不定積分(多項式関数)
積分(数学Ⅱ)(教科書範囲) ★★
このページは積分の最初のページであり，不定積分の概念と性質などを説明します．
数学Ⅱの不定積分は微分と同じく多項式関数が対象です．その基本を網羅しました．
不定積分とは
微分の逆演算を基本的には積分といいます．しかし，微分は必ず1通りに定まるのに対し，積分は無限通り対応します．
$F(x)=\dfrac{1}{3}x^{3}+x^{2}+5x+C$
積分⇅微分
$f(x)=x^{2}+2x+5$
$C$ はどんな実数でも構わないので，積分は1通りに定めることができません．この $F(x)$ を不定積分または原始関数といい，$\displaystyle \int_{}^{} \ f(x)\,dx$ で表します．$C$ を積分定数といいます．
※ $\displaystyle \int_{}^{}$ はインテグラルまたは積分と読む．ラテン語の和 summa の s が変化したのが由来だそうです．
※ $C$ はconstantが由来です．
不定積分の性質
不定積分の性質
$k$，$l$ を実数とする．
$\displaystyle \int_{}^{} \ \{kf(x)+lg(x)\}\,dx=k\int_{}^{} \ f(x)\,dx+l\int_{}^{} \ g(x)\,dx$
↓ $k=1$，$l=-1$ のとき
$\displaystyle \int_{}^{} \ \{f(x)-g(x)\}\,dx=\int_{}^{} \ f(x)\,dx-\int_{}^{} \ g(x)\,dx$
今後当たり前のように使う性質です．
よく使う不定積分の公式
$x^n$ の不定積分
$\displaystyle \int_{}^{} \ x^{n}\,dx=\dfrac{1}{n+1}x^{n+1}+C$
( $n$ は $0$ 以上の整数)
微分をして $x^n$ になるものを考えれば自明で，不定積分なので積分定数 $C$ を忘れないようにします．
$(ax+b)^n$ の不定積分
$\displaystyle \int_{}^{} \ (ax+b)^{n}\,dx=\dfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C$
( $n$ は自然数)
数学Ⅲの合成関数の微分公式 $\left\{\left(ax+b\right)^{n}\right\}'=n\left(ax+b\right)^{n-1}a$ の逆公式になり，数学Ⅲの範囲ですが知っておくといいと思います．こちらもご参考ください．
例題と練習問題
例題
例題
次の不定積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ (7x+5)\,dx$
(2) $\displaystyle \int_{}^{} \ (x+5)(x-2)\,dx$
(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ (x+2)^{2}x^2\,dx-\int_{}^{} \ (x-2)^{2}x^2\,dx$
(4) $\displaystyle \int_{}^{} \ (3t+x)(t-x)\,dt$
(5) $\displaystyle \int_{}^{} \ (x+6)^{3}\,dx$
講義
(2)展開してから積分します．
(3)左と右を積分する前にまとめます．
(4) $dt$ とあるので，$t$ で積分し，$x$ は定数として解釈します．
(5) $(ax+b)^n$ の不定積分公式を使います．
解答
以下，$C$ は積分定数とする． ←最初に宣言すると楽です．
(1)
$\displaystyle \int_{}^{} \ (7x+5)\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{7}{2}x^{2}+5x+C}$
(2)
$\displaystyle \int_{}^{} \ (x+5)(x-2)\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ (x^{2}+3x-10)\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}x^{3}+\dfrac{3}{2}x^{2}-10x+C}$
(3)
$\displaystyle \int_{}^{} \ (x+2)^{2}x^{2}\,dx-\int_{}^{} \ (x-2)^{2}x^{2}\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \{(x+2)^{2}x^{2}-(x-2)^{2}x^{2}\}\,dt$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ 8x^{3}\,dx$
$=\boldsymbol{2x^{4}+C}$
(4)
$\displaystyle \int_{}^{} \ (3t+x)(t-x)\,dt$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ (3t^{2}-2xt-x^{2})\,dt$
$=\boldsymbol{t^{3}-xt^{2}-x^{2}t+C}$
(5)
$\displaystyle \int_{}^{} \ (x+6)^{3}\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{4}(x+6)^{4}+C}$
練習問題
練習
次の不定積分を求めよ．
(1) $\displaystyle \int_{}^{} \ \,dx$
(2) $\displaystyle \int_{}^{} \ (x-2)^{2}(x+1)\,dx-\int_{}^{} \ (x-9)^{2}(x+1)\,dx$
(3) $\displaystyle \int_{}^{} \ (t-3x)(t+x)\,dt$
(4) $\displaystyle \int_{}^{} \ (x-3)^{2}\,dx$
(5) $\displaystyle \int_{}^{} \ (2x-1)^{3}\,dx$
解答
以下，$C$ は積分定数とする．
(1)
$\displaystyle \int_{}^{} \ \,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ 1\,dx$
$=\boldsymbol{x+C}$
(2)
$\displaystyle \int_{}^{} \ (x-2)^{2}(x+1)\,dx-\int_{}^{} \ (x-9)^{2}(x+1)\,dx$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ \{(x-2)^{2}(x+1)-(x-9)^{2}(x+1)\}\,dt$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ (14x-77)(x+1)\,dt$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ (14x^{2}-63x-77)\,dt$
$=\boldsymbol{\dfrac{14}{3}x^{3}-\dfrac{63}{2}x^{2}-77x+C}$
(3)
$\displaystyle \int_{}^{} \ (t-3x)(t+x)\,dt$
$\displaystyle =\int_{}^{} \ (t^{2}-2xt-3x^{2})\,dt$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}t^{3}-xt^{2}-3x^{2}t+C}$
(4)
$\displaystyle \int_{}^{} \ (x-3)^{2}\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{3}(x-3)^{3}+C}$
(5)
$\displaystyle \int_{}^{} \ (2x-1)^{3}\,dx$
$=\boldsymbol{\dfrac{1}{8}(2x-1)^{4}+C}$