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不定積分(多項式関数)

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


アイキャッチ

このページは積分の最初のページであり,不定積分の概念と性質などを説明します.

数Ⅱの不定積分は微分と同じく多項式関数が対象です.その基本を網羅しました.



不定積分とは

微分の逆演算を基本的には積分といいます.しかし,微分は必ず1通りに定まるのに対し,積分は無限通り対応します.

$F(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}+5x+C$

積分⇅微分

$f(x)=x^{2}+2x+5$

$C$ はどんな実数でも構わないので,積分は1通りに定めることができません.この $F(x)$ を不定積分または原始関数といい,$\displaystyle \int_{}^{} \ f(x)\,dx$ で表します.$C$ を積分定数といいます.

※ $\displaystyle \int_{}^{}$ はインテグラルまたは積分と読む.ラテン語の和 summa の s が変化したのが由来だそうです.

※ $C$ はconstantが由来です.

不定積分の性質

ポイント

不定積分の性質

$k$,$l$ を実数とする.

$\displaystyle \int_{}^{} \ \{kf(x)+lg(x)\}\,dx=k\int_{}^{} \ f(x)\,dx+l\int_{}^{} \ g(x)\,dx$

↓ $k=1$,$l=-1$ のとき

$\displaystyle \int_{}^{} \ \{f(x)-g(x)\}\,dx=\int_{}^{} \ f(x)\,dx-\int_{}^{} \ g(x)\,dx$


今後当たり前のように使う性質です.

よく使う不定積分の公式

ポイント

$x^n$ の不定積分

$\displaystyle \int_{}^{} \ x^{n}\,dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$

( $n$ は $0$ 以上の整数)


微分をして $x^n$ になるものを考えれば自明で,不定積分なので積分定数 $C$ を忘れないようにします.

ポイント

$(ax+b)^n$ の不定積分

$\displaystyle \int_{}^{} \ (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C$

( $n$ は自然数)


数Ⅲの合成関数の微分公式 $\left\{\left(ax+b\right)^{n}\right\}'=n\left(ax+b\right)^{n-1}a$ の逆公式になり,数Ⅲの範囲ですが知っておくといいと思います.こちらもご参考ください.


例題と練習問題

例題

例題

次の不定積分を求めよ.

(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ (7x+5)\,dx$

(2) $\displaystyle \int_{}^{} \ (x+5)(x-2)\,dx$

(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ (x+2)^{2}x^2\,dx-\int_{}^{} \ (x-2)^{2}x^2\,dx$

(4) $\displaystyle \int_{}^{} \ (3t+x)(t-x)\,dt$

(5) $\displaystyle \int_{}^{} \ (x+6)^{3}\,dx$


講義

(2)展開してから積分します.

(3)左と右を積分する前にまとめます.

(4) $dt$ とあるので,$t$ で積分し,$x$ は定数として解釈します.

(5) $(ax+b)^n$ の不定積分公式を使います.


解答

以下,$C$ は積分定数とする. ←最初に宣言すると楽です.

(1)

 $\displaystyle \int_{}^{} \ (7x+5)\,dx$

$=\boldsymbol{\dfrac{7}{2}x^{2}+5x+C}$


(2)

 $\displaystyle \int_{}^{} \ (x+5)(x-2)\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ (x^{2}+3x-10)\,dx$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}x^{2}+\dfrac{3}{2}x-10x+C}$


(3)

 $\displaystyle \int_{}^{} \ (x+2)^{2}x^{2}\,dx-\int_{}^{} \ (x-2)^{2}x^{2}\,dx$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ \{(x+2)^{2}x^{2}-(x-2)^{2}x^{2}\}\,dt$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ 8x^{3}\,dx$

$=\boldsymbol{2x^{4}+C}$


(4)

 $\displaystyle \int_{}^{} \ (3t+x)(t-x)\,dt$

$\displaystyle =\int_{}^{} \ (3t^{2}-2xt-x^{2})\,dt$

$=\boldsymbol{t^{3}-xt^{2}-x^{2}t+C}$


(5)

 $\displaystyle \int_{}^{} \ (x+6)^{3}\,dx$

$=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}(x+6)^{4}+C}$

練習問題

練習

次の不定積分を求めよ.

(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ \,dx$

(2) $\displaystyle \int_{}^{} \ (x-2)^{2}(x+1)\,dx-\int_{}^{} \ (x-9)^{2}(x+1)\,dx$

(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ (t-3x)(t+x)\,dt$

(4) $\displaystyle \int_{}^{} \ (x-3)^{2}\,dx$

(5) $\displaystyle \int_{}^{} \ (2x-1)^{3}\,dx$

練習の解答