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2次方程式の解と係数の関係

複素数と方程式(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

2次方程式の解と係数の関係について扱います.



2次方程式の解と係数の関係と証明

ポイント

2次方程式の解と係数の関係

2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解を $\alpha$ と $\beta$ とすると

$\displaystyle \color{red}{\begin{cases}\boldsymbol{\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}} \\ \boldsymbol{\alpha\beta=\dfrac{c}{a}}\end{cases}}$

※ 重解( $\alpha=\beta$ )のときも成り立ちます.


2次方程式の解と係数における関係式なので,そのまま"解と係数の関係"という公式名になっています.

$\alpha+\beta$ と $\alpha\beta$ が基本対称式になっているので,何かと登場機会が多く,暗記必須の公式です.

以下に示す証明を理解しておくと,忘れてもその場で導けます.

証明

証明方法を2つ紹介します.後者の方が3次方程式以上の解と係数の関係を導くときにも使うので重要です.

解の公式を使う証明

$ax^{2}+bx+c=0$ を解くと

$x=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

これより

 $\alpha+\beta$

$=\dfrac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}+\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=-\dfrac{b}{a}$

 $\alpha\beta$

$=\dfrac{-b+ \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\cdot\dfrac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$=\dfrac{b^{2}-(b^{2}-4ac)}{4a^{2}}$

$=\dfrac{c}{a}$


因数分解して係数比較する方法

2次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解が $\alpha$ と $\beta$ なので,因数定理より

 $ax^{2}+bx+c$

$=a(x-\alpha)(x-\beta)$

$=ax^{2}-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta$

とできるので,係数比較すると

$\displaystyle \begin{cases} b=-a(\alpha+\beta) \\ c=a\alpha\beta \end{cases}$

$a\neq0$ より

$\displaystyle \begin{cases} \alpha+\beta=-\dfrac{b}{a} \\ \alpha\beta=\dfrac{c}{a} \end{cases}$

※ 検定教科書では因数定理の方が後に登場します.

例題と練習問題

例題

例題

(1) 2次方程式 $x^{2}+6x-1=0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とするとき,$\alpha^{2}+\beta^{2}$,$\alpha^{3}+\beta^{3}$ の値をそれぞれ求めよ.

(2) 2次方程式 $x^{2}-5x+10=0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とするとき,$\alpha^2$ と $\beta^2$ を解にする2次方程式を1つ作れ.


講義

すべて解と係数の関係を使って解く問題です.


解答

(1)

解と係数の関係より

$\displaystyle \begin{cases} \alpha+\beta=-\dfrac{6}{1}=-6 \\ \alpha\beta=\dfrac{-1}{1}=-1 \end{cases}$

これより

$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=\boldsymbol{38}$

$\alpha^{3}+\beta^{3}=(\alpha+\beta)(\alpha^{2}-\alpha\beta+\beta^{2})=-6\cdot39=\boldsymbol{-234}$


(2)

解と係数の関係より

$\displaystyle \begin{cases} \alpha+\beta=5 \\ \alpha\beta=10 \end{cases}$

これより

$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=5$

$\alpha^{2}\beta^{2}=(\alpha\beta)^{2}=100$

$\alpha^2$ と $\beta^2$ を解にする2次方程式の1つは

$\boldsymbol{x^{2}-5x+100=0}$

練習問題

練習

(1) 2次方程式 $2x^{2}+3x+10=0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とするとき,$\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}$,$\alpha^{3}+\beta^{3}$ の値をそれぞれ求めよ.

(2) 2次方程式 $x^{2}-12x+k+1=0$ の1つの解がもう1つの解の平方であるとき,定数 $k$ と2つの解を求めよ.

(3) 2次方程式 $3x^{2}-5x+9=0$ の2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とするとき,$\alpha^{2}+1$ と $\beta^{2}+1$ を解にする2次方程式を1つ作れ.

練習の解答

(1)

解と係数の関係より

$\displaystyle \begin{cases} \alpha+\beta=-\dfrac{3}{2} \\ \alpha\beta=\dfrac{10}{2}=5 \end{cases}$

これより

 $\dfrac{1}{\alpha}+\dfrac{1}{\beta}$

$=\dfrac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}$

$=\boldsymbol{-\dfrac{3}{10}}$

 $\alpha^{3}+\beta^{3}$

$=(\alpha+\beta)^{3}-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$

$=-\dfrac{27}{8}+\dfrac{45}{2}$

$=\boldsymbol{\dfrac{153}{8}}$


(2)

解を $\alpha$,$\alpha^2$ とすると,解と係数の関係より

$\displaystyle \begin{cases} \alpha+\alpha^{2}=12 \\ \alpha^3=k+1 \end{cases}$

上の式を解くと,$\alpha=3,-4$.$k=26,-65$.

よって,$\boldsymbol{k=26}$ のとき,2つの解は $\boldsymbol{3}$,$\boldsymbol{9}$.

$\boldsymbol{k=-65}$ のとき,2つの解は $\boldsymbol{-4}$,$\boldsymbol{16}$.


(3)

$\displaystyle \begin{cases} \alpha+\beta=\dfrac{5}{3} \\ \alpha\beta=3\end{cases}$

これより,$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=\dfrac{25}{9}-6=-\dfrac{29}{9}$ から

$(\alpha^{2}+1)+(\beta^{2}+1)=-\dfrac{11}{9}$

$(\alpha^{2}+1)(\beta^{2}+1)=(\alpha\beta)^{2}+\alpha^{2}+\beta^{2}+1=\dfrac{61}{9}$

$\alpha^2$ と $\beta^2$ を解にする2次方程式の1つは

$\boldsymbol{x^{2}+\dfrac{11}{9}x+\dfrac{61}{9}=0}$

※もちろん $9x^{2}+11x+61=0$ が答えでもOKです.