解の公式を使う証明

$ax^{2}+bx+c=0$ を解くと

$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

これより

　$\alpha+\beta$

$=\dfrac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=-\dfrac{b}{a}$

　$\alpha\beta$

$=\dfrac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\cdot\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\dfrac{b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}$

$=\dfrac{c}{a}$

因数分解して係数比較する方法

2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解が $\alpha$ と $\beta$ なので，因数定理より

　$ax^{2}+bx+c$

$=a(x-\alpha)(x-\beta)$

$=ax^{2}-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta$

とできるので，係数比較すると

$\displaystyle \begin{cases} b=-a(\alpha+\beta) \\ c=a\alpha\beta \end{cases}$

$a\neq0$ より

$\displaystyle \begin{cases} \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a} \\ \alpha\beta=\dfrac{c}{a} \end{cases}$

※ 検定教科書では因数定理の方が後に登場します．

講義

すべて解と係数の関係を使って解く問題です．

解答

(1)

解と係数の関係より

$\displaystyle \begin{cases} \alpha+\beta=-\dfrac{6}{1}=-6 \\ \alpha\beta=\dfrac{-1}{1}=-1 \end{cases}$

これより

$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=\boldsymbol{38}$

$\alpha^{3}+\beta^{3}=(\alpha+\beta)(\alpha^{2}-\alpha\beta+\beta^{2})=-6\cdot39=\boldsymbol{-234}$

(2)

解と係数の関係より

$\displaystyle \begin{cases} \alpha+\beta=5 \\ \alpha\beta=10 \end{cases}$

これより

$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=5$

$\alpha^{2}\beta^{2}=(\alpha\beta)^{2}=100$

$\alpha^2$ と $\beta^2$ を解にする2次方程式の1つは

$\boldsymbol{x^{2}-5x+100=0}$