定積分(多項式関数)
積分(数学Ⅱ)(教科書範囲) ★★
定積分の概念と性質などを説明します．
数学Ⅱの定積分は微分と同じく多項式関数が対象です．基本をすべて網羅しました(絶対値付き関数の定積分のみ除外)．
定積分の定義
不定積分は定数部分が定まらない故に不便さがあり，以下に定積分を定義します．
定積分の定義
$f(x)$ の原始関数の1つを $F(x)$ とする．実数 $a$，$b$ に対して $F(b)-F(a)$ を $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分といい，$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$ または $\displaystyle \Bigl[F(x) \Bigr]_{a}^{b}$ で表す．まとめると
$\displaystyle \color{red}{\boldsymbol{\int_{a}^{b}f(x)\,dx=\Bigl[F(x) \Bigr]_{a}^{b}=F(b)-F(a)}}$
となる．ここで $a$ から $b$ までの部分を積分範囲といい，$a$ を下端，$b$ を上端という．
$F(x)$ は原始関数(不定積分)であれば何でも構わないので，簡単のために通常は定数部分を削除したものを使います．
定積分の性質
定積分の性質
Ⅰ $k$，$l$ を実数とする．
$\displaystyle \int_{a}^{b}\{kf(x)+lg(x)\}\,dx=k\int_{a}^{b}f(x)\,dx+l\int_{a}^{b}g(x)\,dx$
↓ $k=1$，$l=-1$ のとき
$\displaystyle \int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx-\int_{a}^{b}g(x)\,dx$
Ⅱ $\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0$
Ⅲ $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx$
Ⅳ $\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx$
証明
Ⅰ
$\displaystyle \int_{a}^{b}\{kf(x)+lg(x)\}\,dx$
$\displaystyle =\Bigl[kF(x)+lG(x)\Bigr]_{a}^{b}$
$=kF(b)+lG(b)-(kF(a)+lG(a))$
$=k(F(b)-F(a))+l(G(b)-G(a)))$
$\displaystyle =k\int_{a}^{b}f(x)\,dx+l\int_{a}^{b}g(x)\,dx$
Ⅱ
$\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\,dx$
$=F(a)-F(a)$
$=0$
Ⅲ
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$
$=F(b)-F(a)$
$=-\left(F(a)-F(b)\right)$
$\displaystyle =-\int_{b}^{a}f(x)\,dx$
Ⅳ
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$
$=F(b)-F(a)$
$=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)$
$\displaystyle =\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx$
よく使う定積分の公式
検定教科書に記載されていないことがありますが，受験で数学を使うならば知っておきたいです．
偶関数，奇関数の定積分
$k$ を $0$ 以上の整数とする．
(ⅰ) $\displaystyle \boldsymbol{\color{red}{\int_{-a}^{a}x^{2k}\,dx=2\int_{0}^{a}x^{2k}\,dx}}$
(ⅱ) $\displaystyle \boldsymbol{\color{red}{\int_{-a}^{a}x^{2k+1}\,dx=0}}$
証明
(ⅰ)
$\displaystyle \int_{-a}^{a}x^{2k}\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2k+1}x^{2k+1}\right]_{-a}^{a}$
$=\dfrac{1}{2k+1}a^{2k+1}-\dfrac{1}{2k+1}(-a)^{2k+1}$
$=\dfrac{1}{2k+1}a^{2k+1}+\dfrac{1}{2k+1}a^{2k+1}$
$\displaystyle =2\left[\dfrac{1}{2k+1}x^{2k+1}\right]_{0}^{a}$
$\displaystyle =2\int_{0}^{a}x^{2k}\,dx$
(ⅱ)
$\displaystyle \int_{-a}^{a}x^{2k+1}\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{2k+2}x^{2k+2}\right]_{-a}^{a}$
$=\dfrac{1}{2k+2}a^{2k+2}-\dfrac{1}{2k+2}(-a)^{2k+2}$
