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展開

数と式(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

数学Ⅰ(数学Ⅱ含む)の展開公式を紹介します.

定期試験や受験対策としての主要な問題を扱います.



展開公式

ポイント

展開公式(乗法公式)

中学範囲

① $m(a+b)=ma+mb$

② $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

③ $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

④ $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

⑤ $(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b)x+ab$

高校範囲

⑥ $(ax+b)(cx+d)=abx^{2}+(ad+bc)x+bd$

⑦ $(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})=a^{3}+b^{3}$

⑧ $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$

⑨ $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

⑩ $(a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

⑪ $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$

※⑤と⑥は本質的に同じです.

※⑦〜⑪は現行過程では厳密には数学Ⅱです.

例題と練習問題

例題

例題

次の式を展開せよ.

(1) $(2x-3y)^{2}$

(2) $(x+y-z)(x-y-z)$

(3) $(x^{2}+3x-2)(x^{2}+3x+3)$

(4) $(a-b+c)^{2}-(a-b-c)^{2}$

(5) $(x+4)^{2}(x-4)^{2}$

(6) $(x-2)(x+2)(x^{2}+4)(x^{4}+16)$

(7) $(x-1)(x+2)(x-3)(x-6)$

(8) $(x+2y)^{3}$

(9) $(x+2y-3)^{2}$


講義

すんなり展開公式が使えないものは同じものをグルーピングしてから使います.


解答

(1) $(2x-3y)^{2}=\boldsymbol{4x^{2}-12xy+9y^{2}}$

※公式③で $a=2x$,$b=3y$ を代入.


(2) $(x+y-z)(x-y-z)$

$=\{(x-z)+y\}\{(x-z)-y\}$

$=(x-z)^{2}-y^{2}$

$=\boldsymbol{x^{2}-2xz+z^{2}-y^{2}}$

※2行目でグルーピング.3行目で公式④です.


(3) $(x^{2}+3x-2)(x^{2}+3x+3)$

$=\{(x^{2}+3x)-2\}\{(x^{2}+3x)+3\}$

$=(x^{2}+3x)^{2}+(x^{2}+3x)-6$

$=\boldsymbol{x^{4}+6x^{3}+10x^{2}+3x-6}$

※2行目でグルーピング.3行目を公式⑤で $x$ を $(x^{2}+3x)$ として,$a=-2$,$b=3$ とします.


(4) $(a-b+c)^{2}-(a-b-c)^{2}$

$=\{(a-b+c)+(a-b-c)\}\{(a-b+c)-(a-b-c)\}$

$=(2a-2b)2c$

$=\boldsymbol{4ac-4bc}$

※2行目で公式④で $a$ を $(a-b+c)$,$b$ を $(a-b-c)$ とします.


(5) $(x+4)^{2}(x-4)^{2}$

$=\{(x+4)(x-4)\}^{2}$

$=(x^{2}-16)^{2}$

$=\boldsymbol{x^{4}-32x^{2}+256}$

※かける順番を変えます.


(6) $(x-2)(x+2)(x^{2}+4)(x^{4}+16)$

$=(x^{2}-4)(x^{2}+4)(x^{4}+16)$

$=(x^{4}-16)(x^{4}+16)$

$=\boldsymbol{x^{8}-256}$

※ひたすら公式④を使います.


(7) $(x-1)(x+2)(x-3)(x-6)$

$=(x-1)(x-3)(x+2)(x-6)$

$=(x^{2}-4x+3)(x^{2}-4x-12)$

$=\{(x^{2}-4x)+3\}\{(x^{2}-4x)-12\}$

$=(x^{2}-4x)^{2}-9(x^{2}-4x)-36$

$=\boldsymbol{x^{4}-8x^{3}+7x^{2}+36x-36}$

※ $x^{2}-4x$ をグルーピングするために先読みして2行目のように並び替えます.


(8) $(x+2y)^{3}$

$=x^{3}+3x^{2}\cdot 2y+3x(2y)^{2}+8y^{3}$

$=\boldsymbol{x^{3}+6x^{2}y+12xy^{2}+8y^{3}}$

※公式⑩で $a=x$,$b=2y$ とします.


(9) $(x+2y-3)^{2}$

$=x^{2}+4y^{2}+9+4xy-12y-6x$

$=\boldsymbol{x^{2}+4y^{2}+4xy-6x-12y+9}$

※公式⑪で $a=x$,$b=2y$,$c=-3$ とします.2行目のままでも正解ですが,一応降べきの順にしました.

