等差数列の一般項と和
タイプ：教科書範囲 レベル：★
このページは数列の一番最初のページで，等差数列の基本概念と重要な基本問題等を扱っています．
一般の参考書等で扱ってない内容を載せていますので，是非読んで問題を解いてみてください．
等差数列の導入と一般項
数列の中で，差が等しい数列のことを等差数列といいます．その等しい差を公差といい，英語でdifferenceというので，よく $d$ と表します．以下の図のようになります．
$n$ 番目である $a_{n}$ がこの数列の一般項になります．
$a_{n}$ を求めるには，上の赤い箇所をすべて足せばいいので，等差数列の一般項は以下になります．
ポイント
等差数列の一般項 (基本)
$\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d$
しかし，$a_{n}$ を求めるために，わざわざ $a_{1}$ から足さねばならない理由はありません．
上の図のように，途中の $k$ $(1 \leqq k \leqq n)$ 番目から足し始めてもいいわけです．間は $n-k$ 個なので，一般項の公式を書き換えます．
ポイント
等差数列の一般項(途中からスタートOK)
$\displaystyle \boldsymbol{a_{n}=a_{\color{blue}{k}}+(n-\color{blue}{k})d}$
ここの $k$ には $n$ 以下の都合のいい自然数を代入できます．
$k=1$ を代入したのが，$\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ になります．例えば $7$ 番目がわかっている場合は，$\displaystyle a_{n}=a_{7}+(n-7)d$ を使えば速いですね．
例題と練習問題
例題
例題1
等差数列 $\{a_{n}\}$ で第 $12$ 項が $77$，第 $25$ 項が $129$ のとき，この数列の一般項を求めよ．
例題1の解答
$\displaystyle a_{25}-a_{12}=13d=52$ ←間が $13$ 個なので
$\displaystyle \therefore d=4$
$\displaystyle \therefore a_{n}=a_{12}+(n-12)d$ ←$k=12$ を入れて使う
$\displaystyle =77+(n-12)4$
$\displaystyle =\boldsymbol{4n+29}$
※ 当然 $k=25$ を代入した $a_{n}=a_{25}+(n-25)d$ を使ってもいいですね．
練習問題
練習1
等差数列 $\{a_{n}\}$ で第 $17$ 項が $132$，第 $29$ 項が $54$ のとき，この数列の一般項を求めよ．
練習1の解答
等差数列の和
等差数列については，上で一度扱いました．
$d>0$ のときに和がどうなるかを図示してみます．
高さが数列になっていて，横の長さが $1$ の長方形を最初から並べました．
この総面積が等差数列の和になるはずです．これを求めるためには，同じものを上に足して2で割ればいいはずです．
長方形の面積 $(a_{1}+a_{n})n$ を出して $2$ で割ればいいので，等差数列の和の公式は以下になります( $d < 0$ のときも同じでしょう)．
ポイント
等差数列の和 $S_{n}$
$S_{n}=\dfrac{1}{2}(a_{1}+a_{n})n$
管理人は，$\{$ (初めの数) $+$ (終わりの数) $\} \times$ (個数) $\div 2$ という中学受験の公式が強く印象に残っていて，公式はこれのみで対応しています．日本人なんで日本語の方が覚えやすいと思います．
例題と練習問題
例題
例題2
等差数列の和 $S=1+3+5+\cdots+99$ を求めよ．
例題3 (数列の和の最大)
初項が $77$，公差が $-4$ の等差数列がある．この数列の和の最大値を求めよ．
例題2の解答
初項から末項まで $98$ 増えたので，間は $49$ 個．数列の個数は $50$ 個．
$\displaystyle S=(1+99)\times 50 \div 2=\boldsymbol{2500}$
例題3の解答
数列を $\{a_{n}\}$ とおくと
$a_{n}=77+(n-1)(-4)=-4n+81$
初項から最後の正の項までを足し続けているときが和の最大なので，$a_{n}$ が正であるのは
$a_{n}=77+(n-1)(-4)=-4n+81>0$
$\therefore \ n \leqq 20$
$a_{20}=1$ より
(和の最大値) $\displaystyle =(77+1)\times 20 \div 2=\boldsymbol{780}$
※ $S_{n}$ を出してから平方完成するよりも上の解き方が速いです．
練習問題
練習2
等差数列 $\{a_{n}\}$ で第 $12$ 項が $69$，第 $20$ 項が $53$ のとき，この数列の和の最大値を求めよ．
練習2の解答