$=\dfrac{1}{2k+2}a^{2k+2}-\dfrac{1}{2k+2}a^{2k+2}$
$=0$
$-a$ から $a$ までの定積分が出現したらラッキーで，$x^{2k}$ (偶数乗)か，$x^{2k+1}$ (奇数乗)かの積分に注意します．
改めて偶関数，奇関数の定積分で扱います．
$\displaystyle \dfrac{1}{6}$ 公式
$\displaystyle \boldsymbol{\int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{1}{6}(\beta-\alpha)^3}$
検定教科書では発展的内容として扱われているケースが多いです．証明を含めた詳細は1/6公式をご参考ください．
例題と練習問題
例題
例題
次の定積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{0}^{1} \ (x+5)(x-2)\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{-1}^{2} \ (x+2)^{2}x^2\,dx-\int_{-1}^{2} \ (x-2)^{2}x^2\,dx$
(3) $\displaystyle \int_{0}^{2} \ (x+1)x\,dx-\int_{0}^{-1} \ (x+1)x\,dx$
(4) $\displaystyle \int_{0}^{2} \ (3t+x)(t-x)\,dt$
(5) $\displaystyle \int_{-6}^{0} \ (x+6)^{3}\,dx$
(6) $\displaystyle \int_{-3}^{3} \ (7x^{3}+3x^{2}-x+5)\,dx$
講義
(1)展開してから積分します．
(2)左と右を積分する前にまとめると楽です．
(3)積分の中身が同じなので，積分範囲を連結できれば楽です．
(4) $dt$ とあるので，$t$ で積分し，$x$ は定数として解釈します．
(5) $(ax+b)^n$ の積分公式を使います．
(6)偶関数と奇関数の定積分公式を使うと楽です．
解答
(1)
$\displaystyle \int_{0}^{1} \ (x+5)(x-2)\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{1} \ (x^{2}+3x-10)\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^{2}-10x \right]_{0}^{1}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{2}-10-(0+0-0)$
$=\boldsymbol{-\dfrac{49}{6}}$
(2)
$\displaystyle \int_{-1}^{2}(x+2)^{2}x^{2}\,dx-\int_{-1}^{2}(x-2)^{2}x^{2}\,dx$
$\displaystyle =\int_{-1}^{2} \ \{(x+2)^{2}x^{2}-(x-2)^{2}x^{2}\}\,dx$
$\displaystyle =\int_{-1}^{2} \ 8x^{3}\,dx$
$\displaystyle =\Bigl[2x^{4} \Bigr]_{-1}^{2}$
$\displaystyle =32-2$
$=\boldsymbol{30}$
(3)
$\displaystyle \int_{0}^{2} \ (x+1)x\,dx-\int_{0}^{-1} \ (x+1)x\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{2} \ (x+1)x\,dx+\int_{-1}^{0} \ (x+1)x\,dx$
$\displaystyle =\int_{-1}^{2} \ (x^{2}+x)\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{1}{2}x^{2} \right]_{-1}^{2}$
$\displaystyle =\dfrac{8}{3}+2-\left(-\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2}\right)$
$=\boldsymbol{\dfrac{9}{2}}$
(4)
$\displaystyle \int_{0}^{2}(3t+x)(t-x)\,dt$
$\displaystyle =\int_{0}^{2} \ (3t^{2}-2xt-x^{2})\,dt$
$\displaystyle =\Bigl[t^{3}-xt^{2}-x^{2}t \Bigr]_{0}^{2}$
$\displaystyle =8-4x-2x^{2}-(0-0-0)$
$=\boldsymbol{-2x^{2}-4x+8}$
(5)
$\displaystyle \int_{-6}^{0} \ (x+6)^{3}\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{4}(x+6)^{4} \right]_{-6}^{0}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{4}\cdot 6^{4}-0$
$=\boldsymbol{324}$
(6)
