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数列の最大・最小

数列(入試の標準) ★★★


アイキャッチ

数列(確率含む)の最大・最小を求める問題について扱います.

この範囲は多くの参考書で数Aの確率で一部取り上げられるのみなので,当サイトでは正式に数列分野で解説します.



数列の最大・最小の求め方

ポイント

数列の最大・最小の求め方

$\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$ (前後の分数)が $1$ より大きいか等しいか小さいか場合分けをして,$a_{n}$ が単調増加か停滞か単調減少かを判断.

Ⅱ $a_{n}$ を連続関数( $f(x)$ など)で置き換えて,微分して増減表で考える.


数列は定義域が自然数な離散型の(飛び飛びの値をとる)関数なので,元の関数が自然数のときに最大・最小をとるとは限りません.

大抵はⅠの方法で解決します.微分既習者は,Ⅱの方法をとって,最大(最小)をとる $n$ を手探りで探していく方法がありますが,あまりこういう問題は見かけません.

例題と練習問題

例題

例題

自然数 $n$ に対して数列 $\{a_{n}\}$ を,$a_{n}=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}(4n^{2}+n)$ により定める.数列 $\{a_{n}\}$ の最大値を与える $n$ を求めよ.


講義

$a_{n}$ は指数関数と2次関数で構成されていますが.$n$ がいくつで最大でしょうか.$\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$ の $1$ との大小比較をします.


解答

 $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$

$=\dfrac{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n+1}\{4(n+1)^{2}+(n+1)\}}{\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n}(4n^{2}+n)}$

$=\dfrac{2(4n^{2}+9n+5)}{3(4n^{2}+n)}$

(ⅰ) $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1 \Longleftrightarrow a_{n} < a_{n+1}$ のとき

$\dfrac{2(4n^{2}+9n+5)}{3(4n^{2}+n)} >1$

$\Longleftrightarrow \ 8n^{2}+18n+10 > 12n^{2}+3n$

$\Longleftrightarrow \ 0 > 4n^{2}-15n-10$

これを満たすのは $n \leqq 4$

(ⅱ) $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1 \Longleftrightarrow a_{n} > a_{n+1}$ のとき

$\dfrac{2(4n^{2}+9n+5)}{3(4n^{2}+n)} <1$

$\Longleftrightarrow \ 0 < 4n^{2}-15n-10$

これを満たすのは $n \geqq 5$

以上より

$a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4} < a_{5} > a_{6} > a_{7} > \cdots$

より,$n=\boldsymbol{5}$ のとき最大をとる.

※数学Ⅲ既習者なら,$f(x)=\left(\dfrac{2}{3}\right)^{x}(4x^{2}+x)$ として微分をする方法も考えられますが,関数の形的に現実的ではありません.

練習問題

練習1

自然数 $n$ に対して数列 $\{a_{n}\}$ を,$a_{n}=\dfrac{1}{2^{n}}(n^{2}-23n-48)$ により定める.数列 $\{a_{n}\}$ の最大値を与える $n$ のうち,最大のものを求めよ.

(2015日本大医学部)


練習2

数列 $a_{1}$,$a_{2}$,$\cdots$ を

$a_{n}=\dfrac{_{2n+1}{\rm C}_{n}}{n!}$ $(n=1,2,\cdots)$

で定める.

(1) $a_{n}$ の最大値を求めよ.

(2) $a_{n}$ が整数となる $n\geqq1$ をすべて求めよ.

(2018東京大改)

練習1の解答

$n^{2}-23n-48 > 0$ であるとき最大をとる.$n(n-23)-48$ とすれば,$n\geqq25$ のとき $a_{n} >0$ となることがわかる.

$n\geqq25$ のときを考える.

 $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$

$=\dfrac{(n+1)^{2}-23(n+1)-48}{2^{n+1}}\cdot \dfrac{2^{n}}{n^{2}-23n-48}$

$=\dfrac{n^{2}-21n-70}{2n^{2}-46n-96}$

$=\dfrac{n^{2}-21n-70}{2(n^{2}-23n-48)}$

(ⅰ) $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1 \Longleftrightarrow a_{n} < a_{n+1}$ のとき

$\dfrac{n^{2}-21n-70}{2n^{2}-46n-96} >1$

$\Longleftrightarrow \ 0 > n^{2}-25n-26$

$\Longleftrightarrow \ -1 < n < 26$

$\therefore \ n =25$

(ⅱ) $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} = 1 \Longleftrightarrow a_{n} =a_{n+1}$ のとき

$n=26$

(ⅲ) $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1 \Longleftrightarrow a_{n} > a_{n+1}$ のとき

$n > 26$

$\therefore n \geqq 27$

以上より,$a_{1}$ から $a_{24}$ までが負で

$0 < a_{25} < a_{26} =a_{27} > a_{28} > \cdots$

$n=26,27$ のとき最大をとるので,求める答えは $\boldsymbol{27}$


練習2の解答

2018年の東大の問題を少しだけ変更しています.

(1)

 $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}$

$=\dfrac{_{2n+3}{\rm C}_{n+1}}{(n+1)!}\cdot \dfrac{n!}{_{2n+1}{\rm C}_{n}}$

$=\dfrac{1}{n+1} \cdot \dfrac{(2n+3)!}{(n+1)!(n+2)!} \cdot \dfrac{n!(n+1)!}{(2n+1)!}$

$=\dfrac{2(2n+3)}{(n+1)(n+2)}$

(ⅰ) $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} > 1 \Longleftrightarrow a_{n} < a_{n+1}$ のとき

$\dfrac{2(2n+3)}{(n+1)(n+2)} >1$

$\Longleftrightarrow \ 4n+6 > n^{2}+3n+2$

$\Longleftrightarrow \ n^{2}-n-4 < 0$

$\Longleftrightarrow \ \dfrac{1-\sqrt{17}}{2} < n < \dfrac{1+\sqrt{17}}{2}$

$\therefore \ 1 \leqq n \leqq 2$

(ⅱ) $\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}} < 1 \Longleftrightarrow a_{n} > a_{n+1}$ のとき

$n < \dfrac{1-\sqrt{17}}{2} , \ \dfrac{1+\sqrt{17}}{2} < n$

$\therefore n \geqq 3$

以上より

$a_{1} < a_{2} < a_{3} > a_{4} > \cdots$

$n=3$ のとき最大.最大値は

$a_{3}=\dfrac{_{7}{\rm C}_{3}}{3!}=\boldsymbol{\dfrac{35}{6}}$


(2) $n \geqq 3$ 以降で単調減少することを踏まえ,書き出すと

 $a_{1}=3$

 $a_{2}=\dfrac{_{5}{\rm C}_{2}}{2!}=5$

 $a_{3}=\dfrac{35}{6}$

 $a_{4}=\dfrac{2\cdot9}{4\cdot5}a_{3}=\dfrac{21}{4}$

 $a_{5}=\dfrac{2\cdot11}{5\cdot6}a_{4}=\dfrac{77}{20}$

 $a_{6}=\dfrac{2\cdot13}{6\cdot7}a_{5}=\dfrac{143}{60}$

 $a_{7}=\dfrac{2\cdot15}{7\cdot8}a_{6}=\dfrac{143}{112}$

 $a_{8}=\dfrac{2\cdot17}{8\cdot9}a_{7}=\dfrac{2431}{4032} < 1$

より,$n \geqq 8$ では $0 < a_{n} < 1$ となるので,$a_{n}$ が整数になるのは $n=\boldsymbol{1,2}$ のとき.