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展開公式と主な出題パターンと解き方

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

数学Ⅰ(数学Ⅱ含む)の展開公式と,定期試験や受験対策としてやっておくべき問題を紹介します.





必要な展開公式

ポイント

必要な展開公式(乗法公式)

中学範囲

① $m(a+b)=ma+mb$

② $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

③ $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

④ $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

⑤ $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$

⑥ $(ax+b)(cx+d)=abx^{2}+(ad+bc)x+bd$

高校範囲

⑦ $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$

⑧ $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$

⑨ $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

⑩ $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

⑪ $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$


高校の定期試験や大学受験という観点から考えたときに,必要な公式は上の11個でいいと思います.⑤と⑥は本質的に同じなので,両方いらないかもしれませんね.ちなみに,⑦〜⑪は現行過程では厳密には数Ⅱです.

マニアックなだけで汎用性,有用性の低い公式は当サイトでは紹介しません.




例題と練習問題(初めての人向け)

展開を初めて学ぶ高1(中高一貫などでは中3)生向けの問題を用意しました.


例題

例題

次の式を展開せよ.

(1) $(2x-3y)^{2}$

(2) $(x+y-z)(x-y-z)$

(3) $(x^{2}+3x-2)(x^{2}+3x+3)$

(4) $(a-b+c)^{2}-(a-b-c)^{2}$

(5) $(x+4)^{2}(x-4)^{2}$

(6) $(x-2)(x+2)(x^{2}+4)(x^{4}+16)$

(7) $(x-1)(x+2)(x-3)(x-6)$

(8) $(x+2y)^{3}$

(9) $(x+2y-3)^{2}$


講義

すんなり展開公式が使えないものは同じものをグルーピングしてから使います.


解答

(1) $(2x-3y)^{2}=\boldsymbol{4x^{2}-12xy+9y^{2}}$

※公式③で $a=2x$,$b=3y$ を代入.


(2) $(x+y-z)(x-y-z)$

$=\{(x-z)+y\}\{(x-z)-y\}$

$=(x-z)^{2}-y^{2}$

$=\boldsymbol{x^{2}-2xz+z^{2}-y^{2}}$

※2行目でグルーピング.3行目で公式④です.


(3) $(x^{2}+3x-2)(x^{2}+3x+3)$

$=\{(x^{2}+3x)-2\}\{(x^{2}+3x)+3\}$

$=(x^{2}+3x)^{2}+(x^{2}+3x)-6$

$=\boldsymbol{x^{4}+6x^{3}+10x^{2}+3x-6}$

※2行目でグルーピング.3行目を公式⑤で $x$ を $(x^{2}+3x)$ として,$a=-2$,$b=3$ とします.


(4) $(a-b+c)^{2}-(a-b-c)^{2}$

$=\{(a-b+c)+(a-b-c)\}\{(a-b+c)-(a-b-c)\}$

$=(2a-2b)2c$

$=\boldsymbol{4ac-4bc}$

※2行目で公式④で $a$ を $(a-b+c)$,$b$ を $(a-b-c)$ とします.


(5) $(x+4)^{2}(x-4)^{2}$

$=\{(x+4)(x-4)\}^{2}$

$=(x^{2}-16)^{2}$

$=\boldsymbol{x^{4}-32x^{2}+256}$

※かける順番を変えます.$16^2$ は是非暗記しましょう(参考:2乗の暗記)


(6) $(x-2)(x+2)(x^{2}+4)(x^{4}+16)$

$=(x^{2}-4)(x^{2}+4)(x^{4}+16)$

$=(x^{4}-16)(x^{4}+16)$

$=\boldsymbol{x^{8}-256}$

※ひたすら公式④を使います.


(7) $(x-1)(x+2)(x-3)(x-6)$

$=(x-1)(x-3)(x+2)(x-6)$

$=(x^{2}-4x+3)(x^{2}-4x-12)$

$=\{(x^{2}-4x)+3\}\{(x^{2}-4x)-12\}$

$=(x^{2}-4x)^{2}-9(x^{2}-4x)-36$

$=\boldsymbol{x^{4}-8x^{3}+7x^{2}+36x-36}$

※ $x^{2}-4x$ をグルーピングするために先読みして2行目のように並び替えます.


(8) $(x+2y)^{3}$

$=x^{3}+3x^{2}\cdot 2y+3x(2y)^{2}+8y^{3}$

$=\boldsymbol{x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}}$

※公式⑩で $a=x$,$b=2y$ とします.


(9) $(x+2y-3)^{2}$

$=x^{2}+4y^{2}+9-4xy-12y-6x$

$=\boldsymbol{x^{2}+4y^{2}-4xy-6x-12y+9}$

※公式⑪で $a=x$,$b=2y$,$c=-3$ とします.2行目のままでも正解ですが,一応降べきの順にしました.



練習問題

練習1

次の式を展開せよ.

(1) $(x-y-z)(-x-y+z)$

(2) $(x^{2}-4x-2)(x^{2}+5x-2)$

(3) $(x+3y-1)^{2}$

(4) $(2a-b-c)^{2}-(2a+b+c)^{2}$

(5) $(x-3)(x+1)(x-5)(x-1)$

(6) $(x+1)(x-1)(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)$

(7) $(2x+1)^{3}(2x-1)^{3}$

練習1の解答




練習問題(受験生向け)

意欲的な高校1年生や,全範囲既習の受験生が最初から受験対策をする上で演習しておくと良さそうな問題を用意しました.


練習問題

練習2

次の式を展開せよ.

(1) $(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a+c)^{2}-(a-b+c)^{2}$

(2) $(a+b+2c)^{3}$

(3) $(x+y+3z)^{3}-(y+3z-x)^{3}-(3z+x-y)^{3}-(x+y-3z)^{3}$

練習2の解答






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