$\displaystyle \int_{-3}^{3} \ (7x^{3}+3x^{2}-x+5)\,dx$
$\displaystyle =\color{red}{2}\int_{\color{red}{0}}^{3} \ (3x^{2}+5)\,dx$ ←偶数乗(偶関数)を残す
$\displaystyle =2\Bigl[x^{3}+5x \Bigr]_{0}^{3}$
$\displaystyle =2\{27+15-(0+0)\}$
$=\boldsymbol{84}$
練習問題
練習
次の定積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{0}^{1}(x-2)^{2}(x+1)\,dx-\int_{0}^{1} \ (x-5)^{2}(x+1)\,dx$
(3) $\displaystyle \int_{0}^{2}(t-3x)(t+x)\,dt$
(4) $\displaystyle \int_{1}^{3}(2x-3)^{3}\,dx$
(5) $\displaystyle \int_{0}^{2}(x-1)^{2}(x-2)\,dx-\int_{-2}^{0} \ (x-1)^{2}(2-x)\,dx$
解答
以下，$C$ は積分定数とする．
(1)
$\displaystyle \int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx$
$\displaystyle =\int_{-1}^{2}(x^{2}-x-2)\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{3}x^{3}-\dfrac{1}{2}x^{2}-2x \right]_{-1}^{2}$
$\displaystyle =\dfrac{8}{3}-2-4-\left(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}+2\right)$
$=\boldsymbol{-\dfrac{9}{2}}$
(別解)
数学Ⅲ選択者は部分積分で計算が楽です．
(別解：答えのみの形式)
1/6公式を使います．
$\displaystyle \int_{-1}^{2}(x+1)(x-2)\,dx=-\dfrac{1}{6}\{2-(-1)\}^{3}=\boldsymbol{-\dfrac{9}{2}}$
(2)
$\displaystyle \int_{0}^{1}(x-2)^{2}(x+1)\,dx-\int_{0}^{1} \ (x-5)^{2}(x+1)\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{1} \ \{(x-2)^{2}(x+1)-(x-5)^{2}(x+1)\}\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{1} \ (6x-21)(x+1)\,dt$
$\displaystyle =\int_{0}^{1} \ (6x^{2}-15x-21)\,dt$
$\displaystyle =\left[2x^{3}-\dfrac{15}{2}x^{2}-21x \right]_{0}^{1}$
$\displaystyle =2-\dfrac{15}{2}-21$
$=\boldsymbol{-\dfrac{53}{2}}$
(3)
$\displaystyle \int_{0}^{2}(t-3x)(t+x)\,dt$
$\displaystyle =\int_{0}^{2} \ (t^{2}-2xt-3x^{2})\,dt$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{3}t^{3}-xt^{2}-3x^{2}t \right]_{0}^{2}$
$\displaystyle =\dfrac{8}{3}-4x-6x^{2}$
$=\boldsymbol{-6x^{2}-4x+\dfrac{8}{3}}$
(4)
$\displaystyle \int_{1}^{3}(2x-3)^{3}\,dx$
$\displaystyle =\left[\dfrac{1}{8}(2x-3)^{4} \right]_{1}^{3}$
$\displaystyle =\dfrac{1}{8}\cdot 3^{4}-\dfrac{1}{8}$
$=\boldsymbol{10}$
(5)
$\displaystyle \int_{0}^{2}(x-1)^{2}(x-2)\,dx-\int_{-2}^{0} \ (x-1)^{2}(2-x)\,dx$
$\displaystyle =\int_{0}^{2}(x-1)^{2}(x-2)\,dx+\int_{-2}^{0} \ (x-1)^{2}(x-2)\,dx$
$\displaystyle =\int_{-2}^{2}(x-1)^{2}(x-2)\,dx$
$\displaystyle =\int_{-2}^{2}(x^{3}-4x^{2}+5x-2)\,dx$
$\displaystyle =2\int_{0}^{2}(-4x^{2}-2)\,dx$
$\displaystyle =2\left[-\dfrac{4}{3}x^{3}-2x \right]_{0}^{2}$
$\displaystyle =-\dfrac{64}{3}-8$
$=\boldsymbol{-\dfrac{88}{3}}$