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数学的帰納法(基本編)

タイプ:教科書範囲 レベル:★★ 


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数学的帰納法の基本編です.

基本編は直前の仮定のみが必要なものを扱います.

仮定が複数に及ぶものは数学的帰納法(応用編)をご覧ください.





数学的帰納法について

ポイント

数学的帰納法とは

自然数 $n$ に関する命題 $P(n)$ の成立を示したいときに,以下の論理で,すべての自然数 $n$ に関して $P(n)$ が成立することを示せます.

(ⅰ) $P(1)$ が真である.

(ⅱ) $P(k)$ が真ならば $P(k+1)$ も真である.

なぜなら,(ⅰ),(ⅱ)より,$P(2)$ が真であることが言え,また(ⅱ)より $P(3)$ が真であることが言えます.以後,すべての自然数 $n$ に関して $P(n)$ が真であることが言えます.


よく例えられますが,まるでドミノ倒しのようです.

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すべてのドミノを倒すには上の手続きが必要です.

普通のドミノならば直前が倒れれば次のドミノは倒れますが,帰納法の応用問題では,直前の2つを使って次のドミノを倒す変則的なものもあります.それは応用編で扱います.

このページでは以下で,直前の仮定のみが必要なものを扱います.




例題と練習問題

例題

例題

$n$ を自然数とするとき,次の等式が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ.

$1\cdot2+2\cdot3+\cdots+n(n+1)=\dfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)$


講義

$\displaystyle 1\cdot2+2\cdot3+\cdots+n(n+1)=\sum_{k=1}^{n}k(k+1)$ なので,シグマ公式を使えば示せてしまうのですが,今回は帰納法で示すのが目的です.

以下のように,(ⅰ),(ⅱ)のセクションに分けて示します.


解答

(ⅰ) $n=1$ のとき

$1\cdot 2=\dfrac{1}{3}\cdot 1\cdot 2\cdot 3$

より成立.

(ⅱ) $n=k$ のとき与式が成り立つと仮定すると

$\color{red}{1\cdot2+2\cdot3+\cdots+k(k+1)=\dfrac{1}{3}k(k+1)(k+2)}$

となる(上の赤い式を便宜的に仮定の式とネーミングします.次で必ず使います).

$n=k+1$ のとき

 $\color{red}{1\cdot2+2\cdot3+\cdots+k(k+1)}+(k+1)(k+2)$

$=\color{red}{\dfrac{1}{3}k(k+1)(k+2)}+(k+1)(k+2)$

$=\left(\dfrac{1}{3}k+1\right)(k+1)(k+2)$

$=\dfrac{1}{3}(k+1)(k+2)(k+3)$

よりこのときも成立.

(ⅰ)(ⅱ)よりすべての自然数 $n$ に関して与式が成立.

※ (ⅱ)では,初心者の方はいきなり $n=k+1$ のときの式を書く人がいます!仮定の式を必ず使って,式変形をして示してください.

※ ちなみにこの等式は,連続自然数積の和で意欲的な人,難関大受験生向けに紹介しています.



練習問題

練習1

$n$ を自然数とする.$1000^{n}+(-1)^{n-1}$ が7の倍数であることを証明せよ.


練習2

$n\geqq 5$ のとき,$2^{n}>n^{2}-2n+15$ が成り立つことを示せ.


練習3

数列 $\{a_{n}\}$ の一般項を求めよ.

$a_{1}=\dfrac{1}{3}$,$a_{n+1}=\dfrac{1}{3-2a_{n}}$

練習の解答



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