数学的帰納法(応用編)
タイプ:難関大対策 レベル:★★★★

数学的帰納法の応用編です.
応用編は直前の仮定が複数に及ぶものを扱います.
こちらは難関大志望者向けなので,基本を学びたい方は数学的帰納法(基本編)をご覧ください.
数学的帰納法(複数の仮定が必要なもの)
ポイント
数学的帰納法(隣接3項間)
自然数 $n$ に関する命題 $P(n)$ の成立を示したいときに,以下の(ⅰ),(ⅱ)が示せれば,すべての自然数 $n$ に関して $P(n)$ が成立することを示せます.
(ⅰ) $P(1)$,$P(2)$ が真である.
(ⅱ) $P(k)$,$P(k+1)$ が真ならば $P(k+2)$ も真である.
なぜなら,(ⅰ),(ⅱ)より,$P(3)$ が真であることが言え,また(ⅱ)より $P(4)$ が真であることが言えます.以後,すべての自然数 $n$ に関して $P(n)$ が真であることが言えます.
隣接3項間漸化式を作って,$a_{1}$ と $a_{2}$ を与えればすべての項が求まるのに似ています.

手前2つのドミノを使って次のドミノを倒すという,現実のドミノとは少し違った状況ですが,上の手続きを踏めばすべてのドミノが倒れます.
さらに,今までのすべての仮定を必要とするタイプもあります.
ポイント
数学的帰納法(直前のすべての仮定が必要)
自然数 $n$ に関する命題 $P(n)$ の成立を示したいときに,以下の(ⅰ),(ⅱ)が示せれば,すべての自然数 $n$ に関して $P(n)$ が成立することを示せます.
(ⅰ) $P(1)$ が真である.
(ⅱ) $P(1)$,$P(2)$,$\cdots$,$P(k)$ が真ならば $P(k+1)$ も真である.
なぜなら,(ⅰ),(ⅱ)より,$P(2)$ が真であることが言え,また(ⅱ)より $P(3)$ が真であることが言えます.以後,すべての自然数 $n$ に関して $P(n)$ が真であることが言えます.
今までのすべてが成り立つとすると,次が成り立つという,条件が厳しいパターンです.

あまり入試で見かけませんが,シグマ表記が絡んだ問題が多いです.
例題と練習問題
例題
例題
実数 $x$,$y$ について,$x+y$,$xy$ がともに偶数とする.自然数 $n$ に対して $x^{n}+y^{n}$ は偶数であることを示せ.
講義
対称式は基本対称式で表せます.基本編のように示そうとすると(ⅱ)のセクションで
$x^{k+1}+y^{k+1}=(x^{k}+y^{k})(x+y)-xy(x^{k-1}+y^{k-1})$
とすると,3項間の式になっていることに気がつきます.$x+y$,$xy$ はともに偶数ですが,$x$,$y$ は実数であって整数とは限らないので,$x^{k-1}+y^{k-1}$ も偶数であることを仮定すべきです.
解答
$x+y=2a$,$xy=2b$ ( $a$,$b$ は整数)とおく.
(ⅰ) $n=1$ のとき $x+y$ は偶数.
$n=2$ のとき
$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy=2(2a^{2}-2b)$
より $x^{n}+y^{n}$ は偶数.
(ⅱ) $n=k$,$k+1$ のとき $x^{n}+y^{n}$ は偶数である仮定すると,$x^{k+1}+y^{k+1}=2c$,$x^{k}+y^{k}=2d$ ( $c$,$d$ は整数)とおく.
$n=k+2$ のとき
$x^{k+2}+y^{k+2}$
$=(x^{k+1}+y^{k+1})(x+y)-xy(x^{k}+y^{k})$
$=2(2ca-2bd)$
よりこのときも.$x^{n}+y^{n}$ は偶数.
(ⅰ)(ⅱ)よりすべての自然数 $n$ に関して $x^{n}+y^{n}$ は偶数.
練習問題
練習1
$p=2+\sqrt{5}$ とおき,自然数 $n=1,2,3,\cdots$ に対して
$a_{n}=p^{n}+\left(-\dfrac{1}{p}\right)^{n}$
と定める.以下の問いに答えよ.ただし設問(1)は結論のみを書けばよい.
(1) $a_{1}$,$a_{2}$ の値を求めよ.
(2) $n\geqq 2$ とする.積 $a_{1}a_{n}$ を $a_{n+1}$ と $a_{n-1}$ を用いて表せ.
(3) $a_{n}$ は自然数であることを表せ.
(4) $a_{n+1}$ と $a_{n}$ の最大公約数を求めよ.
練習2
(1) 等式 $(k+1)^{5}-k^{5}=5k^{4}+10k^{3}+10k^{2}+5k+1$ を利用して
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{4} \ \ (n=1,2,\cdots)$
は $n$ に関する5次式として表せることを示せ.
(2) $d$ を自然数とすると
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{d} \ \ (n=1,2,\cdots)$
は $n$ に関する $d+1$ 次式として表せることを,$d$ についての数学的帰納法を用いて示せ.
練習の解答