おいしい数学HOMEへのリンク

組立除法

タイプ:入試の標準 レベル:★★ 


アイキャッチ

整式の割り算で,1次式で割るときに,素速く計算できる組立除法を扱います.

知らなくても大学入試を乗り切れますが,知っていた方が何かと楽です.



組立除法とその手順

例として 3次式を取り上げます.$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ を $x-\alpha$ で割るとき,商を $sx^{2}+tx+u$,余りを $r$ とすると

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=(x-\alpha)(sx^{2}+tx+u)+r$

となる.右辺を展開すると

$sx^{3}+(t-\alpha s)x^{2}+(u-\alpha t)x+r-\alpha u$

となるので,左辺と係数比較すると

$\begin{cases}a=s \\ b=t-\alpha s \\ c=u-\alpha t \\ d=r-\alpha u \end{cases}$

目的は $s$,$t$,$u$,$r$ を出すことなので,これについて解くと

$\begin{cases}s=a \\ t=b+\alpha s \\ u=c+\alpha t \\ r=d+\alpha u \end{cases}$

右の式を機械的に算出するために,以下に組立除法の手順を記載します.

ポイント

組立除法の手順

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ を $x-\alpha$ で割るとき,商を $sx^{2}+tx+u$,余りを $r$ とする.

STEP1:3次式の係数だけ書く.横線を引いて,$\alpha$ をメモしておく.

組立除法1

STEP2:$a$ はそのまま下におろし,$\alpha$ をかけて右上に書きます.その後 $b$ とそれを足したものを下に書きます.以後,これを繰り返します.

組立除法2

STEP3:下に書いてある数字が商の係数です.1番右の数字が余りです.

4次式以上でも全く同様の手続きになります.

例題と練習問題

例題

例題

次の左の式を右の式で割った商と余りを求めよ.

(1) $x^{3}+4x^{2}-7x-9$  $x-2$

(2) $2x^{4}+3x^{2}+2x^{2}-1$  $x+1$


講義

普通の整式の割り算を実行してもいいですが,組立除法が楽です.

組立除法を実行して求めてみます.


解答

(1)

組立除法例題(1)

商は $\boldsymbol{x^{2}+6x+5}$,余りは $\boldsymbol{1}$


(2)

組立除法例題(2)

商は $\boldsymbol{2x^{3}+x^{2}+x-1}$,余りは $\boldsymbol{0}$

練習問題

練習

次の式を因数分解せよ.

(1) $x^{4}-x^{3}-2x^{2}+6x-4$

(2) $x^{5}-2x^{4}-9x^{3}+22x^{2}+4x-24$

練習の解答