組立除法

複素数と方程式(入試の標準)　★★

整式の割り算で，1次式で割るときに，素速く計算できる組立除法を扱います．

知らなくても大学入試を乗り切れますが，知っていた方が何かと楽です．

組立除法とその手順

例として 3次式を取り上げます．$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ を $x-\alpha$ で割るとき，商を $sx^{2}+tx+u$，余りを $r$ とすると

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=(x-\alpha)(sx^{2}+tx+u)+r$

となる．右辺を展開すると

$sx^{3}+(t-\alpha s)x^{2}+(u-\alpha t)x+r-\alpha u$

となるので，左辺と係数比較すると

$\begin{cases}a=s \\ b=t-\alpha s \\ c=u-\alpha t \\ d=r-\alpha u \end{cases}$

目的は $s$，$t$，$u$，$r$ を出すことなので，これについて解くと

$\begin{cases}s=a \\ t=b+\alpha s \\ u=c+\alpha t \\ r=d+\alpha u \end{cases}$

右の式を機械的に算出するために，以下に組立除法の手順を記載します．

組立除法の手順

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ を $x-\alpha$ で割るとき，商を $sx^{2}+tx+u$，余りを $r$ とする．

STEP1：3次式の係数だけ書く．横線を引いて，$\alpha$ をメモしておく．

STEP2：$a$ はそのまま下におろし，$\alpha$ をかけて右上に書きます．その後 $b$ とそれを足したものを下に書きます．以後，これを繰り返します．

STEP3：下に書いてある数字が商の係数です．1番右の数字が余りです．

4次式以上でも全く同様の手続きになります．

例題と練習問題

例題

講義

普通の整式の割り算を実行してもいいですが，組立除法が楽です．

組立除法を実行して求めてみます．

解答

(1)

商は $\boldsymbol{x^{2}+6x+5}$，余りは $\boldsymbol{1}$

(2)

商は $\boldsymbol{2x^{3}+x^{2}+x-1}$，余りは $\boldsymbol{0}$

練習問題

練習の解答

闇雲に因数を探すのではなく，因数の見つけ方を参考に因数を見つけます．

(1)

　$x^{4}-x^{3}-2x^{2}+6x-4$

$=(x-1)(x^{3}-2x+4)$

$=\boldsymbol{(x-1)(x+2)(x^{2}-2x+2)}$

(2)

　$x^{5}-2x^{4}-9x^{3}+22x^{2}+4x-24$

$=(x+1)(x^{4}-3x^{3}-6x^{2}+28x-24)$

$=(x+1)(x-2)(x^{3}-x^{2}-8x+12)$

$=(x+1)(x-2)^{2}(x^{2}+x-6)$

$=\boldsymbol{(x+1)(x-2)^{3}(x+3)}$