二項定理
式と証明(教科書範囲) ★★
二項定理の紹介と，なぜ組合せが使われるのかなど，証明も含めて解説します．
二項定理とその証明
例として $(a+b)^{4}$ の展開式を考えます．
展開公式を使わずに，積の順序変更もせずに以下のように展開してみます．
$(a+b)^4$
$=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$
$=(aa+ab+ba+bb)(a+b)(a+b)$
$=(aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb)$$(a+b)$
$=aaaa+aaab+aaba+aabb$
$+abaa+abab+abba+abbb$
$+baaa+baab+baba+babb$
$+bbaa+bbab+bbba+bbbb$
上の式で，例えば $a^{2}b^{2}$ では
$aabb$，$abab$，$abba$，$baab$，$baba$，$bbaa$
の $6$ つありますが，これは $a$ が $2$ 個，$b$ が $2$ 個の同じものを含む順列
$\dfrac{4!}{2!2!}=_{4}$${\rm C}$$_{2}$
だけあります．同様に考えると $(a+b)^{4}$ の展開式は以下のように書けるはずです．
$(a+b)^{4}=a^{4}+_{4}\hspace{-1.3mm}{\rm C}_{1}a^{3}b+_{4}\hspace{-1.3mm}{\rm C}_{2}a^{2}b^{2}$$+_{4}{\rm C}_{3}ab^{3}+b^{4}$
下で一般化します．
二項定理
$\boldsymbol{(a+b)^{n}=_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{0}a^{n}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{1}a^{n-1}b+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{2}a^{n-2}b^{2}+\cdots+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n-1}ab^{n-1}+_{n}\hspace{-1.4mm}{\rm C}_{n}b^{n}}$
数列既習者はシグマ表記で表すと
$\boldsymbol{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} \hspace{0mm} _{n}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{n-k}b^{k}}$
※ $\displaystyle _{n}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{n-k}b^{k}$ $(k=0,1,2,\cdots,n)$ を一般項といい，係数 $_{n}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}$ を二項係数といいます．
証明は数学的帰納法によるものなので意欲的な方向けです．
数学的帰納法による証明
(ⅰ) $n=1$ のとき
$\displaystyle \sum_{k=0}^{1} \hspace{0mm} _{1}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{1-k}b^{k}=_{1}\hspace{-0.9mm}{\rm C}_{0}a+_{1}\hspace{-0.9mm}{\rm C}_{1}b=a+b$
より成立．
(ⅱ) $n=m$ のとき成り立つとする．
$n=m+1$ のとき
$\displaystyle (a+b)^{m+1}$
$\displaystyle =\left(\sum_{k=0}^{m} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.3mm}{\rm C}_{k}a^{m-k}b^{k}\right)(a+b)$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{m} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum_{k=0}^{m} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k}b^{k+1}$
$\displaystyle =a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum_{k=0}^{m-1} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k}b^{k+1}+b^{m+1}$
$\displaystyle =a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum_{k=1}^{m} \hspace{0mm} _{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k-1}a^{m-k+1}b^{k}+b^{m+1}$
$\displaystyle =a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m} \hspace{0mm} (_{m}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}+_{m}\hspace{-1mm}{\rm C}_{k-1})a^{m-k+1}b^{k}+b^{m+1}$
$\displaystyle =a^{m+1}+\sum_{k=1}^{m} \hspace{0mm} _{m+1}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k+1}b^{k}+b^{m+1}$
$\displaystyle =\sum_{k=0}^{m+1} \hspace{0mm} _{m+1}\hspace{-0.5mm}{\rm C}_{k}a^{m-k+1}b^{k}$
このときも成立．
(ⅰ)(ⅱ)より，すべての自然数 $n$ において成立．
※ $_{m+1}\hspace{-0.1mm}{\rm C}_{k}=_{m}\hspace{-0.8mm}{\rm C}_{k}+_{m}\hspace{-0.8mm}{\rm C}_{k-1}$ に注意です．
※ 2006年愛知県立大に数学的帰納法での証明が出題されています．
例題と練習問題
例題
例題
(1) $(2x+1)^6$ の展開式を求めよ．
(2) $(3x-1)^8$ の $x^3$ の項の係数を求めよ．
講義
二項定理の公式を適用するだけです．
解答
(1)
$(2x+1)^6$
$=(2x)^{6}+_{6}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{1}(2x)^{5}+_{6}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{2}(2x)^{4}+_{6}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{3}(2x)^{3}+_{6}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{4}(2x)^{2}+_{6}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{5}(2x)+1$
$=\boldsymbol{64x^{6}+192x^{5}+240x^{4}+160x^{3}+60x^{2}+12x+1}$
(2)
$(3x-1)^8$ の $x^3$ の項は
$_{8}\hspace{-0.2mm}{\rm C}_{3}(3x)^{3}(-1)^{5}=-1512x^3$
$\therefore \ \boldsymbol{-1512}$
練習問題
練習
(1) $\left(2x-\dfrac{1}{x}\right)^5$ の展開式を求めよ．
(2) $\left(x^{3}-\dfrac{3}{x}\right)^7$ の $x^5$ の項の係数を求めよ．
練習の解答
(1)
$\left(2x-\dfrac{1}{x}\right)^5$
$=(2x)^{5}+_{5}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{1}(2x)^{4}\left(-\dfrac{1}{x}\right)+_{5}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{2}(2x)^{3}\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{2}+_{5}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{3}(2x)^{2}\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{3}+_{5}\hspace{-1.2mm}{\rm C}_{4}(2x)\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{4}+\left(-\dfrac{1}{x}\right)^{5}$
$=\boldsymbol{32x^{5}-80x^{3}+80x-\dfrac{40}{x}+\dfrac{10}{x^3}-\dfrac{1}{x^5}}$
(2)
$\left(x^{3}-\dfrac{3}{x}\right)^7$ の $x^5$ の項は
$_{7}\hspace{-0.2mm}{\rm C}_{3}(x^3)^{3}\left(-\dfrac{3}{x}\right)^{4}=2835x^5$
$\therefore \ \boldsymbol{2835}$