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定積分(多項式関数)

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

定積分の概念と性質などを説明します.

数Ⅱの定積分は微分と同じく多項式関数が対象です.基本をすべて網羅しました(絶対値付き関数の定積分のみ除外).





定積分の定義

不定積分は定数部分が定まらない故に不便さがあり,以下に定積分を定義します.


ポイント

定積分の定義

$f(x)$ の原始関数の1つを $F(x)$ とする.実数 $a$,$b$ に対して $F(b)-F(a)$ を $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分といい,$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$ または $\displaystyle \Bigl[F(x) \Bigr]_{a}^{b}$ で表す.まとめると

$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\Bigl[F(x) \Bigr]_{a}^{b}=F(b)-F(a)}}$

となる.ここで $a$ から $b$ までの部分を積分範囲といい,$a$ を下端,$b$ を上端という.


$F(x)$ は原始関数(不定積分)であれば何でも構わないので,簡単のために通常は定数部分を削除したものを使います.




定積分の性質

ポイント

定積分の性質

Ⅰ $k$,$l$ を実数とする.

$\displaystyle \int_{a}^{b}\{kf(x)+lg(x)\}\,dx=k\int_{a}^{b}f(x)\,dx+l\int_{a}^{b}g(x)\,dx$

↓ $k=1$,$l=-1$ のとき

$\displaystyle \int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx-\int_{a}^{b}g(x)\,dx$

Ⅱ $\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0$

Ⅲ $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx$

Ⅳ $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx$

証明




よく使う定積分の公式

検定教科書に記載されていないことがありますが,受験で数学を使うならば知っておきたいです.


ポイント

偶関数,奇関数の定積分

$k$ を $0$ 以上の整数とする.

(ⅰ) $\displaystyle \boldsymbol{\color{red}{\int_{-a}^{a}x^{2k}\,dx=2\int_{0}^{a}x^{2k}\,dx}}$

(ⅱ) $\displaystyle \boldsymbol{\color{red}{\int_{-a}^{a}x^{2k+1}\,dx=0}}$

証明

$-a$ から $a$ までの定積分が出現したらラッキーで,$x^{2k}$ (偶数乗)か,$x^{2k+1}$ (奇数乗)かの積分に注意します.

改めて偶関数,奇関数の定積分で扱います.



ポイント

$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式

$\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$


検定教科書では発展的内容として扱われているケースが多いです.証明を含めた詳細は1/6公式をご参考ください.




例題と練習問題

例題

例題

次の定積分を求めよ.

(1) $\displaystyle \int_{0}^{1} \ (x+5)(x-2)\,dx$

(2) $\displaystyle \int_{-1}^{2} \ (x+2)^{2}x^2\,dx-\int_{-1}^{2} \ (x-2)^{2}x^2\,dx$

(3) $\displaystyle \int_{0}^{2} \ (x+1)x\,dx-\int_{0}^{-1} \ (x+1)x\,dx$

(4) $\displaystyle \int_{0}^{2} \ (3t+x)(t-x)\,dt$

(5) $\displaystyle \int_{-6}^{0} \ (x+6)^{3}\,dx$

(6) $\displaystyle \int_{-3}^{3} \ (7x^{3}+3x^{2}-x+5)\,dx$


講義

(1)展開してから積分します.

(2)左と右を積分する前にまとめると楽です.

(3)積分の中身が同じなので,積分範囲を連結できれば楽です.

(4) $dt$ とあるので,$t$ で積分し,$x$ は定数として解釈します.

(5) $(ax+b)^n$ の積分公式を使います.

(6)偶関数と奇関数の定積分公式を使うと楽です.


解答

(1)

 $\displaystyle \int_{0}^{1} \ (x+5)(x-2)\,dx$

$\displaystyle =\int_{0}^{1} \ (x^{2}+3x-10)\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{3}x^{2}+\dfrac{3}{2}x-10x \right]_{0}^{1}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}-10-(0+0-0)$

$=\boldsymbol{-\dfrac{49}{6}}$


(2)

 $\displaystyle \int_{-1}^{2}(x+2)^{2}x^{2}\,dx-\int_{-1}^{2}(x-2)^{2}x^{2}\,dx$

$\displaystyle =\int_{-1}^{2} \ \{(x+2)^{2}x^{2}-(x-2)^{2}x^{2}\}\,dx$

$\displaystyle =\int_{-1}^{2} \ 8x^{3}\,dx$

$\displaystyle =\Bigl[2x^{4} \Bigr]_{-1}^{2}$

$\displaystyle =32-2$

$=\boldsymbol{30}$


(3)

 $\displaystyle \int_{0}^{2} \ (x+1)x\,dx-\int_{0}^{-1} \ (x+1)x\,dx$

$\displaystyle =\int_{0}^{2} \ (x+1)x\,dx+\int_{-1}^{0} \ (x+1)x\,dx$

$\displaystyle =\int_{-1}^{2} \ (x^{2}+x)\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2} \right]_{-1}^{2}$

$\displaystyle =\dfrac{8}{3}+2-\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\right)$

$=\boldsymbol{\dfrac{9}{2}}$


(4)

 $\displaystyle \int_{0}^{2}(3t+x)(t-x)\,dt$

$\displaystyle =\int_{0}^{2} \ (3t^{2}-2xt-x^{2})\,dt$

$\displaystyle =\Bigl[t^{3}-xt^{2}-x^{2}t \Bigr]_{0}^{2}$

$\displaystyle =8-4x-2x^{2}-(0-0-0)$

$=\boldsymbol{-2x^{2}-4x+8}$


(5)

 $\displaystyle \int_{-6}^{0} \ (x+6)^{3}\,dx$

$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{4}(x+6)^{4} \right]_{-6}^{0}$

$\displaystyle =\dfrac{1}{4}\cdot 6^{4}-0$

$=\boldsymbol{324}$


(6)

 $\displaystyle \int_{-3}^{3} \ (7x^{3}+3x^{2}-x+5)\,dx$

$\displaystyle =\color{red}{2}\int_{\color{red}{0}}^{3} \ (3x^{2}+5)\,dx$ ←偶数乗(偶関数)を残す

$\displaystyle =2\Bigl[x^{3}+5x \Bigr]_{0}^{3}$

$\displaystyle =2\{27+15-(0+0)\}$

$=\boldsymbol{84}$



練習問題

練習

次の定積分を求めよ.

(1) $\displaystyle \int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx$

(2) $\displaystyle \int_{0}^{1}(x-2)^{2}(x+1)\,dx-\int_{0}^{1} \ (x-5)^{2}(x+1)\,dx$

(3) $\displaystyle \int_{0}^{2}(t-3x)(t+x)\,dt$

(4) $\displaystyle \int_{1}^{3}(2x-3)^{3}\,dx$

(5) $\displaystyle \int_{0}^{2}(x-1)^{2}(x-2)\,dx-\int_{-2}^{0} \ (x-1)^{2}(2-x)\,dx$

練習の解答



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