おいしい数学ホームへのリンク

数列の最大・最小

タイプ:入試の標準 レベル:★★★ 


アイキャッチ

数列(確率含む)の最大・最小を求める問題について扱います.

この範囲は多くの参考書で数Aの確率で一部取り上げられるのみなので,当サイトでは正式に数列分野で解説します.





数列の最大・最小の求め方

ポイント

数列の最大・最小の求め方

Ⅰ: $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$ (前後の分数)が $1$ より大きいか等しいか小さいか場合分けをして,$a_{n}$ が単調増加か停滞か単調減少かを判断.

Ⅱ: $a_{n}$ を連続関数( $f(x)$ など)で置き換えて,微分して増減表で考える.


数列は定義域が自然数な離散型の(飛び飛びの値をとる)関数なので,元の関数が自然数のときに最大・最小をとるとは限りません.

大抵はⅠの方法で解決します.微分既習者は,Ⅱの方法をとって,最大(最小)をとる $n$ を手探りで探していく方法がありますが,あまりこういう問題は見かけません.




例題と練習問題

例題

例題

自然数 $n$ に対して数列 $\{a_{n}\}$ を,$a_{n}=\dfrac{1}{2^{n}}(n^{2}-23n-48)$ により定める.数列 $\{a_{n}\}$ の最大値を与える $n$ のうち,最大のものを求めよ.


講義

2015日本大医学部の問題です.$\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$ の $1$ との大小比較をします.


解答

 $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$

$=\dfrac{(n+1)^{2}-23(n+1)-48}{2^{n+1}}\cdot \dfrac{2^{n}}{n^{2}-23n-48}$

$=\dfrac{n^{2}-21n-70}{2n^{2}-46n-96}$

(ⅰ) $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1 \Longleftrightarrow a_{n} < a_{n+1}$ のとき

$\dfrac{n^{2}-21n-70}{2n^{2}-46n-96} >1$

$\Longleftrightarrow \ 0 > n^{2}-25n-26$

$\Longleftrightarrow \ -1 < n < 26$

$\therefore \ 1 \leqq n \leqq 25$

(ⅱ) $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 \Longleftrightarrow a_{n} =a_{n+1}$ のとき

$n=26$

(ⅲ) $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1 \Longleftrightarrow a_{n} > a_{n+1}$ のとき

$n > 26$

$\therefore n \geqq 27$

以上より

$a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{25} < a_{26} =a_{27} > a_{28} > \cdots$

$n=26,27$ のとき最大をとるので,求める答えは $\boldsymbol{27}$

※数Ⅲ既習者なら,$f(x)=\dfrac{1}{2^{x}}(x^{2}-23x-48)$ として微分をする方法も考えられますが,関数の形的に現実的ではありません.



練習問題

練習

数列 $a_{1}$,$a_{2}$,$\cdots$ を

$a_{n}=\dfrac{_{2n+1}{\rm C}_{n}}{n!}$ $(n=1,2,\cdots)$

で定める.

(1) $a_{n}$ の最大値を求めよ.

(2) $a_{n}$ が整数となる $n\geqq1$ をすべて求めよ.

(2018東京大改)

練習の解答



ノートに戻る