等差数列の一般項と和

このページは数列の一番最初のページで，等差数列の基本概念と重要な基本問題等を扱っています．

一般の参考書等で扱ってない内容を載せていますので，是非読んで問題を解いてみてください．

等差数列の導入と一般項

数列の中で，差が等しい数列のことを等差数列といいます．その等しい差を公差といい，英語でdifferenceというので，よく $d$ と表します．以下の図のようになります．

$n$ 番目である $a_{n}$ がこの数列の一般項になります．

$a_{n}$ を求めるには，上の赤い箇所をすべて足せばいいので，等差数列の一般項は以下になります．

ポイント

しかし，$a_{n}$ を求めるために，わざわざ $a_{1}$ から足さねばならない理由はありません．

上の図のように，途中の $k$ $(1 \leqq k \leqq n)$ 番目から足し始めてもいいわけです．間は $n-k$ 個なので，一般項の公式を書き換えます．

ポイント

ここの $k$ には $n$ 以下の都合のいい自然数を代入できます．

$k=1$ を代入したのが，$\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ になります．例えば $7$ 番目がわかっている場合は，$\displaystyle a_{n}=a_{7}+(n-7)d$ を使えば速いですね．

例題と練習問題

例題

練習問題

練習1の解答

等差数列の和

等差数列については，上で一度扱いました．

$d>0$ のときに和がどうなるかを図示してみます．

高さが数列になっていて，横の長さが $1$ の長方形を最初から並べました．

この総面積が等差数列の和になるはずです．これを求めるためには，同じものを上に足して2で割ればいいはずです．

長方形の面積 $(a_{1}+a_{n})n$ を出して $2$ で割ればいいので，等差数列の和の公式は以下になります( $d < 0$ のときも同じでしょう)．

ポイント

管理人は，$\{$ (初めの数) $+$ (終わりの数) $\} \times$ (個数) $\div 2$ という中学受験の公式が強く印象に残っていて，公式はこれのみで対応しています．日本人なんで日本語の方が覚えやすいと思います．

例題と練習問題

例題

練習問題

練習2の解答