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3次方程式の解と係数の関係

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 


アイキャッチ

3次方程式の解と係数の関係について扱います.

検定教科書には記載があったとしても発展として扱われますが,受験で数学を使う場合は知っておくことを推奨します.





3次方程式の解と係数の関係と証明

ポイント

3次方程式の解と係数の関係

3次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ の解を $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ とすると

$\displaystyle \color{red}{\begin{cases}\boldsymbol{\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}} \\ \boldsymbol{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}} \\ \boldsymbol{\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}}\end{cases}}$


2次方程式の解と係数の関係と結果が似ています.右辺の符号は+と−が交互にきます.

$\alpha+\beta+\gamma$,$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha$,$\alpha\beta\gamma$ が基本対称式になっているので,登場機会が多いです.

証明は因数定理を使います.



証明

証明

3次方程式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ の解が $\alpha$,$\beta$,$\gamma$ なので,因数定理より

 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

$=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$

$=a\{x^{2}-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}(x-\gamma)$

$=a\{x^{3}-(\alpha+\beta+\gamma)x^{2}+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\}$

とできるので,係数比較すると

$\displaystyle \begin{cases} b=-a(\alpha+\beta+\gamma) \\ c=a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\ d=-a\alpha\beta\gamma \end{cases}$

$a\neq0$ より

$\displaystyle \begin{cases} \alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a} \\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a} \\ \alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}\end{cases}$



参考:4次方程式の解と係数の関係

4次以上も証明方法がまったく同じなので,4次の場合の結果だけ記載しておきます.

4次方程式の解と係数の関係

4次方程式 $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0$ の解を $\alpha$,$\beta$,$\gamma$,$\delta$ とすると

$\displaystyle \color{red}{\begin{cases}\boldsymbol{\alpha+\beta+\gamma+\delta=-\dfrac{b}{a}} \\ \boldsymbol{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\delta+\delta\alpha=\dfrac{c}{a}} \\ \boldsymbol{\alpha\beta\gamma+\beta\gamma\delta+\gamma\delta\alpha+\delta\alpha\beta=-\dfrac{d}{a}} \\ \boldsymbol{\alpha\beta\gamma\delta=\dfrac{e}{a}}\end{cases}}$




例題と練習問題

例題

例題

3次方程式 $x^{3}+ax^{2}+bx+5=0$ の1つの解が $x=1-2i$ であるとき,実数 $a$,$b$ の値と他の解を求めよ.


講義

代入する方法が第1に紹介されることが多いですが,3次方程式の場合,$x=1-2i$ と互いに共役である $x=1+2i$ も解にもつことを利用し,残りの解を $\alpha$ と設定して,解と係数の関係を使うのが楽です.


解答

$x=1+2i$ も解にもつ.残りの解を $\alpha$ とすると,解と係数の関係より

$\displaystyle \begin{cases} 1-2i+1+2i+\alpha=-a \\ (1-2i)(1+2i)+(1+2i)\alpha+\alpha(1-2i)=b \\ (1-2i)(1+2i)\alpha=-5 \end{cases}$

整理すると

$\displaystyle \begin{cases} 2+\alpha=-a \\ 5+2\alpha=b \\ 5\alpha=-5 \end{cases}$

これを解くと

$\boldsymbol{\alpha=-1}$,$\boldsymbol{a=-1}$,$\boldsymbol{b=3}$




練習問題

練習

(1) 3次方程式 $x^{3}+ax^{2}-2x+b=0$ の1つの解が $x=-1+\sqrt{3}i$ であるとき,実数 $a$,$b$ の値と他の解を求めよ.

(2) 3つの実数 $x$,$y$,$z$ ( $x<y <z$ )において,$x+y+z=8$,$x^{2}+y^{2}+z^{2}=30$,$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{17}{10}$ である.これらの実数 $x$,$y$,$z$ の値を求めよ.

練習の解答



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