練習1の解答　出典：2017年東大理系前期

(1)

$a_{1}=p-\dfrac{1}{p}=2+\sqrt{5}-\dfrac{1}{2+\sqrt{5}}=\boldsymbol{4}$

$a_{2}=p^{2}+\dfrac{1}{p^{2}}=\left(p-\dfrac{1}{p}\right)^{2}+2=\boldsymbol{18}$

(2)

　$a_{n+1}$

$=p^{n+1}+\left(-\dfrac{1}{p}\right)^{n+1}$

$=\left\{p^{n}+\left(-\dfrac{1}{p}\right)^{n}\right\}\left\{p+\left(-\dfrac{1}{p}\right)\right\}+p^{n-1}-\left(-\dfrac{1}{p}\right)^{n}p$

$=a_{n}a_{1}+a_{n-1}$

$\therefore \ a_{1}a_{n}=a_{n+1}-a_{n-1}$

(3)

(ⅰ) $n=1$，$2$ のとき，(1)より $a_{n}$ は自然数．

(ⅱ) $n=k$，$k+1$ のとき $a_{n}$ が自然数であると成り立つと仮定する．

$n=k+2$ のとき，(2)より

　$a_{k+2}$

$=a_{k}+a_{1}a_{k+1}$

よりこのときも $a_{n}$ は自然数．

(ⅰ)(ⅱ)よりすべての自然数 $n$ に関して $a_{n}$ が自然数である．

(4)

$a_{n+1}=4a_{n}+a_{n-1}$

より，$a_{n+1}$ を $a_{n}$ で割った余りは $a_{n-1}$ なので，互除法の原理より

$\gcd(a_{n+1},a_{n})$

$=\gcd(a_{n},a_{n-1})$

$=\gcd(a_{n-1},a_{n-2})$

$\vdots$

$=\gcd(a_{2},a_{1})=\boldsymbol{2}$

練習2の解答　出典：2019聖マリアンナ医科大

(1)

　$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{(k+1)^{5}-k^{5}\}$

$=(2^{5}-1^{5})+(3^{5}-2^{5})+\cdots+((n+1)^{5}-n^{5})$

$=(n+1)^{5}-1$

$=n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n$

一方で

　$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{(k+1)^{5}-k^{5}\}$

$\displaystyle =5\sum_{k=1}^{n}k^{4}+10\sum_{k=1}^{n}k^{3}+10\sum_{k=1}^{n}k^{2}+5\sum_{k=1}^{n}k$

以上より

$\displaystyle 5\sum_{k=1}^{n}k^{4}=n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n-10\sum_{k=1}^{n}k^{3}-10\sum_{k=1}^{n}k^{2}-5\sum_{k=1}^{n}k$

$\displaystyle \therefore \ \sum_{k=1}^{n}k^{4}=\dfrac{1}{5}n^{5}+n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+n-2\sum_{k=1}^{n}k^{3}-2\sum_{k=1}^{n}k^{2}-\sum_{k=1}^{n}k$

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{3}，\sum_{k=1}^{n}k^{2}，\sum_{k=1}^{n}k$ はそれぞれ $n$ の4，3，2次式より，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{4}$ は $n$ に関する5次式として表せる．

(2)

(ⅰ) $d=1$ のとき

$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{1}{2}n(n+1)$

より $d+1$ 次式で表せる．

(ⅱ) $d\leqq m$ のとき $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{d}$ が $n$ に関する $d+1$ 次式として表せると仮定する．

　$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{(k+1)^{m+2}-k^{m+2}\}$

$=(2^{m+2}-1^{m+2})+(3^{m+2}-2^{m+2})+\cdots+((n+1)^{m+2}-n^{m+2})$

$=(n+1)^{m+2}-1$

一方で

　$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\{(k+1)^{m+2}-k^{m+2}\}$

$\displaystyle =\sum_{k=1}^{n}\left\{_{m+2}{\rm C}_{1}\cdot k^{m+1}+_{m+2}{\rm C}_{2}\cdot k^{m}+\cdots+1\right\}$

$\displaystyle =_{m+2}{\rm C}_{1}\sum_{k=1}^{n}k^{m+1}+_{m+2}{\rm C}_{2}\sum_{k=1}^{n}k^{m}+\cdots+n$

以上より

$\displaystyle _{m+2}{\rm C}_{1}\sum_{k=1}^{n}k^{m+1}=(n+1)^{m+2}-1-\left(_{m+2}{\rm C}_{2}\sum_{k=1}^{n}k^{m}+\cdots+n\right)$

上の式の右辺は，$(n+1)^{m+2}$ が $n$ の $m+2$ 次式，$\displaystyle \left(_{m+2}{\rm C}_{2}\sum_{k=1}^{n}k^{m}+\cdots+n\right)$ が仮定より高々 $n$ の $m+1$ 次式．つまり，$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{m+1}$ は $n$ の $m+2$ 次式より，$d=m+1$ のときも $d+1$ 次式で表せる．

(ⅰ)(ⅱ)よりすべての自然数 $n$ に関して $\displaystyle \sum_{k=1}^{n}k^{d}$ が $n$ に関する $d+1$ 次式として表せる．

※ 余談ですが，次数が $d$ なのは degree の頭文字だと思います．