{3n+2}\right)$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{3n-1}-\dfrac{1}{3n+2}\right)}$


(2)

$\dfrac{26x-5}{2(2x+1)(4x-1)}=\dfrac{a}{2x+1}+\dfrac{b}{4x-1}$

として,両辺 $2(2x+1)(4x-1)$ 倍すると

$26x-5=a(8x-2)+b(4x+2)$

$x=-\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{1}{4}$ をそれぞれ代入すると

$\begin{cases}-18=-6a \\ \dfrac{3}{2}=3b\end{cases}$ $\therefore \ a=3$,$b=\dfrac{1}{2}$

逆にこのとき

 $3(8x-2)+\dfrac{1}{2}(4x+2)$

$=26x-5$

より恒等式となる.

$\dfrac{26x-5}{2(2x+1)(4x-1)}=\boldsymbol{\dfrac{3}{2x+1}+\dfrac{1}{2(4x-1)}}$


(3)

$\dfrac{4x^{2}+12x+10}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{b}{x+2}+\dfrac{c}{x+3}$

として,両辺 $(x+1)(x+2)(x+3)$ 倍すると

$4x^{2}+12x+10=a(x+2)(x+3)+b(x+1)(x+3)+c(x+1)(x+2)$

$x=-1$,$-2$,$-3$ をそれぞれ代入すると

$\begin{cases}2=2a \\ 2=-b \\ 10=2c \end{cases}$ $\therefore \ a=1$,$b=-2$,$c=5$

逆にこのとき

 $(x+2)(x+3)-2(x+1)(x+3)+5(x+1)(x+2)$

$=4x^{2}+12x+10$

より恒等式となる.

$\dfrac{4x^{2}+12x+10}{(x+1)(x+2)(x+3)}=\boldsymbol{\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{5}{x+3}}$


(4)

$\dfrac{9x^{2}}{(x-1)^{2}(x+2)}=\dfrac{a}{x-1}+\dfrac{b}{(x-1)^2}+\dfrac{c}{x+2}$

として,両辺 $(x-1)^{2}(x+2)$ 倍すると

$9x^{2}=a(x-1)(x+2)+b(x+2)+c(x-1)^2$

$x=1$,$-2$,$0$ をそれぞれ代入すると

$\begin{cases}9=3b \\ 36=9c \\ 0=-2a+2b+c \end{cases}$ $\therefore a=5$,$b=3$,$c=4$

逆にこのとき

 $5(x-1)(x+2)+3(x+2)+4(x-1)^2$

$=9x^{2}$

より恒等式となる.

$\dfrac{9x^{2}}{(x-1)^{2}(x+2)}=\boldsymbol{\dfrac{5}{x-1}+\dfrac{3}{(x-1)^2}+\dfrac{4}{x+2}}$

※ (2)〜(4)ですが,次数より多くの値を代入して得られたものは恒等式として成立するので,逆の確認が無くても減点はされないはずです.


(5)

$\dfrac{x^{3}+2x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}+1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{cx+d}{x^{2}+1}$

として,両辺 $x^{2}(x^{2}+1)$ 倍すると

$x^{3}+2x^{2}+1=ax(x^{2}+1)+b(x^{2}+1)+(cx+d)x^{2}$

右辺を整理して

$x^{3}+2x^{2}+1=(a+c)x^{3}+(b+d)x^{2}+ax+b$

係数比較すると

$\begin{cases}1=a+c \\ 2=b+d \\ 0=a \\ 1=b \end{cases}$

$\therefore a=0$,$b=1$,$c=0$,$d=1$

$\therefore \ \dfrac{x^{3}+2x^{2}+1}{x^{2}(x^{2}+1)}=\boldsymbol{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x+1}{x^{2}+1}}$