二項定理
式と証明(教科書範囲) ★★
二項定理の紹介と，なぜ組合せが使われるのかなど，証明も含めて解説します．
二項定理とその証明
例として $(a+b)^{4}$ の展開式を考えます．
展開公式を使わずに，積の順序変更もせずに以下のように展開してみます．
$(a+b)^4$
$=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$
$=(aa+ab+ba+bb)(a+b)(a+b)$
$=(aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb)$$(a+b)$
$=aaaa+aaab+aaba+aabb$
$+abaa+abab+abba+abbb$
$+baaa+baab+baba+babb$
$+bbaa+bbab+bbba+bbbb$
上の式で，例えば $a^{2}b^{2}$ では
$aabb$，$abab$，$abba$，$baab$，$baba$，$bbaa$
の $6$ つありますが，これは $a$ が $2$ 個，$b$ が $2$ 個の同じものを含む順列
$\dfrac{4!}{2!2!}=_{4}$${\rm C}$$_{2}$
だけあります．同様に考えると $(a+b)^{4}$ の展開式は以下のように書けるはずです．
$(a+b)^{4}=a^{4}+_{4}\hspace{-1.3mm}{\rm C}_{1}a^{3}b+_{4}\hspace{-1.3mm}{\rm C}_{2}a^{2}b^{2}$$+_{4}{\rm C}_{3}ab^{3}+b^{4}$
下で一般化します．
ポイント
二項定理
$\boldsymbol{(a+b)^{n}=_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{0}a^{n}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{1}a^{n-1}b+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n-1}ab^{n-1}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n}b^{n}}$
数列既習者はシグマ表記で表すと
$\boldsymbol{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \hspace{0mm} _{n}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{n-k}b^{k}}$
$\displaystyle _{n}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{n-k}b^{k}$ $(k=0,1,2,\cdots,n)$ を一般項といい，係数 $_{n}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}$ を二項係数といいます．
証明は数列既習者向けの数学的帰納法による証明を下に格納しておきます．
数学的帰納法による証明
(ⅰ) $n=1$ のとき
$\displaystyle \sum_{k=0}^{1} \hspace{0mm} _{1}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{1-k}b^{k}=_{1}\hspace{-0.9mm}{\rm C}_{0}a+_{1}\hspace{-0.9mm}{\rm C}_{1}b=a+b$
より成立．
(ⅱ) $n=m$ のとき成り立つとする．
$n=m+1$ のとき
$\displaystyle (a+b)^{m+1}$
$\displaystyle =\left(\sum_{k=0}^{m} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.3mm}{\rm C}_{k}a^{m-k}b^{k}\right)(a+b)$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{m} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum_{k=0}^{m} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k}b^{k+1}$
$\displaystyle =a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum_{k=0}^{m-1} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k}b^{k+1}+b^{m+1}$
$\displaystyle =a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum_{k=1}^{m} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k-1}a^{m-k+1}b^{k}+b^{m+1}$
$\displaystyle =a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m} \hspace{0mm} (_{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}+_{m}\hspace{-1mm}{\rm C}_{k-1})a^{m-k+1}b^{k}+b^{m+1}$
$\displaystyle =a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m} \hspace{0mm} _{m+1}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k+1}b^{k}+b^{m+1}$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{m+1} \hspace{0mm} _{m+1}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k+1}b^{k}$
このときも成立．
(ⅰ)(ⅱ)より，すべての自然数 $n$ において成立．
※ $_{m+1}\hspace{-0.1mm}{\rm C}_{k}=_{m}\hspace{-0.8mm}{\rm C}_{k}+_{m}\hspace{-0.8mm}{\rm C}_{k-1}$ に注意です．
※ 2006年愛知県立大に数学的帰納法での証明が出題されています．
例題と練習問題
例題
例題
(1) $(2x+1)^6$ の展開式を求めよ．
(2) $(3x-1)^8$ の $x^3$ の項の係数を求めよ．
講義
二項定理の公式を適用するだけです．
解答
(1)
$(2x+1)^6$
$=(2x)^{6}+_{6}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{1}(2x)^{5}+_{6}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{2}(2x)^{4}+_{6}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{3}(2x)^{3}+_{6}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{4}(2x)^{2}+_{6}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{5}(2x)+1$
$=\boldsymbol{64x^{6}+192x^{5}+240x^{4}+160x^{3}+60x^{2}+12x+1}$
(2)
$(3x-1)^8$ の $x^3$ の項は
$_{8}\hspace{-0.2mm}{\rm C}_{3}(3x)^{3}(-1)^{5}=-1512x^3$
$\therefore \ \boldsymbol{-1512}$
練習問題
練習
(1) $\left(2x-\dfrac{1}{x}\right)^5$ の展開式を求めよ．
(2) $\left(x^{3}-\dfrac{3}{x}\right)^7$ の $x^5$ の項の係数を求めよ．
練習の解答
(1)
$\left(2x-\dfrac{1}{x}\right)^5$
$=(2x)^{5}+_{5}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{1}(2x)^{4}\left(-\dfrac{1}{x}\right)+_{5}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{2}(2x)^{3}\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{2}+_{5}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{3}(2x)^{2}\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{3}+_{5}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{4}(2x)\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{4}+\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{5}$
$=\boldsymbol{32x^{5}-80x^{3}+80x-\dfrac{40}{x}+\dfrac{10}{x^3}-\dfrac{1}{x^5}}$
(2)
$\left(x^{3}-\dfrac{3}{x}\right)^7$ の $x^5$ の項は
$_{7}\hspace{-0.2mm}{\rm C}_{3}(x^3)^{3}\left(-\dfrac{3}{x}\right)^{4}=2835x^5$
$\therefore \ \boldsymbol{2835}$