対称式と基本対称式
数と式(教科書範囲) ★★
対称式と基本対称式について解説をしました．2変数だけでなく3変数も扱います．
対称式と基本対称式
対称式の定義
変数を入れ替えても変わらない多項式のことを対称式と言います．
例
2変数の場合
・$x^{2}+y^{2}$
・$a^{3}+ab+b^{3}$
3変数の場合
・$x^{2}+y^{2}+z^{2}$
・$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$
※3変数の場合はどの2つを入れ替えてももとの式と同じになるもの
当然4変数以上も適用できますが，大変なだけなのでほぼ3変数までが扱われます．
基本対称式と特徴
対称式の中でも，以下のものを特に基本対称式といいます．
2変数の場合
・$x+y$
・$xy$
3変数の場合
・$x+y+z$
・$xy+yz+zx$
・$xyz$
そして，特筆すべきはすべての対称式は基本対称式のみで表現できることです．
基本対称式は最初から与えられていたり，容易に得られたりするので，対称式を基本対称式のみで表現することが求められます．
例題と練習問題
例題
例題
$x=\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$，$y=\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}$ のとき，次の式の値を求めよ．
(1) $x+y$
(2) $xy$
(3) $x^{2}+y^{2}$
(4) $x^{3}+y^{3}$
講義
(1)，(2)は基本対称式です．(3)，(4)は基本対称式を使って表現します．
$\color{red}{x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy}$
$\color{red}{x^{3}+y^{3}=(x+y)^{3}-3xy(x+y)}$
これらは頻繁に登場します．
解答
(1)
$x+y$
$=\dfrac{\sqrt{7}-\sqrt{2}+\sqrt{7}+\sqrt{2}}{7-2}=\boldsymbol{\dfrac{2\sqrt{7}}{5}}$
(2)
$xy$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{5}}$
(3)
$x^{2}+y^{2}$
$=(x+y)^{2}-2xy$
$=\dfrac{28}{25}-\dfrac{2}{5}$
$=\boldsymbol{\dfrac{18}{25}}$
(4)
$x^{3}+y^{3}$
$=(x+y)^{3}-3xy(x+y)$
$=\dfrac{56\sqrt{7}}{125}-3\cdot\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{2\sqrt{7}}{5}$
$=\boldsymbol{\dfrac{26\sqrt{7}}{125}}$
※ 因数分解の公式 $x^{3}+y^{3}=(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})$ を使ってもOKです．
練習問題
練習1
$x+\dfrac{1}{x}=\sqrt{6}$ のとき，次の式の値を求めよ．
(1) $x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$
(2) $x^{3}+\dfrac{1}{x^{3}}$
(3) $x^{5}+\dfrac{1}{x^{5}}$
練習2
$x+y+z=3\sqrt{2}$，$xy+yz+zx=5$，$xyz=\sqrt{2}$ のとき，次の式の値を求めよ．
(1) $x^{2}+y^{2}+z^{2}$
(2) $x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}$
練習1の解答
$\dfrac{1}{x}=y$ とおくと例題と同じような対称式の問題になります．$x+y=\sqrt{6}$，$xy=x\cdot\dfrac{1}{x}=1$ ですね．
(1)
$x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}$
$=x^{2}+y^{2}$
$=(x+y)^{2}-2xy$
$=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}-2x\cdot\dfrac{1}{x}$ $\cdots$ ①
$=6-2$
$=\boldsymbol{4}$
※最初から①が書けるといいですね．次から置き換えは省略します．
(2)
$x^{3}+\dfrac{1}{x^{3}}$
$=\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{3}-3x\cdot\dfrac{1}{x}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$
$=6\sqrt{6}-3\sqrt{6}$
$=\boldsymbol{3\sqrt{6}}$
(3)
$x^{5}+\dfrac{1}{x^{5}}$
$=\left(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}\right)\left(x^{3}+\dfrac{1}{x^{3}}\right)-\left(x+\dfrac{1}{x}\right)$
$=12\sqrt{6}-\sqrt{6}$
$=\boldsymbol{11\sqrt{6}}$
練習2の解答
(1)
$x^{2}+y^{2}+z^{2}$
$=(x+y+z)^{2}-2(xy+yz+zx)$
$=18-10$
$=\boldsymbol{8}$
※2行目の式変形は有名で，今後頻繁に登場すると思います．展開公式もご参照ください．
(2)
$x^{2}y^{2}+y^{2}z^{2}+z^{2}x^{2}$
$=(xy+yz+zx)^{2}-2(xy^{2}z+xyz^{2}+x^{2}yz)$
$=25-2xyz(x+y+z)$
$=25-12$
$=\boldsymbol{13}$