分数関数の積分
積分(数学Ⅲ)(教科書範囲) ★★
分数関数，特に分母と分子が多項式である有理関数の積分について扱います．
このページでは不定積分と定積分を同時に扱います．
分数関数の積分の基本解法
分数関数の積分では
$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{x^{2}+2x-2}{x-1}\,dx=\int_{}^{} \ \left(x+3+\dfrac{1}{x-1}\right)\,dx$
上のように，左の形で出されたら，右のように変形しないと求められません．
算数での分数での表記に倣って，左の形を仮分数式，右の形を帯分数式とこのページでは呼ぶことにします．つまり
真分数式：分子の次数 $<$ 分母の次数
仮分数式：分子の次数 $\geqq$ 分母の次数
帯分数式 $=$ 整式 $+$ 真分数式
とします．
また，真分数式の積分は
$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{1}{x^{2}-1}\,dx=\int_{}^{} \ \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}\right)\,dx$
のように，部分分数分解をしてできるだけ簡単にしてから積分します．
分数関数の積分の基本解法
$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx$
↓ 真分数式でなく仮分数式のとき
$\displaystyle \int_{}^{} \ \left(R(x)+\dfrac{S(x)}{Q(x)}\right)\,dx$
※ ここで $P(x)$ を $Q(x)$ で割った商が $R(x)$，余りが $S(x)$．
↓
真分数式は部分分数分解をしてできるだけ簡単にしてから積分する．
例題と練習問題
例題
例題
次の積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{x^{2}+2x-2}{x-1}\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^{4}\dfrac{5x-3}{2x^{2}-9x-5}\,dx$
(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{8x^{2}-5x+1}{x(2x-1)^2}\,dx$
講義
上にある基本解法通りに計算していきます．仮分数式である場合はまず，分子を分母で割って，帯分数式にします．
部分分数分解の知識も必要です．
解答
以下 $C$ は積分定数とする．
(1)
$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{x^{2}+2x-2}{x-1}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{(x+3)(x-1)+1}{x-1}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \left(x+3+\dfrac{1}{x-1}\right)\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x^{2}+3x+\log|x-1|+C}$
(2)
$\dfrac{5x-3}{2x^{2}-9x-5}=\dfrac{a}{2x+1}+\dfrac{b}{x-5}$
として，両辺 $2x^{2}-9x-5$ かけると
$5x-3=a(x-5)+b(2x+1)$
$\therefore \ \begin{cases}5=a+2b \\ -3=-5a+b\end{cases}$
$\therefore \ a=1$，$b=2$
$\displaystyle \int_{0}^{4}\dfrac{5x-3}{2x^{2}-9x-5}\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{4}\left(\dfrac{1}{2x+1}+\dfrac{2}{x-5}\right)\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2}\log |2x+1|+2\log|x-5|\right]_{0}^{4}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{2}\log9-2\log5$
$=\boldsymbol{\log\dfrac{3}{25}}$
(3)
$\dfrac{8x^{2}-5x+1}{x(2x-1)^2}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{2x-1}+\dfrac{c}{(2x-1)^2}$
として，両辺 $x(2x-1)^2$ 倍すると
$8x^{2}-5x+1=a(2x-1)^2+bx(2x-1)+cx$
$x=\dfrac{1}{2}$，$0$，$1$ をそれぞれ代入すると
$\begin{cases}\dfrac{1}{2}=\dfrac{c}{2} \\ 1=a \\ 4=a+b+c \end{cases}$ $\therefore \ a=1，b=2，c=1$
$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{8x^{2}-5x+1}{x(2x-1)^2}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{2x-1}+\dfrac{1}{(2x-1)^2}\right)\,dx$
$=\log|x|+\log|2x-1|-\dfrac{1}{2(2x-1)}+C$
$=\boldsymbol{\log|x(2x-1)|-\dfrac{1}{2(2x-1)}+C}$
練習問題
練習
次の積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{x^{2}+6x+9}{x+2}\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{7x^{2}-4x+4}{x^{3}+1}\,dx$
(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{2x^{4}-x^{3}-x^{2}+x+2}{x^{2}(x-1)}\,dx$
解答
以下，$C$ は積分定数とする．
(1)
$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{x^{2}+6x+9}{x+2}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{(x+4)(x+2)+1}{x+2}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \left(x+4+\dfrac{1}{x+2}\right)\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{2}x^{2}+4x+\log|x+2|+C}$
(2)
$\dfrac{7x^{2}-4x+4}{x^{3}+1}=\dfrac{a}{x+1}+\dfrac{bx+c}{x^{2}-x+1}$
として，両辺 $x^{3}+1$ 倍すると
$7x^{2}-4x+4=a(x^{2}-x+1)+(bx+c)(x+1)$
$\therefore \ \begin{cases}7=a+b \\ -4=-a+b+c \\ 4=a+c \end{cases}$
$\therefore \ a=5，b=2，c=-1$
$\displaystyle \int_{1}^{2}\dfrac{7x^{2}-4x+4}{x^{3}+1}\,dx$
$\displaystyle =\int_{1}^{2}\left(\dfrac{5}{x+1}+\dfrac{2x-1}{x^{2}-x+1}\right)\,dx$
$\displaystyle =\Bigl[5\log |x+1|+\log|x^{2}-x+1|\Bigr]_{1}^{2}$
$\displaystyle =5\log3+\log3-5\log2$
$=\boldsymbol{\log\dfrac{729}{32}}$
(3)
$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{2x^{4}-x^{3}-x^{2}+x+2}{x^{2}(x-1)}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \dfrac{(x^{3}-x^{2})(2x+1)+x+2}{x^{2}(x-1)}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \left(2x+1+\dfrac{x+2}{x^{2}(x-1)}\right)\,dx$
ここで
$\dfrac{x+2}{x^{2}(x-1)}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x-1}$
として，両辺 $x^{2}(x-1)$ かけると
$x+2=ax(x-1)+b(x-1)+cx^2$
$\therefore \ \begin{cases}0=a+c \\ 1=-a+b \\ 2=-b\end{cases}$
$\therefore \ a=-3$，$b=-2$，$c=3$
$\displaystyle \int_{}^{} \ \dfrac{2x^{4}-x^{3}-x^{2}+x+2}{x^{2}(x-1)}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \left(2x+1-\dfrac{3}{x}-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{x-1}\right)\,dx$
$=x^{2}+x-3\log|x|+\dfrac{2}{x}+3\log|x-1|+C$
$=\boldsymbol{x^{2}+x+\dfrac{2}{x}+3\log\left|\dfrac{x-1}{x}\right|+C}$