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数学的帰納法(応用編)

タイプ:難関大対策 レベル:★★★★ 


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数学的帰納法の応用編です.

応用編は直前の仮定が複数に及ぶものを扱います.

こちらは難関大志望者向けなので,基本を学びたい方は数学的帰納法(基本編)をご覧ください.





数学的帰納法(複数の仮定が必要なもの)

ポイント

数学的帰納法(隣接3項間)

自然数 $n$ に関する命題 $P(n)$ の成立を示したいときに,以下の(ⅰ),(ⅱ)が示せれば,すべての自然数 $n$ に関して $P(n)$ が成立することを示せます.

(ⅰ) $P(1)$,$P(2)$ が真である.

(ⅱ) $P(k)$,$P(k+1)$ が真ならば $P(k+2)$ も真である.

なぜなら,(ⅰ),(ⅱ)より,$P(3)$ が真であることが言え,また(ⅱ)より $P(4)$ が真であることが言えます.以後,すべての自然数 $n$ に関して $P(n)$ が真であることが言えます.


隣接3項間漸化式を作って,$a_{1}$ と $a_{2}$ を与えればすべての項が求まるのに似ています.

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手前2つのドミノを使って次のドミノを倒すという,現実のドミノとは少し違った状況ですが,上の手続きを踏めばすべてのドミノが倒れます.

さらに,今までのすべての仮定を必要とするタイプもあります.


ポイント

数学的帰納法(直前のすべての仮定が必要)

自然数 $n$ に関する命題 $P(n)$ の成立を示したいときに,以下の(ⅰ),(ⅱ)が示せれば,すべての自然数 $n$ に関して $P(n)$ が成立することを示せます.

(ⅰ) $P(1)$ が真である.

(ⅱ) $P(1)$,$P(2)$,$\cdots$,$P(k)$ が真ならば $P(k+1)$ も真である.

なぜなら,(ⅰ),(ⅱ)より,$P(2)$ が真であることが言え,また(ⅱ)より $P(3)$ が真であることが言えます.以後,すべての自然数 $n$ に関して $P(n)$ が真であることが言えます.


今までのすべてが成り立つとすると,次が成り立つという,条件が厳しいパターンです.

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あまり入試で見かけませんが,シグマ表記が絡んだ問題が多いです.




例題と練習問題

例題

例題

実数 $x$,$y$ について,$x+y$,$xy$ がともに偶数とする.自然数 $n$ に対して $x^{n}+y^{n}$ は偶数であることを示せ.


講義

対称式は基本対称式で表せます基本編のように示そうとすると(ⅱ)のセクションで

$x^{k+1}+y^{k+1}=(x^{k}+y^{k})(x+y)-xy(x^{k-1}+y^{k-1})$

とすると,3項間の式になっていることに気がつきます.$x+y$,$xy$ はともに偶数ですが,$x$,$y$ は実数であって整数とは限らないので,$x^{k-1}+y^{k-1}$ も偶数であることを仮定すべきです


解答

$x+y=2a$,$xy=2b$ ( $a$,$b$ は整数)とおく.

(ⅰ) $n=1$ のとき $x+y$ は偶数.

$n=2$ のとき

$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=2(2a^{2}-2b)$

より $x^{n}+y^{n}$ は偶数.

(ⅱ) $n=k$,$k+1$ のとき $x^{n}+y^{n}$ は偶数である仮定すると,$x^{k+1}+y^{k+1}=2c$,$x^{k}+y^{k}=2d$ ( $c$,$d$ は整数)とおく.

$n=k+2$ のとき

 $x^{k+2}+y^{k+2}$

$=(x^{k+1}+y^{k+1})(x+y)-xy(x^{k}+y^{k})$

$=2(2ca-2bd)$

よりこのときも.$x^{n}+y^{n}$ は偶数.

(ⅰ)(ⅱ)よりすべての自然数 $n$ に関して $x^{n}+y^{n}$ は偶数.



練習問題

練習1

$p=2+\sqrt{5}$ とおき,自然数 $n=1,2,3,\cdots$ に対して

$a_{n}=p^{n}+\left(-\dfrac{1}{p}\right)^{n}$

と定める.以下の問いに答えよ.ただし設問(1)は結論のみを書けばよい.

(1) $a_{1}$,$a_{2}$ の値を求めよ.

(2) $n\geqq 2$ とする.積 $a_{1}a_{n}$ を $a_{n+1}$ と $a_{n-1}$ を用いて表せ.

(3) $a_{n}$ は自然数であることを表せ.

(4) $a_{n+1}$ と $a_{n}$ の最大公約数を求めよ.


練習2

(1) 等式 $(k+1)^{5}-k^{5}=5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1$ を利用して

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{4} \ \ (n=1,2,\cdots)$

は $n$ に関する5次式として表せることを示せ.

(2) $d$ を自然数とすると

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{d} \ \ (n=1,2,\cdots)$

は $n$ に関する $d+1$ 次式として表せることを,$d$ についての数学的帰納法を用いて示せ.

練習の解答



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