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因数定理と因数の見つけ方

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

因数定理の紹介をし,因数定理を使った高次式の因数分解の問題を扱います.

因数分解をする際の,因数の見つけ方にも言及します.





因数定理

剰余の定理で余りを $0$ とすると次の定理が容易に成り立ちます.


ポイント

因数定理

$P(x)$ を整式とする.

$P(x)$ が $x-\alpha$ を因数にもつ $\Longleftrightarrow \ P(\alpha)=0$

これを利用して,3次や4次の高次式の因数分解を行います.




因数分解の仕方と因数の見つけ方

ポイント

3次式の因数分解の仕方

STEP1:3次式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ に代入して $0$ になる $x=\alpha$ を探す.

STEP2:$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ が因数定理により $x-\alpha$ で括れる.商は暗算か組立除法か多項式の割り算で出す.

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-\alpha)(x^{2}+sx+t)$

STEP3:$x^{2}+sx+t$ を因数分解する(できない場合もあります).

4次式以上でもまったく同様です.

管理人は4次式までなら商は暗算で出してしまいます.



ポイント

因数の見つけ方

$3$ 次式 $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ の解 $x=\alpha$ の候補は

$\alpha$ の候補 $=$ $\pm \dfrac{d \ の約数}{a \ の約数}$

闇雲に探すよりも,上のルールを知っていると効率がいいです.

4次式以上でもまったく同様です.




例題と練習問題

例題

例題

次の式を因数分解せよ.

(1) $x^{3}+4x^{2}-7x-10$

(2) $2x^{3}-3x^{2}-11x+6$

(3) $x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-7x+6$


講義

(1)は $\pm10$ の約数が候補です.

(2)は $\pm \dfrac{6 \ の約数}{2 \ の約数}$ つまり $\pm1$,$\pm2$,$\pm3$,$\pm6$,$\pm\dfrac{1}{2}$,$\pm\dfrac{3}{2}$ が候補です.

(3)は $\pm6$ の約数が候補です.

すべて $\pm1$ から探していくといいです.


解答

(1)

$x=-1$ を代入すると $0$ になるから

 $x^{3}+4x^{2}-7x-10$

$=(x+1)(x^{2}+3x-10)$

$=\boldsymbol{(x+1)(x+5)(x-2)}$


(2)

$x=-2$ を代入すると $0$ になるから

 $2x^{3}-3x^{2}-11x+6$

$=(x+2)(2x^{2}-7x+3)$

$=\boldsymbol{(x+2)(2x-1)(x-3)}$


(3)

$x=1$ を代入すると $0$ になるから

 $x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-7x+6$

$=(x-1)(x^{3}-x^{2}+x-6)$

$=\boldsymbol{(x-1)(x-2)(x^{2}+x+3)}$



練習問題

練習1

次の式を因数分解せよ.

(1) $2x^{3}+5x^{2}+8x+3$

(2) $x^{4}+2x^{3}-8x^{2}-18x-9$


練習2

$P(x)=x^{4}+px^{3}-11x^{2}+qx+10$ が $x-1$,$x-2$ で割り切れるとき,$p$,$q$ の値を求め,$P(x)$ を因数分解せよ.

練習の解答



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