おいしい数学ホームへのリンク

因数分解の公式と主な出題パターンと解き方

タイプ:教科書範囲 レベル:★★★ 


アイキャッチ

因数分解の解き方と,効率よく習得するために必要な演習問題を1ページにまとめました.

このページは数Ⅱの3次式も含めています(因数定理を使うものは含まず).ご注意ください.





必要な因数分解の公式

ポイント

必要な因数分解の公式

中学範囲

① $ma+mb=m(a+b)$

② $a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$

③ $a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$

④ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

⑤ $x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$

⑥ $acx^{2}+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d)$

高校範囲

⑦ $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

⑧ $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$

⑨ $a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}$

⑩ $a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}$

⑪ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^{2}$

⑫ $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-b-c-ca)$


展開公式と演習問題で書いた展開公式の逆になります.同じく⑦〜⑫ は現行過程では厳密には数Ⅱです.

⑫ は大学入試で稀に出題されます.暗記した方がいいのですが導き方を知っていれば丸暗記の必要はありません(例題2).




因数分解の解法マニュアル

因数分解には下記のように解くためのマニュアルが存在し,どれかのパターンに落ち着くはずです.勘や閃きに頼って解くものではありません.


ポイント

因数分解の解法マニュアル

どんな問題もまずⅠ,Ⅱを試みます.

共通因数があればくくる(全体ではなく個別にくくっても可)

因数分解の公式が使えるか検討する(上の公式⑥はたすきがけで対処).

以上で最後まで解けない場合は下のいずれか,あるいは組み合わせて解きます.

(i)文字が1種類のとき

同じ形を別の文字で置き換える.その後,因数分解の公式が使える形まで変形.


複2次式( $\boldsymbol{ax^{4}+bx^{2}+c}$ の形)であれば強引に2乗の差を作る.


(ⅱ)文字が2種類以上のとき

最低次数の文字について整理する.


以下の例題と練習問題で,上のマニュアルを具体的に確認していきます.




例題と練習問題

例題

例題1

次の式を因数分解せよ.

(1) $12xy^{3}-27x^{3}y$

(2) $6x^{2}+x-1$

(3) $16a^{3}+54b^{3}$

(4) $(x^{2}-2x)^{2}-11(x^{2}-2x)+24$

(5) $x(x-1)(x-2)(x-3)-24$

(6) $a^{3}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}$

(7) $2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-6$

(8) $x^{4}+9x^{2}+25$


例題2

(1) $a^{3}+b^{3}$ を $a+b$ と $ab$ で表せ.

(2) $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$ を因数分解せよ.


解答と解説

例題1

(1) $12xy^{3}-27x^{3}y$

$=3xy(4y^{2}-9x^{2})$

$=\boldsymbol{3xy(2y+3x)(2y-3x)}$

※Ⅰ→Ⅱで公式④.


(2) $6x^{2}+x-1$

$=\boldsymbol{(2x+1)(3x-1)}$

※Ⅱ.たすきがけをします.

たすきがけの手順


(3) $16a^{3}+54b^{3}$

$=2(8a^{3}+27b^{3})$

$=\boldsymbol{2(2a+3b)(4a^{2}-6ab+9b^{2})}$

※Ⅰ→Ⅱで公式⑦.


(4) $x^{2}-2x=A$ とおく.

 $(x^{2}-2x)^{2}-11(x^{2}-2x)+24$

$=A^{2}-11A+24$

$=(A-3)(A-8)$

$=(x^{2}-2x-3)(x^{2}-2x-8)$

$=\boldsymbol{(x-3)(x+1)(x-4)(x+2)}$

※Ⅲ→公式⑤.慣れると置き換えるのは面倒なので,以降は置き換えずに解きます.


(5) $x(x-1)(x-2)(x-3)-24$

$=x(x-3)(x-1)(x-2)-24$

$=(x^{2}-3x)\{(x^{2}-3x)+2\}-24$

$=(x^{2}-3x)^{2}+2(x^{2}-3x)-24$

$=\{(x^{2}-3x)+6\}\{(x^{2}-3x)-4\}$

$=\boldsymbol{(x^{2}-3x+6)(x-4)(x+1)}$

※同じ形 $(x^{2}-3x)$ を見つけるように変形してⅢ→公式⑤.


(6) Ⅴです.最低次数の文字とは最高の次数が一番低い文字です.今回は $a$ は $3$ 次,$b$ は $1$ 次,$c$ は $2$ 次なので,$b$ の $1$ 次式

   $b+$   

とみて整理します.

 $a^{3}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}$

$=\color{red}{(c^{2}-a^{2})b+a(a^{2}-c^{2})}$

$=(c^{2}-a^{2})b-a(c^{2}-a^{2})$

$=(c^{2}-a^{2})(b-a)$

$=\boldsymbol{(c+a)(c-a)(b-a)}$

※Ⅴ→共通因数でくくって公式④.


(7) Ⅴです.今回は $x$,$y$ ともに $2$ 次なので,どちらで整理してもいいですが,$x$ の $2$ 次式

   $x^{2}+$    $x+$   

とみて整理する人が多いと思います.

 $2x^{2}-5xy-3y^{2}+x+11y-6$

$=\color{red}{2x^{2}+(1-5y)x-3y^{2}+11y-6}$

$=2x^{2}+(1-5y)x-(3y^{2}-11y+6) \ \cdots$ ☆

$=2x^{2}+(1-5y)x-(3y-2)(y-3) \ \cdots$ ♪

$=\{2x+(y-3)\}\{x-(3y-2)\}$

$=\boldsymbol{(2x+y-3)(x-3y+2)}$

※Ⅴ→☆で最後のカッコをたすきがけ,♪で全体をたすきがけです.

♪でのたすきがけ


(8) $x^{4}+9x^{2}+25$

$=x^{4}+10x^{2}+25-x^{2}$

$=(x^{2}+5)^{2}-x^{2}$

$=(x^{2}+5+x)(x^{2}+5-x)$

$=\boldsymbol{(x^{2}+x+5)(x^{2}-x+5)}$

※Ⅳです.複2次式の問題は強引に2乗 $-$ 2乗の形に持っていきます.


例題2

(1) 対称式は基本対称式で表せます.

 $a^{3}+b^{3}$

$=\boldsymbol{(a+b)^{3}-3ab(a+b)}$


(2) (1)の式を使います.

 $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$

$=(a+b)^{3}-3ab(a+b)+c^{3}-3abc$

$=(a+b)^{3}+c^{3}-3ab(a+b)-3abc$

$=\{(a+b)+c\}\{(a+b)^{2}-(a+b)c+c^{2}\}-3ab(a+b+c)$

$=\boldsymbol{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-b-c-ca)}$



練習問題

練習

次の式を因数分解せよ.

(1) $2x^{4}-5x^{2}-12$

(2) $(x^{2}+x-1)(x^{2}+x-5)+3$

(3) $(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24$

(4) $8x^{3}z-24x^{3}-y^{3}z+3y^{3}$

(5) $2x^{2}-5x+5y^{2}+2y+11xy-3$

(6) $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$

(7) $4x^{4}-16x^{2}+9$

(8) $p^{3}-q^{3}-27r^{3}-9pqr$

練習の解答




ノートに戻る