3次方程式の解と係数の関係
複素数と方程式(入試の標準) ★★★
3次方程式の解と係数の関係について扱います．
検定教科書には記載があったとしても発展として扱われますが，受験で数学を使う場合は知っておくまたは算出できることを推奨します．
3次方程式の解と係数の関係と証明
3次方程式の解と係数の関係
3次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ の解を $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ とすると
$\displaystyle \color{red}{\begin{cases}\boldsymbol{\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}} \\ \boldsymbol{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}} \\ \boldsymbol{\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}}\end{cases}}$
証明
3次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ の解が $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ なので，因数定理より
$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
$=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$
$=a\{x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}(x-\gamma)$
$=a\{x^{3}-(\alpha+\beta+\gamma)x^{2}+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\}$
とできるので，係数比較すると
$\displaystyle \begin{cases} b=-a(\alpha+\beta+\gamma) \\ c=a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\ d=-a\alpha\beta\gamma \end{cases}$
$a\neq0$ より
$\displaystyle \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a} \\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a} \\ \alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}\end{cases}$
2次方程式の解と係数の関係と結果が似ています．右辺の符号は＋と−が交互にきます．
$\alpha+\beta+\gamma$，$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$，$\alpha\beta\gamma$ が基本対称式になっているので，登場機会が多いです．
参考：4次方程式の解と係数の関係
4次以上も証明方法がまったく同じなので，4次の場合の結果だけ記載しておきます．
4次方程式の解と係数の関係
4次方程式 $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ の解を $\alpha$，$\beta$，$\gamma$，$\delta$ とすると
$\displaystyle \color{red}{\begin{cases}\boldsymbol{\alpha+\beta+\gamma+\delta=-\dfrac{b}{a}} \\ \boldsymbol{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\delta+\delta\alpha+\alpha\gamma+\beta\delta=\dfrac{c}{a}} \\ \boldsymbol{\alpha\beta\gamma+\beta\gamma\delta+\gamma\delta\alpha+\delta\alpha\beta=-\dfrac{d}{a}} \\ \boldsymbol{\alpha\beta\gamma\delta=\dfrac{e}{a}}\end{cases}}$
例題と練習問題
例題
例題
3次方程式 $x^{3}+ax^{2}+bx+5=0$ の1つの解が $x=1-2i$ であるとき，実数 $a$，$b$ の値と他の解を求めよ．
講義
代入する方法が第1に紹介されることが多いですが，3次方程式の場合，$x=1-2i$ と互いに共役である $x=1+2i$ も解にもつことを利用し，残りの解を $\alpha$ と設定して，解と係数の関係を使うのが楽です．
解答
$x=1+2i$ も解にもつ．残りの解を $\alpha$ とすると，解と係数の関係より
$\displaystyle \begin{cases} 1-2i+1+2i+\alpha=-a \\ (1-2i)(1+2i)+(1+2i)\alpha+\alpha(1-2i)=b \\ (1-2i)(1+2i)\alpha=-5 \end{cases}$
整理すると
$\displaystyle \begin{cases} 2+\alpha=-a \\ 5+2\alpha=b \\ 5\alpha=-5 \end{cases}$
これを解くと
$\boldsymbol{a=-1}$，$\boldsymbol{b=3}$，$\boldsymbol{残りの解 -1，1+2i}$
練習問題
練習
(1) 3次方程式 $x^{3}+ax^{2}-2x+b=0$ の1つの解が $x=-1+\sqrt{3}i$ であるとき，実数 $a$，$b$ の値と他の解を求めよ．
(2) 3つの実数 $x$，$y$，$z$ ( $x<y <z$ )において，$x+y+z=8$，$x^{2}+y^{2}+z^{2}=30$，$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{17}{10}$ である．これらの実数 $x$，$y$，$z$ の値を求めよ．
(3) $x$ の3次方程式 $3x^{3}-6x^{2}-9x+1=0$ の解を $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ とする．このとき $\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}$，$\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}$，$\dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}}+\dfrac{1}{\gamma^{2}}$ の値をそれぞれ求めよ．
練習の解答
(1)
$x=-1-\sqrt{3}i$ も解にもつ．残りの解を $\alpha$ とすると，解と係数の関係より
$\displaystyle \begin{cases} -1+\sqrt{3}i-1-\sqrt{3}i+\alpha=-a \\ (-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)+(-1-\sqrt{3}i)\alpha+\alpha(-1+\sqrt{3}i)=-2 \\ (-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)\alpha=-b \end{cases}$
整理すると
$\displaystyle \begin{cases} -2+\alpha=-a \\ 4-2\alpha=-2 \\ 4\alpha=-b \end{cases}$
これを解くと
$\boldsymbol{\alpha=3}$，$\boldsymbol{a=-1}$，$\boldsymbol{b=-12}$
(2)
$xy+yz+zx$
$=\dfrac{1}{2}\{(x+y+z)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})\}$
$=17$
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}$
$=\dfrac{yz+zx+xy}{xyz}$
$=\dfrac{17}{xyz}=\dfrac{17}{10}$
$\therefore \ xyz=10$
解と係数の関係から，$x$，$y$，$z$ を生む3次方程式を
$t^{3}-8t^{2}+17t-10=0$
とおけるので，因数分解すると
$(t-1)(t-2)(t-5)=0$
$x<y <z$ を踏まえると
$\boldsymbol{x=1}$，$\boldsymbol{y=2}$，$\boldsymbol{z=5}$
(3) 出典：2022国際医療福祉大医学部
解と係数の関係より
$\displaystyle \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=2 \\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-3 \\ \alpha\beta\gamma=-\dfrac{1}{3} \end{cases}$
これより
$\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2}$
$=(\alpha+\beta+\gamma)^{2}-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)$
$=\boldsymbol{10}$
$\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}$
$=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^{2}+\beta^{2}+\gamma^{2})-\alpha^{2}(\beta+\gamma)-\beta^{2}(\gamma+\alpha)-\gamma^{2}(\alpha+\beta)$
$=20-\{(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)(\alpha+\beta+\gamma)-3\alpha\beta\gamma\}$
$=\boldsymbol{25}$
$\dfrac{1}{\alpha^{2}}+\dfrac{1}{\beta^{2}}+\dfrac{1}{\gamma^{2}}$
$=\dfrac{\beta^{2}\gamma^{2}+\gamma^{2}\alpha^{2}+\alpha^{2}\beta^{2}}{\alpha^{2}\beta^{2}\gamma^{2}}$
$=9\{(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^{2}-2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)\}$
$=\boldsymbol{93}$
※ $\alpha^{3}+\beta^{3}+\gamma^{3}$ に関しては，因数分解公式 $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ を利用してもいいですし，$3\alpha^{3}-6\alpha^{2}-9\alpha+1=0$ から( $\beta$，$\gamma$ も同様)次数を下げて解いてもいいですね．