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$x^n$ の微分と導関数の計算

微分(数学Ⅱ)(教科書範囲) ★★


アイキャッチ

$x^n$ と定数,関連する微分公式の証明と,導関数の計算問題を用意しました.



$x^n$ と定数の微分公式と証明

毎度導関数の定義に従って微分していくのは正直大変です.

そこで $x^n$ と定数の微分公式を導いてみます.

ポイント

$x^n$ の微分

$n$ を自然数とすると

$\displaystyle \boldsymbol{(x^n)'=nx^{n-1}}$


定数の微分

$c$ を定数とすると

$\displaystyle \boldsymbol{(c)'=0}$

証明

$x^n$ の微分の証明

二項定理を使って,証明します.

$f(x)=x^n$ とおくと

 $f'(x)$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{(x+h)^n-x^n}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{x^n+{}_n{\rm C}_{1}x^{n-1}h+{}_n{\rm C}_{2}x^{n-2}h^2+\cdots+h^{n}-x^n}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}({}_n{\rm C}_{1}x^{n-1}+{}_n{\rm C}_{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1})$

$\displaystyle ={}_n{\rm C}_{1}x^{n-1}$

$\displaystyle =nx^{n-1}$


定数の微分の証明

$f(x)=c$ とおくと

 $f'(x)$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{c-c}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{0}{h}$

$\displaystyle =0$


ちなみに,自然数 $n$ ではなくて一般に実数 $\alpha$ に対して,$(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}$ が成り立ちます.これは数学Ⅲで対数微分法を使った証明が楽です.

導関数の性質

ポイント

基本的な導関数の性質

$k$,$l$ を定数とすると

1.$\{kf(x)\}'=kf'(x)$

2.$\{f(x)+g(x)\}'=f'(x)+g'(x)$

3.$\{kf(x)+lg(x)\}'=kf'(x)+lg'(x)$


以下は数学Ⅲの微分公式ですが,数学ⅡBまでの人も知っていると便利です.

積の微分

4.$\{f(x)g(x)\}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$


合成関数の微分

5.$\left(\{f(x)\}^{n}\right)'=n\{f(x)\}^{n-1}f'(x)$

↓ 特に $f(x)=ax+b$ のとき

☆.$\left\{\left(ax+b\right)^{n}\right\}'=n\left(ax+b\right)^{n-1}a$


興味がある人向けに下に証明を付けました.

1,2,3の証明

1,2が証明できれば3は同様なので,1,2を証明します.

1の証明

$\{kf(x)\}'$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{kf(x+h)-kf(x)}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}k \cdot \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\displaystyle =kf'(x)$


2の証明

$\{f(x)+g(x)\}'$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\left\{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}\right\}$

$\displaystyle =f'(x)+g'(x)$

4,5の証明

当サイトの数学Ⅲのページを紹介します.5の厳密な証明は高度です.

4(積の微分)の証明

5(合成関数の微分)の証明

☆の証明

合成関数の微分の証明が理解しづらい人向けです.こちらの証明は数学ⅡBまでで理解できます.

☆の証明

$f(x)=\left(ax+b\right)^{n}$ のとき

 $f'(x)$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{\left\{a(x+h)+b\right\}^{n}-\left(ax+b\right)^{n}}{h}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\left\{\sum_{k=0}^{n}\hspace{0mm} _{n}{\rm C}_{k}a^{k}(x+h)^{k}b^{n-k}-\sum_{k=0}^{n}\hspace{0mm} _{n}{\rm C}_{k}a^{k}x^{k}b^{n-k}\right\}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\left\{\sum_{k=0}^{n}\hspace{0mm} _{n}{\rm C}_{k}a^{k}(x^{k}+\hspace{0mm} _{k}{\rm C}_{1}x^{k-1}h+\cdots+h^{k})b^{n-k}-\sum_{k=0}^{n}\hspace{0mm} _{n}{\rm C}_{k}a^{k}x^{k}b^{n-k}\right\}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\left\{\sum_{k=0}^{n}\hspace{0mm} _{n}{\rm C}_{k}a^{k}(\hspace{0mm} _{k}{\rm C}_{1}x^{k-1}h+\cdots+h^{k})b^{n-k}\right\}$

$\displaystyle =\lim_{h\to 0}\left\{\sum_{k=0}^{n}\hspace{0mm} _{n}{\rm C}_{k}a^{k}(\hspace{0mm} _{k}{\rm C}_{1}x^{k-1}+\cdots+h^{k-1})b^{n-k}\right\}$

$\displaystyle =\sum_{k=0}^{n}\hspace{0mm} _{n}{\rm C}_{k}a^{k}\hspace{0mm} _{k}{\rm C}_{1}x^{k-1}b^{n-k}$

$\displaystyle =a\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}k(ax)^{k-1}b^{n-k}$

$\displaystyle =an\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}(ax)^{k-1}b^{n-k}$

$\displaystyle =an\sum_{k=1}^{n}\hspace{0mm} _{n-1}{\rm C}_{k-1}(ax)^{k-1}b^{n-k}$

$=an\left(ax+b\right)^{n-1}$


例題と練習問題

例題

例題

次の関数を微分せよ.

(1) $y=2x^{2}+11x-3$

(2) $y=(x^{2}+1)(3x-4)$

(3) $y=(2x+1)^{3}$


講義

(2),(3)は展開してから微分しますが,もし上の4,5の公式を使えると少し楽です.


解答

(1)

$\boldsymbol{y'}=2\cdot2x+11-0\boldsymbol{=4x+11}$


(2)

$y=3x^{3}-4x^{2}+3x-4$ より

$\boldsymbol{y'}=3\cdot3x^{2}-4\cdot2x+3-0\boldsymbol{=9x^{2}-8x+3}$

(別解)

積の微分公式を使うと

$\boldsymbol{y'}=2x(3x-4)+(x^{2}+1)3\boldsymbol{=9x^{2}-8x+3}$


(3)

$y=(2x)^{3}+3(2x)^{2}+3\cdot2x+1=8x^{3}+12x^{2}+6x+1$ より

$\boldsymbol{y'}=8\cdot3x^{2}+12\cdot2x+6+0\boldsymbol{=24x^{2}+24x+6}$

(別解)

合成関数の微分公式を使うと

$\boldsymbol{y'}=3(2x+1)^{2}2\boldsymbol{=6(2x+1)^{2}}$

練習問題

練習

次の関数を微分せよ.

(1) $y=2x^{4}-5x^{3}+x^{2}+x-1$

(2) $y=(x^{2}+x+1)(2x+5)$

(3) $y=(x^{2}+x-3)^{2}$

解答

(1)

$\boldsymbol{y'=8x^{3}-15x^{2}+2x+1}$


(2)

$y=2x^{3}+7x^{2}+7x+5$ より

$\boldsymbol{y'=6x^{2}+14x+7}$

(別解)

積の微分公式を使うと

$\boldsymbol{y'}=(2x+1)(2x+5)+(x^{2}+x+1)2\boldsymbol{=6x^{2}+14x+7}$


(3)

$y=x^{4}+2x^{3}-5x^{2}-6x+9$ より

$\boldsymbol{y'=4x^{3}+6x^{2}-10x-6}$

(別解)

合成関数の微分公式を使うと

$\boldsymbol{y'=2(x^{2}+x-3)(2x+1)}$