練習問題

練習

次の式を展開せよ.

(1) $(x-y-z)(-x-y+z)$

(2) $(x^{2}-4x-2)(x^{2}+5x-2)$

(3) $(x+3y-1)^{2}$

(4) $(2a-b-c)^{2}-(2a+b+c)^{2}$

(5) $(x-3)(x+1)(x-5)(x-1)$

(6) $(x+1)(x-1)(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)$

(7) $(2x+1)^{3}(2x-1)^{3}$

(8) $(x+y+3z)^{3}-(y+3z-x)^{3}-(3z+x-y)^{3}-(x+y-3z)^{3}$

(9) $(x+y+1)(x^{2}+y^{2}-xy-x-y+1)$

練習の解答

(1) $(x-y-z)(-x-y+z)$

$=\{-y+(x-z)\}\{-y-(x-z)\}$

$=(-y)^{2}-(x-z)^{2}$

$=\boldsymbol{y^{2}-x^{2}+2xz-z^{2}}$


(2) $(x^{2}-4x-2)(x^{2}+5x-2)$

$=\{(x^{2}-2)-4x\}\{(x^{2}-2)+5x\}$

$=(x^{2}-2)^{2}+x(x^{2}-2)-20x^{2}$

$=\boldsymbol{x^{4}+x^{3}-24x^{2}-2x+4}$


(3) $(x+3y-1)^{2}$

$=x^{2}+9y^{2}+1+6xy-6y-2x$

$=\boldsymbol{x^{2}+9y^{2}+6xy-2x-6y+1}$


(4) $(2a-b-c)^{2}-(2a+b+c)^{2}$

$=\{(2a-b-c)+(2a+b+c)\}\{(2a-b-c)-(2a+b+c)\}$

$=4a(-2b-2c)$

$=\boldsymbol{-8ab-8ac}$


(5) $(x-3)(x+1)(x-5)(x-1)$

$=(x-3)(x-1)(x+1)(x-5)$

$=(x^{2}-4x+3)(x^{2}-4x-5)$

$=\{(x^{2}-4x)+3\}\{(x^{2}-4x)-5\}$

$=(x^{2}-4x)^{2}-2(x^{2}-4x)-15$

$=\boldsymbol{x^{4}-8x^{3}+14x^{2}+8x-15}$


(6) $(x+1)(x-1)(x^{2}-x+1)(x^{2}+x+1)$

$=(x+1)(x^{2}-x+1)(x-1)(x^{2}+x+1)$

$=(x^{3}+1)(x^{3}-1)$

$=\boldsymbol{x^{6}-1}$

※公式⑦,⑧が使える形に並び替えて使います.


(7) $(2x+1)^{3}(2x-1)^{3}$

$=\{(2x+1)(2x-1)\}^{3}$

$=(4x^{2}-1)^{3}$

$=64x^{6}-3(4x^{2})^{2}+3\cdot 4x^{2}-1$

$=\boldsymbol{64x^{6}-48x^{4}+12x^{2}-1}$


(8) $x+y=A$,$x-y=B$ とおく

$(x+y+3z)^{3}-(y+3z-x)^{3}-(3z+x-y)^{3}-(x+y-3z)^{3}$

$=(A+3z)^{3}-(3z-B)^{3}-(3z+B)^{3}-(A-3z)^{3}$

$=(A+3z)^{3}-(A-3z)^{3}+(B-3z)^{3}-(B+3z)^{3}$

$=6z\{(A+3z)^{2}+(A+3z)(A-3z)+(A-3z)^{2}\}-6z\{(B-3z)^{2}+(B+3z)(B-3z)+(B+3z)^{2}\}$

$=6z(3A^{2}+9z^{2})-6z(3B^{2}+9z^{2})$

$=18z(A^{2}-B^{2})$

$=18z(A+B)(A-B)$

$=18z\cdot 2x \cdot 2y$

$=\boldsymbol{72xyz}$


(9) 2017昭和大薬学部

 $(x+y+1)(x^{2}+y^{2}-xy-x-y+1)$

$=\{(x+y)+1\}\{(x+y)^{2}-3xy-(x+y)+1\}$

$=(x+y)^{3}-3xy(x+y)-3xy+1$

$=\boldsymbol{x^{3}+y^{3}-3xy+1}$